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2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件3.1等差数列与等比数列


随堂讲义· 第一部分 专题三 数

知识复习专题 列

第一讲

等差数列与等比数列

(1)对等差、等比数列基本量的考查是重点内容,常以 选择题或填空题的形式出现.考查运用通项公式,前 n项和公式建立方程组求解,应为简单题. (2)对等差、等比数列性质的考查是热点,主要以选择 题或填空题的形式出现,具有 “ 新、巧、活 ”的特点,

考查利用性质解决有关的计算问题,应为中档题.
(3)等差、等比数列的综合问题,多以解答题的形式考 查,主要考查考生综合数学知识解决问题的能力,应 为中档题.

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主干 考点 梳理

考点1

等差数列的概念及通项公式

1.等差数列的定义. 数列 {an} 满足 其中 n∈N* , d an______________( +1-an=d 为与 n值无关的常数)?{an}是等差数列. 一定

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2.等差数列的通项公式.
若等差数列的首项为a1,公差为d,则an=a1 +_______=am+________(n,m∈N*). (n-1)d (n-m)d

主干 考点 梳理 3.等差中项.
n= (a________ 1+an) ,其 若x,A,y成等差数列,则A 2

中A为x,y的等差中项.

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4.等差数列的前n项和公式.
若等差数列首项为a1,公差为d,则其前n项

和Snx = = 1 + ________ . nna (n - 1) d +________ y
2

2

主干 考点 梳理

考点2

等比数列的概念及通项公式

1.等比数列的定义.

an+1 数列{an}满足________ an =q(其中 an≠0,q 是与 n

值无关且不为零的常数,n∈N*)?{an}为等比数列. 2.等比数列的通项公式. 若等比数列的首项为 a1 ,公比为 q ,则 an =
qn -1 qn-m n,m∈N*). a1· ____ =am·________(

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主干 考点 梳理

3.等比中项.
xy ,其中 G 为 若 x,G,y 成等比数列,则 G2=________

两 个. x,y 的等比中项,G 值有________

4.等比数列的前 n 项和公式. 设等比数列的首项为 a1,公比为 q,则 na1 ,q=1, ? ? a1-anq Sn=?a1(1-qn) = 1-q ,q≠1. ? ? 1-q

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主干 考点 梳理

考点自测
1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则

数列{an}的前5项和B S5=(

)

A.7 B.15 C.20 D.25 解析: 2d=a4-a2=5-1=4?d=2,a1=a2-d

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= 1 - 2 =- 1 , a5 = a2 + 3d = 1 + 6 = 7 ,故 S5 = (a1+a5)×5 6×5 = =15. 2 2

主干 考点 梳理

2. (2014· 辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则 C ( A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 )

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2a1an 解析: 由已知得,2a1an<2a1an-1,即 < 2a1an-1 1,2a1(an-an-1)<1,又 an-an-1=d,故 2a1d<1, 从而 a1d<0.故选 C.

主干 考点 梳理

3.(2014· 新课标Ⅱ卷)等差数列{an}的公差是 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( A ) A.n(n+1) B.n(n-1) n(n+1) n(n-1) C. D. 2 2

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主干 考点 梳理

解析:由已知得,a24=a2·a8,又因为 {an}是公差
为 2 的等差数列,故(a2+2d)2=a2·(a2+6d),(a2+4)2 =a2· (a2+12), 解得 a2=4, 所以 an=a2+(n-2)d=2n, n(a1+an) 故 Sn= =n(n+1). 2

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主干 考点 梳理

4.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1, a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是 B

(

)
A.90 B.100 C.145 D.190 解析: 设公差为d,则(1+d)2=1· (1+4d). ∵d≠0,解得d=2,=100.

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高考 热点 突破

突破点1

有关等差数列的基本问题

例 1 已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项 an. 5-an (2)设 cn= , bn=2cn, 求 T=log2b1+log2b2+log2b3+? 2 +log2bn 的值.

