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福建省龙岩市2010-2011学年高一上学期期末考试数学试题


龙岩市 2010~2011 学年度第一学期期末教学质量检查

高一数学试题
(考试时间:120 分钟;
第Ⅰ卷 题号 一 得分 二 三 总分 四 五 总分
[来源:学科网]

满分:150 分)
第Ⅱ卷
[来源:学科网]

Ⅰ+Ⅱ 总分

[来源:学|

科|网 Z|X|X|K][来源:学科网]

第Ⅰ卷(共 100 分)
得 分 评卷人 一. 选择题: (每小题 5 分,共 40 分)

1.若直线 l 上的一个点在平面α内, 另一个点在平面α外, 则直线 l 与平面α的位置关系是 ( A. l ? α B. l ? α C. l ∥α D.以上都不正确 ( B.45° C.30° D.135° ( C. (-2,3),



2. 直线 x-y+1=0 的倾斜角是 A. 60°



3. 圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 的圆心和半径分别是 A. (-2,3), 1 B. (2,-3), 3



2 D. (2,-3),

2
4. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线 BA 1与 B 1D 1 所成的角为 A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 90 ? ( ) ( )

5. 过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

6. 点 P(1, 2, 2)是空间直角坐标系中的一点,设它关于 y 轴的对称点为 Q, 则 PQ 的长为 ( A. 2 5 7. 下列命题中正确的是 B. 5 2 C. 3 2 D. 2 3 (





A.若一条直线垂直平面内的两条直线,则这条直线与这个平面垂直; B.若一条直线平行平面内的一条直线,则这条直线与这个平面平行; C.若一条直线垂直一个平面,则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直; D.若一条直线与两条直线都垂直,则这两条直线互相平行 8. 如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0 与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0 互相垂直,则 a 的值等于 ( ) A. 2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2

得 分

评卷人 二. 填空题(每小题 4 分,共 20 分)

9. 棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 为 是 12. 若实数 x, y 满足 ( x ? 2) ? y ? 3, 设k ?
2 2

.

10. 已 知 直 线 a // 平 面 ? , 平 面 ? // 平 面 ? , 则 直 线 a 与 平 面 ? 的 位 置 关 系 . . 11. 直线 l 过 P(3,4) ,且 A(?2,3)、B(8,13) 到直线 l 距离相等,则直线 l 的方程

y ,则实数 k 的取值范围是 x



13. 如图是一个正方体纸盒的展开图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①BM 与 ED 平行; ③CN 与 BM 成 60 角; 其中,正确命题的序号是
?

②CN 与 BE 是异面直线; ④DM 与 BN 垂直. . (第 13 题图)

得 分

评卷人 三. 解答题(每题 10 分,共 40 分)

14. (本题满分 10 分)求经过直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0, l2 : 2 x ? y ?1 ? 0 的交点且垂直于直线

2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程.

15. (本题满分 10 分)如图所示,一个简单的空间几何体的正视图和侧视图是边长为 2 a 的 正三角形,俯视图轮廓为正方形,试描述该几何体的特征,并 求该几何体的体积和表面积.

(第 15 题图) 图

16. (本题满分 10 分)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 0 与以原点 O 为圆心的某圆关于直线

y ? kx ? b 对称. (1)求 k , b 的值; (2)若这时两圆的交点为 A, B ,求∠AOB 的度数.

17.(本题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,PB?平面 ABCD,MA?平面 ABCD,

PB=AB=2MA.

求证:(1)平面 AMD∥平面 BPC;(2)平面 PMD?平面 PBD.

(第 17 题图)

第Ⅱ卷(共 50 分)
得 分 评卷人 四. 选择题(每小题 5 分,共 20 分.)

18.若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0(m,n ? R) 始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的周长,则

m 、 n 的关系是
A. m ? n ? 2 ? 0 B. m ? n ? 2 ? 0 C. m ? n ? 4 ? 0 19. 已知 ? 、 ? 是不同的平面, m 、 n 是不同的直线,则下列命题不 正确的是 . A. 若 m ? ? , m ∥ n, n ? ? , 则 ? ? ? C. 若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ?

