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数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学


数列专题复习
一、等差数列的有关概念:
1、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n

>
2、等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 如(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2 n ? 10 );

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答: 3、等差数列的前 n 和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 , S n ? na1 ? 2 2 3 1 15 an ? , an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) , 如 (1) 数列 {an } 中, 前 n 项和 S n ? ? , 则 a1 = _, (答: a1 ? ?3 , n =_ 2 2 2 n ? 10 );
( 2 ) 已 知 数 列

8 ? d ?3) 3

{an } 的 前 n 项 和 Sn ? 12n ? n2 , 求 数 列 {| an |} 的 前 n 项 和 Tn ( 答 :

2 * ? ?12n ? n (n ? 6, n ? N ) Tn ? ? 2 ). * ? ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N )

4、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技 巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为?,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
5、等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。
(3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 如(1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ;
* (4) 若 {an } 、 {bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 {ap?nq }( p, q ? N ) 、

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数
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列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 。 (答:225) ( 5 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 , 当 项 数 为 偶 数 2 n 时 , S偶-S奇 ? nd ; 项 数 为 奇 数 2n ? 1 时 , S奇 ? S偶 ? a , 中 ; S奇:S偶 ? n : ?n - 1?。 S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) 如(1)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). (6)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

An a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? f ( n) ,则 n ? ? ? f (2n ? 1) . Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________(答: ? bn Tn 4n ? 3

6n ? 2 ) 8n ? 7
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ? ;法二:因等差数 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?

列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用
*

了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大, 最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) (3)在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其前 n 项和,则( A、 S1 , S2 ?S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 D、 S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (答:B) (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两 等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm . )

二、等比数列的有关概念:
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1、等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n (n ? 2) 。 ? q(q为常数) an an an?1

如(1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____(答: 数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。 2、等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 如等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和 q .(答: n ? 6 , q ? 3、等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ?

5 ) ; (2) 6

1 或 2) 2

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) ; (2) ; ? (? Cnk ) 的值为__________(答:2046)
n ?1 k ?0 10 n

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由

q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。
4、等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同 号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大 小关系为______(答:A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基 本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧, 如奇数个数成等比, 可设为?,

a a a a 3 , , a, aq, aq 2 ? (公比为 q ) ; 但偶数个数成等比时, 不能设为? 3 , , aq, aq , ?, 2 q q q q
2

因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 。如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成 等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4, 8,16) 5.等比数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? ap 2 . 如(1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?
*

(答:10) 。

(2) 若 {an } 是等比数列, 则 {| an |} 、 若 {an }、 则 {anbn } 、 {kan } 成等比数列; {bn } 成等比数列, {ap?nq }( p, q ? N ) 、

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a 且公比 q ? ?1 , 则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ?也是等比数列。 当 q ? ?1 , { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, bn
且 n 为偶数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列.

? log ? 100 , 则 如 ( 1 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 loga x n?1 ? 1 a x n ( n ? N *) , 且 x1 ? x 2 ? ? ? x 1 0 0 x1 0 1? x 1 0 2?? ? x
200

?

. (答: 100a

100

) ;

(2)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为______(答:40) (3)若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递 减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,是等比数列前 n 项和公式的 1? q 1? q

一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列。 如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1)

(5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列, 则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此数列既成等 差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若 a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既
n

是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比 数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:②③)

三、数列通项公式的求法
一、公式法 ① an ? ?

( ?S 1 n ? 1) ; ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

② ?an ? 等差、等比数列 ?an ? 公式. 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

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评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为 利用等差数列的通项公式求出 二、累加法

an ?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是等差数列,再直接 n ?1 2 2 2 2n

an 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2

例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 进 而 求 出

(an ? a? ? ? n1 ) ? (a? n1 ? a? n2 )

? (a ?a ?a ) ?a {an } 的通项公式。 3 2 ) ? (a 2 1,即得数列 1

例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2 ? 3 ,进而求出 ? 1

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
三、累乘法 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转 化 为

an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进 而 求 出 an

an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1
四、取倒数法 例 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1



将 an ?