栏 栏 目 目 链 链 接 接

高考 热点 突破

? ?a1+d=1, 解析: (1)设{an}的公差为 d,由已知条件,得? ? ?a1+4d=-5,

解得 a1=3,d=-2. ∴an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)∵an=-2n+5, 5-an 5-(-2n+5) ∴cn= = =n. 2 2 ∴bn=2cn=2n. ∴T=log2b1+log2b2+log2b3+?+log2bn =log22+log222+log223+?+log22n n(n+1) =1+2+3+?+n= . 2

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高考 热点 突破

规律方法
(1) 涉及等差数列的有关问题往往用待定系数

法“知三求二”进行解决.
(2)等差数列前n项和的最值问题,经常转化为

求二次函数的最值,有时利用数列的单调性 (d > 0 ,
递增;d<0,递减). (3)等差数列的性质:设m,n,p,q为非零自 然数,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.

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?跟 踪 训 练

1.(2014· 天津卷)设{an}是首项为 a1,公差为 -1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2, S4 成等比数列,则 a1=( D ) 1 1 A.2 B.-2 C. D.- 2 2

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高考 热点 突破 解析:因为 S1,S2,S4 成等比数列,所以 S22

1 =S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),a1=- .故选 2 D.

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突破点2

有关等比数列的基本问题

例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 ban-2n=(b- 1)Sn. (1)证明:当 b=2 时,{an-n· 2n-1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

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高考 热点 突破

an+1-(n+1)· 2n 思路点拨: (1) 只需证明 为非零常 an-n· 2n-1 数即可,或转化为 an+1-(n+1)· 2n=(an-n· 2n-1)q,q 为非零常数. (2)当 b=2 时,由(1)可求出{an-n· 2n-1}的通项公 式,从而得到{an}的通项公式;当 b≠2 时,构造新数列, 求其通项公式.

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高考 热点 突破

证明: (1)∵ban-2n=(b-1)Sn, 令 n=1 得 ba1-2=(b-1)a1, ∴a1=2. 又∵ban-2n=(b-1)Sn,① ∴ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1.② ②-①得:ban+1-ban-2n=(b-1)an+1. 即 an+1=ban+2n.③ 当 b=2 时,由③得 an+1=2an+2n, ∴an+1-(n+1)· 2n=2an+2n-(n+1)· 2n

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=2(an-n· 2n-1).

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an+1-(n+1)· 2n 即 =2. an-n· 2n-1 又∵a1-1· 21-1= 1≠0,∴{an- n· 2n-1}是首 项为 1,公比为 2 的等比数列.
解析: (2)当 b=2 时,由(1)知,
an-n· 2n-1=2n-1, ∴an=(n+1)· 2n-1. 当 b≠2 时,由③知: 1 an+1- 2n+1 2- b

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b·2n 1 =ban+2n- 2n+1=ban- 2- b 2-b ? ? 1 =b?an- 2-b2n?. ? ? ? 2 ? 2(1-b) 1 ∴an- ·2n=?a1-2-b?·bn-1= bn-1. 2- b 2-b ? ? 1 ∴an= [2n+(2-2b)bn-1]. 2- b ∵a1=2 适合上式, 1 ∴an= [2n+(2-2b)bn-1]. 2- b 2n-1,b=2, ?(n+1)·

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? 综上知 an=? 1 [2n+(2-2b)bn-1],b≠2. ? 2 - b ?

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规律方法
(1)证明数列{an}为等比数列有如下方法: an+1 ①证明 =q(与 n 值无关的非零常数). an ②a2n=an-1·an+1(等比中项)(n≥2,n∈N). (2)已知 an+1=Aan+B(A,B 为常数)求{an}的通项时, 用构造数列法.即设 an + 1 - c = A(an - c) ,先求出 c 值
? B ? ?c= ?,再求 an-c 的通项,从而求出 an 的通项. ? 1-A?

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?跟 踪 训 练 2.等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下 表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,

a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

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(1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足 bn= 1
?an+1? ? (n+2)log3? ? 2 ?

