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湖南省岳阳县第一中学2015届高三10月月考数学(理)试题


湖南省岳阳县一中 2015 届高三 10 月第二次月考 数 学(理科)

总分:150 分 时量:120 分钟 命题:易正红 审题:唐元波 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.设集合 P ? {1, 2,3, 4,5,6}, Q ? {x

| 2 ? x ? 6} ,那么下列结论正确的是( A. P ) D. ( P

Q?P

B. ( P

? Q) ? ?? Q
)

C. P

Q?Q

Q) ? ? ?? P

2.设 p : x ? R , q : 2 ? x ? 3 ,则 p 是 q 成立的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 3.命题“ ?x ? R ,都有 x 3 ? x 2 ”的否定是(
3 2 ? x0 A. ?x0 ? R ,使得 x0 3 2 ? x0 C. ?x0 ? R ,使得 x0

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )
3 2 ? x0 B. ?x0 ? R ,使得 x0 3 2 ? x0 D. ?x0 ? R ,使得 x0

4.已知扇形的面积为 A.

?
12 3 5

? ,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是( 6 ? ? B. C. 6 3
) C. )

) D.

2? 3

5.已知 cos(? ? x) ? , x ? (? , 2? ) ,则 sin x ? ( A. ?

3 5

B. ?

4 5

3 5

D.

4 5

6.函数 y ? log 2 (2 x 2 ? x) 的定义域为( A. {x | x ? ? , 或x ? 1} C. {x | x ? 0, 或x ? }

1 2

B. {x | x ? ? , 或x ? 1} D. {x | x ? 0, 或x ? }

1 2

1 2

1 2

[来源:Z#xx#k.Com]

?log (1 ? x), x ? 0, 7.若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2 ,则 f (2014) ? ( ? f ( x ? 5), x ? 0
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1

)

8.若函数 f ( x) ? A sin 2? x( A ? 0, ? ? 0) 在 x ? 1 处取得最大值,则 f ( x ? 1) 的奇偶性为( A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 5 ? 9.函数 f ( x) ? sin( x) ? log 2 x 的零点个数为( ) 2 2

)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10.已知两条直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ?

4 17 ? 1 l (m ? 0, m ? ) , 1 与函数 y ?| log 2 x | 的图象 m ?1 2

从左至右相交于点 A、B , l2 与函数 y ?| log 2 x | 的图象从左至右相交于点 C、D .记线段

AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a, b ,当 m 变化时,
A. 16 B. 8 C. 4

b 的最小值为( a
D. 2

)

二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.函数 y ? 3sin(2? x ? 12.计算 ?
2

?
4

) 的最小正周期为
.

.

0

4 ? x 2 dx 的结果是

13.已知 sin ? cos ? ?

1 ? ,且 ? ? (0, ) ,则 cos ? ? sin ? ? 4 4

.

14. 已知函 数 f ( x) ? ? x 2 ? 2mx ? 1 , 若 ?x0 ? R , 使得 ?x1 ? [1, 2] 都 有 f ( x1 ) ? f ( x0 ) , 则 实数 m 的 取值 范围 是 .

15.下图展示了一个由区间 (0,1) 到实数集 R 的映射过程:区间 (0,1) 中的实数 m 对应数轴上 的点 M ,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A, B 恰好重合(点 M 从点 A 按逆时针方 向运动至点 B ),如图 2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐 标为 (0,1) ,如图 3.图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) ? n .
y A (B ) A 0 M m B 1 M A C M N 图① 图② O 图③ x

下列说法中正确命题的序号是 ① f ( ) ?1;

.(填出所有正确命题的序号) ③方程 f ( x) ? 0 的解是 x ?

1 4

② f ( x) 在定义域上单调递增;

1 ; 2

[来源:Zxxk.Com]

④ f ( x) 是奇函数;

⑤ f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称.

1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? { y | y ? x 2 ? 数 m 的取值集合 . ..

3 3 x ? 1, x ? [ , 2]}, B ? {x | x ? m 2 ? 1} .若“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件,求实 2 4

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? ) 的 部分图象如图 右所示. (Ⅰ )求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ )将函数 f ( x) 的图象向右平移 . 求 g ( x) 的单调递增区间 ....
1

? 2

y

? 个单位,得到函数 g ( x) , 4

O

5? 12

11? 12

x

18.(本小题满分 12 分)

b ? 2x 是奇函数. a ? 2 x ?1 (Ⅰ )求 a, b 的值,并判断 f ( x) 的单调性(不必给出证明 ); ......
已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅱ )若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分) 现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元 1 51 x x x ? ax 2 ? ln , 且 ? [t , ??) ,其中为大于2的常数.当 x ? 10 时, y ? 9.2 . 50 10 2 x ? 12 (Ⅰ )求 y ? f ( x) 的解析式和投入 x 的取值范围; 之间满足 y ?

