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等比数列求和几种方法


初探等比数列求和的几种方法 摘要:数列求和是高中数学教学中的难点、重点,属于思维开发 类的题目。在教学过程中,由于其数列安排的繁琐、复杂,使学生 一看容易产生“懵”的感觉,总是觉得无处下手,其实数列之间都 有一定的关系,关键在于教师要引导学生分析、讨论其数列之间的 关系形式,进而自主解决问题。新课改一直强调课堂教学中学生的 主体性作用,作为教师在教学中可以引导学生分析数列关系,然

后 引导学生拓展思维,分析、讨论数列求和的解题方法。 关键词:等比数列;求和;方法 数列求和作为高中数学教学中的难点和重点,是高考考核的重要 部分之一,作为教师应加强关注学生,结合学生的个性特征,构建 和谐、平等的教学环境,引导学生分析、总结数列之间的关系,进 而让学生自主探究、解证,凸现课堂教学中学生的主体性作用,鼓 励学生创新,探索多种等比数列求和的方法。 所谓等比数列指的是:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。其中,这 个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q≠0) 。注: q=1 时,an 为常数列。在此,笔者结合自己多年的教学经验,谈一 下如何在等比数列求和教学中,引导学生总结多中解题方法。 一、恒等变形法 所谓恒等变形法指的是:在保持原式结果恒等的情况下,优化、 改变原题的表现形式。这样一来,原式就具有明显的共同点,便于 更好地解决问题。对于此方法的运用,可以首先师生共同分析、总 结,改变原式;之后引导学生自主解题;最后,引导学生拓展思维, 找出不同的变形式来解题,可以是自主地也可以是小组合作进行, 锻炼和培养学生思维能力的同时提高学生的动手实践能力,深化学 生对数学的认知。如: 解题:a1+a1q+a1q2+??+a1qn-1。 1.师生共同分析、总结变形后的式子为:a1(1+q+q2+??+qn-1) 之后,引导学生自主解决可以得出:a1(1+q+q2+??+qn-1).分 解因式等于:1-qn=(1-q) (1+q+q2+??+qn-1).因此,a1 (1+q+q2+??+qn-1)=a1(1-qn)/1-q,最后得出:sn=a1(1-qn) /1-q. 2.拓展学生思维空间,给予学生足够的自主权,让学生自主地或 者小组合作找出其他的变形式, 并解决问题, 提高学生的数学素养。 高中生已经具备了一定的独立思考能力,有了一定的思维结构,很 快学生就得出了不同的变形式。即: a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+(a1q++a1q2+? +a1qn-1+a1qn)-a1qn=a1+q(a1+a1q+?a1q2+?+a1qn-1) -a1qn=a1+qsn-a1qn, 因此, a1+qsn-a1qn=sn, 所以同样得出: sn=a1 (1-qn) /1-q,还可有:a1+a1q+a1q2+??+a1qn-1=a1q+a1q2+?? +a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q,因此 sn=sn-a1+a1qn/q 最后也得 出:sn=a1(1-qn)/1-q.这样的方法还多种多样,其关键在于教师 的引导,数学本身属于实践性、探究性较强的学科,作为数学教师, 应抓住一切机会,给予学生自主权,培养学生积极探究的兴趣和欲 望,从而提高学生的综合技能。 二、比例性推理法 所谓比例性推理法指的是:根据等比数列的本质特征和性质公式, 实施推理,得出结论,能够有效地锻炼学生的逻辑思维能力。如: 等比数列的概念指出:a2/a1=a3/a2=??=an/an-

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