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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第五节 二次函数与幂函数课件 理 新人教A版


第五节

二次函数与幂函数

1.五种常见幂函数的图像与性质
特征 性质 函数 y= x y=x2 y=x3

y=x

1 2

y=x-1

图像

定义域 值域

__ R __ R

__ R {y|y≥0} _______

__ R __ R

{x|x≥0} { x|x≠0} ________ _______
{y|y≥0} ________ {y|y≠0} _______

特征 性质

函数 y= x 奇 ___ y=x2 偶 ____ y=x3 奇 ___ 增 ____

y=x

1 2

y=x-1 奇 ____ (-∞,0) _________

奇偶性

非奇非偶 _________

单调性

增 ___

( -∞,0]减, ____________ (0 ,+∞)增 ____________

增 ____

和(0,+ _________
∞)减 _______

公共点

(1,1) ______

2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) ;
2+n(a≠0) a ( x - m ) (2)顶点式:f(x)=



(3)零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) .

3.二次函数的图像和性质
a>0 a<0

图像

定义域

x∈R
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞? ? 4a ? ?
2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ?

值域

a>0

a<0


单调性

? b? ?-∞,- ? 2a? ?

上递减, 在

? b? ?-∞,- ? 上递增, 2a ? ?

? ? b 在?-2a,+∞?上递增 ? ?

? ? b 在?-2a,+∞?上递减 ? ?

奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特 点
2? ? 4 ac - b b b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:? ?-2a, 2a 4a ? ? ?

1. 研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质, 易忽视 a 的取 值情况而盲目认为 f(x)为二次函数.

2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂 函数.
[试一试]

1 2

1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2
答案:D

)

B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2

2.已知函数f(x)=ax2+x+5的图像在x轴上方,则a的取值范围 是
? 1? A.?0,20? ? ? ?1 ? C.?20,+∞? ? ?
? ?a>0, 解析:由题意知? ? ?Δ<0,

(
? 1? B.?-∞,-20? ? ? ? ? 1 D.?-20,0? ? ?
? ?a>0, 即? ? ?1-20a<0

)

1 得a> . 20

答案:C

1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法

(1)对于二次函数 y=f(x),如果定义域内有不同两点 x1,x2 x1+x2 且 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图像关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a

-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称(a 为常数).

2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
(1)ax
2

? ?a>0, +bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0.

(2)ax

2

? ?a<0, +bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?

3.两种数学思想
(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、 二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.

(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨 论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等.

[练一练]
如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x =1对称,则函数f(x)的最小值为________.

? a+2 ?- =1, 2 ? 解析:由题意知 ? ?a+b=2,

? ?a=-4, 得? ? ?b=6.

则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.

答案:5

1.幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像 是 ( )

1 1 2 解析:令f(x)=xα,则4α=2,∴α= ,∴f(x)=x . 2 答案:C

2.图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图 1 像.已知n取± 2,± 四个值,则相应于曲线 2 C1,C2,C3,C4的α值依次为________.

1 1 答案:2, ,- ,-2 2 2

3.设

2 3 2 ?3? 5 ?2? 5 ?2? 5 a=?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 ? ? ? ? ? ?

a,b,c 的大小关系

是________.
解析:∵y=x
2 5

(x>0)为增函数,∴a>c.

?2? ∵y=?5?x(x∈R)为减函数,∴c>b, ? ?

∴a>c>b.

答案:a>c>b

[类题通法]
1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从 两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;
α<0 时,图像不过原点,在第一象限的图像下降.

(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线 上凸;α<0 时,曲线下凸. 2. 在比较幂值的大小时, 必须结合幂值的特点, 选择适当的函数. 借
助其单调性进行比较, 准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.

[典例]

已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且

f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.

思考:二次函数的解析式有几种表达形式?
[ 解] 法一 (利用一般式):设 f (x )=ax 2+bx +c(a≠0). 4a+2b+c=-1, a=-4, a-b+c=-1, 由题意得 解得 b=4, 2 4ac-b =8, c=7. 4a ∴所求二次函数为 f (x )=-4x 2+4x +7.

法二(利用顶点式):设 f (x )= a(x -m )2+n . ∵f (2)=f (- 1), 2+ -1 1 ∴抛物线的对称轴为 x = = . 2 2 1 ∴m = .又根据题意函数有最大值 8,∴n =8. 2 1 x- 2 ∴y=f (x )=a 2 +8. 1 2- 2 ∵f (2)=-1,∴ a 2 +8=- 1,解得 a=-4, 1 x- 2 ∴f (x )=-4 2 +8=-4x 2+4x +7.

法三(利用零点式): 由已知 f (x )+1= 0 两根为 x 1=2, x 2=-1, 故可设 f (x )+1= a(x -2)(x +1), 即 f (x )=ax 2-ax -2a-1. 4a -2a-1 -a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8. 4a 解得 a=-4 或 a=0(舍 ). ∴所求函数的解析式为 f (x )=-4x 2+4x +7.

[类题通法]
求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规 律如下:

[针对训练] 已知 y=f(x)为二次函数,且 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,

求此二次函数的解析式.
解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5, ?c=-5, ? 所以?a-b+c=-4, ?4a+2b+c=-5, ? 1 2 1 2 2 解得a= ,b=- ,c=-5,故f(x)= x - x-5. 3 3 3 3

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴 与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论.归纳起来常见的命题角度有:
?????????1?轴定区间定求最值; ?????????2?轴动区间定求最值; ?????????3?轴定区间动求最值.

角度一 轴定区间定求最值 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]

(1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值;
(2)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间.
解:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x ∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15, 故 f(x)的最大值是 35.

(2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], 且
2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6], f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0].

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

角度二

轴动区间定求最值

2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2, 求 a 的值.
解:函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1, 对称轴方程为 x=a. (1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1.

(2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1, ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0, 1± 5 ∴ a= (舍). 2 (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2.

角度三

轴定区间动求最值

3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a), 求 g(a).
解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1, ∵x=1 不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论.

当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x =a 时,y 取得最小值,即 ymin=a2-2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单 调递增,则当 x=1 时,y 取得最小值,即 ymin=-1.
2 ? ?a -2a,-2<a≤1, 综上,g(a)=? ? ?-1,a>1.

[类题通法]

影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法:
(1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素 有关.

(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解,在区间 的端点或二次函数图像的顶点处取得最值.
当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.

[课堂练通考点]
1.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应 是 ( )

A.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x
1 2

1 3

2

1 2

-1

B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x-1 C.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x
1 3 1 2

2

3

1 2

-1

D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x

-1

解析:图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1,排除A,D.图 像②中幂函数是偶函数,幂指数必为正偶数,排除C.故选 B .

2.(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是 单调函数,则 k 的取值范围是 A.(-∞,40] C.(-∞,40]∪[160,+∞) B.[160,+∞) D.? ( )

k 解析:函数h(x)的对称轴为x= ,要使h(x)在[5,20]上是单调函 8 k k 数,应有 ≤5或 ≥20,即k≤40或k≥160,故选 C . 8 8

3.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为 -1,则它的解析式为________.
解析:依题意可设f(x)=a(x-2)2-1, 又其图像过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 ∴f(x)= (x-2)2-1. 2

1 答案:f(x)= (x-2)2-1 2

4.若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则a,c满 足的条件是________.
?a>0, ? 解析:由已知得?4ac-16 =0, ? 4 a ?
答案:a>0,ac=4
? ?a>0, ?? ? ?ac-4=0.

5.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)是幂函 数,且在(0,+∞)上是增函数?

解:∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x 减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是增 函数. ∴m=-1.
-13

在(0,+∞)上是


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