(Ⅱ )求旅游增加值 y 取得最大值时对 应的 x 值.
[来源:学§科§网]

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 y ? f ( x) , 若存在 x0 ? R , 使 f ( x0 ) ? x0 , 则称 x0 是函数 y ? f ( x) 的一个不动点 . 设二次函数

f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1) .
(Ⅰ )若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (Ⅱ ) 在 (Ⅰ ) 的条件下 , 若 y ? f ( x) 的图象上 A、B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点 , 且 A、B 两点关于直线

y ? kx ?

1 2a ? 1
2

对称,求 b 的最小值.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1(a ? R ) . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的单调递 增区间 ; . ... (Ⅱ )若对一切实数 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. (Ⅲ)求证: ( ) n ? ( ) n ?

1 n

2 n

?(

n ?1 n n n e ) ?( ) ? , n? N* . n n e ?1

第二次月考参考答案(理 数) 一、选择题 D B C C B; 二、填空题 11. 1 三、解答题 16.【解】由 y ? x 2 ? . ABACB 12. ? . 13.

2 . 2

14. m ? 1或m ? 2 .

15 ②③⑤ .

3 3 7 x ? 1 ? ( x ? )2 ? , 2 4 16

3 4 7 所以 A ? [ , 2] , 16

因为 x ? [ , 2] ,所以

7 ? y ? 2 ……………………………………………………………4 分 16

由 x ? m 2 ? 1 ,得 x ? 1 ? m 2 ,所以 B ? [1 ? m 2 , ??) …………………………………………6 分 因为“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件, 所以 A ? B …………………………………………………………………………………9 分

【注】本题属容易题,主要考查考生的基础及 审题习惯 ,若考生未按照题意将 m 的取值范围写成集合或区间 形式,是需扣除 2 分,望阅卷老师务必把关!

7 3 3 ,解得 m ? 或m ? ? .…………………………………………………10 分 16 4 4 3 3 故实数 m 的取值集合为 {m | m ? ? , 或m ? } …………………………………………12 分 4 4 ??? ?? T 17.【解】(Ⅰ )由图象知, T ? 2( ? ) ? ? ,则 ? ? ? 2 ,………………………………2 分 12 12 2? 5? y 又点 ( ,0) 在函数图象上, 12 5? 5? 即 A sin( ? ? ) ? 0 ,即 sin( ? ? ) ? 0 1 不交待角的范围就 6 6 ? 5? O 11? x 直接得出 ?? ? 5? 5? 4? 12 12 6 , ? ?? ? 又 0 ? ? ? ,故 2 6 6 3 的,应扣除 1 分
所以 1 ? m 2 ?

5? ? ? ? ? ? ,即 ? ? …………………………………………………………………4 分 6 6 ? 又点(0,1)在函数图象上,所以 A sin ? 1 ,得 A ? 2 . 6 ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 为所求..………………………………………………………6 分 6
所以 (Ⅱ )由题知 g ( x) ? f ( x ?

) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) …………………………8 分 4 4 6 3 ? ? ? ? 5? , k ? Z ………………………10 分 令 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ,得 k ? ? ? x ? k ? ? 2 3 2 12 12 ? 5? 所以 g ( x) 的递增区间是 [k ? ? , k ? ? ], k ? Z ……………………………………12 分 12 12

?

?

?

?

[来源:学科网 ZXXK]

【注】若考生未将单调区间写“区间形式”,则应扣除 2 分! 18.【解】(Ⅰ )因 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 解得 b ? 1 ,从而有 f ( x) ? 又由 f (?1) ? f (1) 知

b ?1 ? 0, a?2

1 ? 2x .…………………………………………………………2分 a ? 2 x ?1

?1 1 ?? ,解得 a ? 2 , a?4 2(a ? 1)

经检验当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ?

1 ? 2x 为奇函数; ………………………………………5分 2 ? 2 x ?1

【注】以特值法求出 a ? 2, b ? 1 未写出“检验步骤”的同学,应扣除1分;

1 ? 2x 1 1 ?? ? x ,x?R x ?1 2?2 2 2 ?1 显然, y 随 x 的增大而减小,即 f ( x) 在 R 上为减函数. ……………………………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ )知, f ( x) 为奇函数,
又 f ( x) ? 所以不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) , 又 f ( x) 为 R 上的减函数,所以 t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 , 即对一切 t ? R 有 3t 2 ? 2t ? k ? 0 成立, 所以 ? ? 4 ? 12k ? 0 ,解得 k ? ? ,即求. …………………………………………………12分 19.【解】(Ⅰ )因当 x ? 10 时, y ? 9.2 ,即 所以 f ( x) ?