a n ?1 1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是一个等差数列,首项是 ? 1 ,公差为 2, a n a n ?1 an a1 2a n?1 ? 1

所以

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? . 2n ? 1 an

五、待定系数法 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5
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n?1

? 2(an ? 5n ) ,从而可知数列 {an ? 5n }是等

比数列,进而求出数列 {an ? 5n }的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为 an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知 数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 六、对数变换法
5 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 {lg an ? n? ? } 是等比数 4 16 4 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 列,进而求出数列 {lg an ? 4 16 4 lg an ?1 ?
七、迭代法
3( n ?1)2 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n ?1)2 评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 an?1 ? an 两边取常用对数得

n

lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an





lg an?1 ? 3(n ? 1)2n lg an
n ( n?1) 2






n ( n ?1) 2













n?1 lg an lg an?1 lg a3 lg a2 lg an ? ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2



八、数学归纳法 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得。 。 。 。 。 。 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2

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(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) 。 。 。 。 。 。 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

九、换元法 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 2 2 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得。 。 。 。 。 。即 4bn ?1 ? (bn ? 3) 24 16 1 3 bn ? , 2 2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所 以 {bn ? 3 } 是 以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为 首 项 , 以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

十、构造等差、等比数列法 ① an?1 ? pan ? q ;② an?1 ? pan ? qn ;③ an?1 ? pan ? f (n) ;④ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an . 例 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【解析】? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)

? an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ? 3.

【反思归纳】递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” 适用于待定系数法或特征根法: ①令 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ;
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② 在 an?1 ? pan ? q 中令 a n ?1 ? a n ? x ? x ?

q ,? an?1 ? x ? p(an ? x) ; 1? p

③由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q ,? an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) . 例 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

【解析】? an?1 ? 2an ? 3n ,?

a n ?1 a a 3 ? nn ? ( ) n ,令 nn ? bn n ?1 2 2 2 2 ?1 3 ? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? 2 ? ( ) n ? 2 2

? an ? 3n ? 2n

【反思归纳】递推关系形如“ an?1 ? pan ? qn ”通过适当变形可转化为: “ an?1 ? pan ? q ”或“ an?1 ? an ? f (n) n 求解. 十一、不动点法 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3
1 3 bn ? 形式,从而可知数列 2 2

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?

{bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
前 n 个正整数的和
1? 2 ? 3 ??? n ? n(n ? 1) 2

前 n 个正整数的平方和

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
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前 n 个正整数的立方和 公式法求和注意事项

n(n ? 1) 2 ] 2 (1)弄准求和项数 n 的值; 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [

(2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。
例 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

例 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

∴ f ( n) ?

1 1 1 Sn ? = = = 64 8 50 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 ? ( n? ) 2 ? 50 n n
1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

∴ 当

n?

二、错位相减法求和 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知

和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同 倍数的等比数列求和。
例: (2009 全国卷Ⅰ理)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn n a a 1 1 分析: (I)由已知有 n ?1 ? n ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * 利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? n ?1 ( n ? N ) 2
(II)由(I)知 an ? 2n ?
n n n n n n k k , = (2 k ? ) ? (2 k ) ? S ? ? ? ? n n ?1 k ?1 k ?1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

三、

倒序相加法求和

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就 可以得到 n 个 (a1 ? an ) .



0 1 2 n 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

9 / 12

0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

∴ 四、分组法求和

S n ? (n ? 1) ? 2 n

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

例: (2010 全国卷 2 文) (18) (本小题满分 12 分)已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2(

1 1 ? ), a1 a2

a3 ? a4 ? a5 ? 64(

1 1 1 ? ? ) a3 a4 a5 1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使 之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

10 / 12

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.



求数列

1? 2 1

an ?

n ? n ?1 1 1? 2 ?

? n ?1 ? n 1 2? 3 1 n ? n ?1

则 Sn ?

? ??? ?

= n ? 1 ?1



在数列{an}中, an ? ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1



8n n ?1

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一 起先求和,然后再求 Sn.

例 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5



在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
七、利用数列的通项求和
11 / 12

=10

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.



求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1

n个1

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?



1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81

12 / 12


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