( D. m ? n ? 4 ? 0 (

) )

B. 若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n D. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? . )

20. 如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误 的为( .. A. AC ? BD B. AC ∥截面 PQMN C. 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 D. AC ? BD 21. 若圆 O1 方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ,圆 O2 方程为 ( x ? 3) ? (第 ( y ? 2) ? 1 ,则方程 20 题图)
2 2 2 2
?

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1表示的轨迹是
A.经过两点 O1 , O2 的直线 B.线段 O1O2 的中垂线 C.两圆公共弦所在的直线 D.一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等 得 分 评卷人 五. 解答题(每小题 10 分,共 30 分)





22. (本题满分 10 分)如图,已知 ?ABC 与 ?DBC 都是边长为

ABC ? 平面 DBC ,过点 A 作 PA ? 平面 ABC ,且 AP ? 2 .
(1)求证: PA / / 平面 DBC ; (2)求直线 PD 与平面 ABC 所成角的大小.

2 3 的等边三角形,且平面 3

23. (本题满分 10 分)一只小船以 10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高 20 米的 桥上,一辆汽车由西向东以 20 m/s 的速度前进(如图) ,现在小船在水平面 P 点以南的 40 米 处,汽车在桥上 Q 点以西 30 米处(其中 PQ⊥水面) ,求小船与汽车间的最短距离(不考虑汽 车与小船本身的大小).

24.(本题满分 10 分)已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .
2 2

(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P( x1 、 y1 )向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有

PM ? PO ,求使得 PM 取得最小值的点 P 的坐标.

龙岩市 2010~2011 学年度第一学期期末教学质量检查

高一数学试题参考答案
第Ⅰ卷
一、 选 择题(每小题 5 分,共 40 分)

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 9. 12? . 10. 直线 a 平行于平面 ? 或直线 a 在平面 ? 内. 12. ? ? 3, 3 ? 11. x ? 3或y ? x ? 1

?

?

13. ③④

三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 14. (本小题满分 10 分) 解:法 1:由 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 1 ,得 ? , ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?y ?1

…………4 分 …………9 分 …………10 分 …………3 分 …………5 分 …………9 分 …………1 0 分 ………2 分 …………5 分
2 2

再设所求直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,则 1 ? 2 ?1 ? c ? 0 ? c ? 1 , 故所求直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 法 2:设所求的直线方程为 x ? y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 1) ? 0 , 转化为 (1 ? 2? ) x ? (1 ? ? ) y ? (? ? 2) ? 0 , 又所求直线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 垂直, 所以 2(1 ? 2? ) ? (1 ? ? ) ? 0 ? ? ? ?1 , 故所求的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 15. (本小题满分 10 分) 解:该几何体为底边长为 2 a 的正方形,高为 3 a 的正四棱锥.

?

1 1 4 3 3 V ? S底h ? ? (2a)2 ? 3a ? a , 3 3 3

四棱锥的侧面是全等的等腰三角形,设其高为 h ? , h?= ( 3a) ? a ? 2a ,

?

1 S表 ? S侧 +S底 ? 4 ? ? (2a) 2 ? (2a) 2 ? 12a 2 2 4 3 3 答:该几何体的体积为 a ,表面积为 12 a 2 . 3
16. (本小题满分 10 分)

…………9 分 …………10 分

解:(1)因为圆 C 的圆心为(-4,2)与 o (0,0)关于直线 y ? kx ? b 对称,所以

??2k ? b ? 1 ? 解得 k =2,b=5 ? 1 kOC ? k ? ? ? k ? ?1 ? ? 2
( 2)由题设条件可知四边形 OACB 为菱形, 且 OA=OC=AC,所以∠AOB= 120 . 17. 证明: (1)∵PB?平面 ABCD,MA?平面 ABCD,∴PB∥MA. ∵PB?平面 BPC,MA ? / 平面 BPC,∴MA∥平面 BPC.
0

…………5 分

…………10 分 …………2 分

同理 DA∥平面 BPC, ∵MA?平面 AMD,AD?平面 AMD,MA∩AD=A, ∴平面 AMD∥平面 BPC. (2)连结 AC,设 AC∩BD=E,取 PD 中点 F,连接 EF,MF.