,记数

3 列{bn}的前 n 项和为 Sn,证明:Sn< . 4

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解析: 当 a1=3 时,不合题意;
当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3. 故 an=2· 3n-1. 1 (2)证明:因为 bn= = , ?an+1? n(n+2) ? (n+2)log3? 2 ? ? 所以 Sn=b1+b2+b3+?+bn 1

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1 1 1 1 = + + +?+ 1×3 2×4 3×5 n×(n+2) 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 = ?1-3+2-4+3-5+?+n-n+2? 2? ? 1 ? 3 1? 1 1 = ?1+2-n+1-n+2?< ,故原不等式成立. 2? ? 4

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突破点3

等差、等比数列综合问题

例 3 (2014· 重庆卷)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差 数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4 +1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 分析:(1)已知等差数列的首项和公差,可直接利用公式 an= n(n-1) a1+(n-1)d,Sn=na1+ d 求解. 2

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(2)利用(1)的结果求出 a4,S4,解方程 q2-(a4+1)q +S4=0 得出等比数列{bn}的公比 q 的值,从而可直接 nb1,q=1, ? ? 由公式 bn=b1·qn-1,Tn=?b1(1-qn) 求 ,q≠1, ? ? 1-q {bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.

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解析:(1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,
所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. n(a1+an) n(1+2n-1) 故 Sn=1+3+?+(2n-1)= = =n2. 2 2 (2)由(1)得,a4=7,S4=16. 因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因 b1=2, {bn}是公比 q=4 的等比数列, 所以 bn=b1qn-1=2· 4n -1=22n-1. b1(1-qn) 2 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4n-1). 3 1-q

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高考 热点 突破 规律方法

已知等差数列中的某几项成等比数列(或已
知等比数列中的某几项成等差数列),往往是先设

公差为d(或公比为q),用待定系数法求出d(或q)与
首项之间的关系,进而再解决问题.

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?跟 踪 训 练 3.(2014· 福建卷)在等比数列{an}中,a2 =3,a5=81.

(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和 Sn.

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高考 热点 突破 分析:

(1) 设 {an} 的公比为 q ,依题意得方程组

? ? ?a1q=3, ?a1=1, ? 解得? 即可写出通项公式. ? ? ?a1q4=81, ?q=3,

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(2)因为 bn=log3an=n-1,利用等差数列的求 和公式即得.

高考 热点 突破 解析: (1)设{an}的公比为 q,依题意得:
? ? ?a1q=3, ?a1=1, ? 解得? ? ? ?a1q4=81, ?q=3,

因此,an=3n-1. (2)因为 bn=log3an=n-1, n(b1+bn) n2-n 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= = . 2 2

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高考 热点 突破

小结反思 1 .等差数列和等比数列的前 n 项和公式中 n 表示 项数. 2 .若等比数列的公比 q 用参数表示,注意要分 q

=1和q≠1进行讨论.
3 .方程的观点是解决“知三求二”运算题中最 基本的数学思想和方法. 4.证明三个实数a,b,c成等差数列时,常证2b =a+c,反之亦然;证明三个实数a,b,c成等比数列

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时,常证b2=ac,但反之不成立.

高考 热点 突破

5.已知三个实数成等差数列时,常设三个实数依次为 a- d,a,a+d 或 a,a+d,a+2d;已知三个实数成等比数列时, a 常设三个实数依次是 ,a,aq 或 a,aq,aq2. q 6.判定一个数列是等差数列的常用方法有: (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数,n∈N*)?{an}是等差 数列. (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差 数列. 7.判定一个数列是等比数列的常用方法有:

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高考 热点 突破

an+1 (1)定义法: an =q(q 是不为 0 的常数,n∈N*) ?{an}是等比数列. (2)中项公式法:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an +2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列. 8.对于任一数列{an},其通项 an 和它的前 n 项和
? ?S1,n=1, Sn 之间的关系是 an=? 这是求数列 ? ?Sn-Sn-1,n≥2,

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通项的一种重要方法.


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