1 3

51 1 ? 10 ? a ? 102 ? ln1 ? 9.2 ,解得 a ? .………2 分 50 100

51 x2 x x? ? ln , 50 100 10 x 1 12t ? t , 且 t ? ,解得 6 ? x ? 又因为 2 x ? 12 2 2t ? 1 12t ]. ………………………………………………………6 分 即投入 x 的取值范围是 (6, 2t ? 1 51 x 1 x 2 ? 51x ? 50 ( x ? 1)( x ? 50) (Ⅱ )对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? , ? ? ?? ?? 50 50 x 50 x 50 x 又因为 x ? 6 ,所以从广义上讲有, 当 6 ? x ? 50 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,当 x ? 50 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减. 所以当 x ? 50 时为极大值点,也是最大值点,于是 12t 1 25 ? 50 ,即 t ? ( , ] 时,投入 50 万元改造时取得最大增加值; …………………10 分 ① 当 2t ? 1 2 44 12t 25 12t ? 50 时,即 t ? ( , ??) 时,投入 ② 当6? 万元改造时取得最大增加值. ……13 分 2t ? 1 44 2t ? 1
【注】第(Ⅱ )问若未分类讨论,算出的结果至多只能得 3 分,即不超过第(Ⅱ )问的一半分. 20.【解】(Ⅰ ) 因函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点, 所以 f ( x) ? x ? ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有两个不等的实根, 所以 ? ? b 2 ? 4a (b ? 1) ? b 2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立, ……………………………4 分 所以 ? 2 ? (4a) 2 ? 16a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,即求.…………………………………………6 分 (Ⅱ )设 A、B 两点的横坐标为 x1、x2 ,由(Ⅰ )知 x1 ? x2 ? ? (0 ? a ? 1) ,

b a

x1 ? x2 b 1 ?? ,且由题知 k ? ?1, y ? ? x ? 2 ,…………………………………8 分 2 2a 2a ? 1 1 b b 1 ? 2 ), 又由题知 AB 的中点 E 在直线 y ? ? x ? 2 上,即 E (? , 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1
所以

显然 E 点也在直线 y ? x 上,于是 ? 可化为 b ? ?

b b 1 ,………………………………10 分 ? ? 2 2a 2a 2a ? 1
1 2 2 ?? 2 , 4

a 2a ? 1
2

??

1 1 2a ? a

??

1 2 ,即 a ? ? (0,1) 时上式取等号, a 2 2 所以 b 的最小值为 ? .…………………………………………………………………13 分 4
当且仅当 2a ? 【注】第(Ⅱ )问若未说明 b 取最小值的条件 a ?

2 ? (0,1) ,则至少 要扣除 1 分. 2

21.【解】(Ⅰ )由 f ?( x) ? e x ? a ,.………………………………………………………………1 分 ① 当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? e x ? a ? 0 ; ② 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a ,显然当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ; 所以当 a ? 0 时, f ( x) 在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (ln a, ??) 上递增;.……………………………………………… ……4 分(Ⅱ )由(Ⅰ )问知,当

a ? 0 时, f ( x) 递增,且 f (?1) ?

1 ? a ? 1 ? 0 ,不合题意,舍去.……5 分 e 当 a ? 0 时,由(Ⅰ )知,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0
所以当 x ? ln a 时, f ( x) 有极小值也是最小值,即 f ( x) min ? f (ln a ) ? a ? a ln a ? 1 , 依题意 a ? a ln a ? 1 ? 0 ,…① ……………………………………………………………7 分 定性分析、定量计算 ①式可化为 1 ?

1 a ?1 ? ? ln a ,而由 重要超越不等式 知: a a

a ?1 a ?1 ? ln a ? a ? 1, a ? 0(a ? 1时取到等号),所以比较上下两式可以发现 ? ln a , a a
即 a ? a ln a ? 1 ? 0(a ? 1 时取到等号),下面给出其证明: 令 g (a ) ? a ? a ln a ? 1, a ? 0 ,则 g '(a ) ? ? ln a , 于是 g '(a ) ? 0 时, a ? 1 , 同理知当 a ? 1 时, g (a ) 有极大值也是最大值, 所以 g (a ) ? g (1) ? 0 ……② 比较① ② 式可得, g (a ) ? 0 ,即 a ? 1 为所求. …………………………………………10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知对 ?x ? R ,有 e x ? x ? 1 ,
i ? i i n?i n ? ?? ? ?0 n n n n?i n (n ? i)n ) ,即 即有 e ? i ? ? ? e ? i (当且仅当 i ? 0 时取等号) n nn

于是令 x ? ? , n ? N ? , i ? N , i ? n ,则有 e

[来源:学科网]

1 2 n ? 1 n n n 1 n ?1 1 n ? 2 1 1 1 ? e? n 所以有 ( ) n ? ( ) n ? ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ( )1 ? ( ) 0 ? n n n n e e e e 1 ? e ?1 ?n 1 2 n ?1 n n n 1 ? e 1 e 即 ( )n ? ( )n ? ? ( ,即证. …………………13 分 ) ?( ) ? ? ? ?1 ?1 n n n n 1? e 1? e e ?1


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