…………3 分

…………5 分

1 ∥1 ∥ ∵ABCD 为正方形,∴E 为 BD 中点.又 F 为 PD 中点,∴EF∥ = 2PB. 又 AM = 2PB,∴AM = EF.∴

AEFM 为平行四边形.
∴MF∥AE. ∵PB?平面 ABCD,AE?平面 ABCD,∴PB?AE.∴MF?PB. 因为 ABCD 为正方形,∴AC?BD.∴MF?BD. 又 PB ? PD ? P ,∴MF?平面 PBD. ∴平面 PMD?平面 PBD. 又 MF?平面 PMD.

…………7 分

…………8 分

…………10 分

第Ⅱ卷
四、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

五、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)取 BC 的中点 O ,连接 DO ,则 DO ? BC 又∵平面 DBC ? 平面 ABC ,∴ DO ? 平面 ABC . …………3 分 而 AP ? 平面 ABC , ∴ DO / / PA , 又∵ DO 在 平面 DBC 内, ∴ PA / / 平面 DBC . …………5 分 (2)∵ D 在平面 ABC 的射影是 O , P 在平面 ABC 的射影 是 A ,∴ DP 在平面 ABC 的射影是 OA ,即直线 PD 与平面 ABC 所成角就是直线 PD 与直线 OA 所成的角, ……6 分 过 D 作 DM / / OA 交 PA 于 M ,由(Ⅰ)可知 DO / / PA ,

(第 22 题图)

∴ DM ? OA ? 1, DO ? MA ? 1 ? PM ? 1 又∵ AP ? 平面 ABC ∴ PA ? OA ? PA ? DM ∴在 ?t? PMD中,PM ? DM ? 1

…………8 分

…………9 分

∴ ?PDM ? 45? …………10 分 23. (本小题满分 10 分) 解:设经过时间 t 汽车在 A 点,船在 B 点, (如图)…………1 分 β 则 AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有 AQ⊥BP,PQ⊥AQ,PQ⊥PB, …………3 分 设小船所在平面为 ? ,AQ,QP 确定平面为β,记 ? ∩β=l,由 AQ∥ ? ,AQ ? β得 AQ∥l, 又 PQ⊥水面,即 PQ⊥ ? ,作 AC∥PQ,则 AC⊥ ? .连结 CB,则 AC⊥CB . α 再由 AQ⊥BP ,CP∥AQ 得 CP⊥BP, …………5 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (第 23 题图) ∴AB =AC +BC =PQ +PB +PC =20 +(40–10t) +(30–20t) 2 =100[5(t–2) +9], …………8 分 t=2 时 AB 最短,最短距离为 30 m. …………10 分 24.(本小题满分 10 分) 解: (1)? 切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零, (a ? 0) ? 设切线方程为 x ? y ? a ,
2 2

………………………………1 分

又? 圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ,? 圆心 C (?1, 2) 到切线的距离等于圆的半径 2 ,

?

?1 ? 2 ? a 2

? 2 ? a ? ?1, 或a ? 3,

………………………………3 分

则所求切线的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 . (2)? 切线 PM 与半径 CM 垂直,? PM
2 2

………………………………5 分
2

? PC ? CM , ……………………………6 分

?( x1 ? 1) 2 ?( y1 ? 2)2 ? 2 ? x12 ? y12 ,?2x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0,

? 动点 P 的轨迹是直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,

………………………………8 分

PM 的最小值就是 PO 的最小值,而 PO 的最小值为 O 到直线 2 x ? 4y ? 3? 0的距离
d= 分

3 5 . 10

……………………………………………………………… 10

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