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江西金太阳2007届高三全国第二次大联考试题——数学(理)(湖南专用)


-

全国大联考(湖南专用)
2006 届高三第二次联考数学试卷(理)
题号 得分 一 命题:湖南师大附中、长沙市雅礼中学等校 审定:江西金太阳教育研究所数学研究室 二 三 总分 合分人 复分人

考生注意:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 2

. 答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3. 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上,第Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答题. 4. 本试卷主要考试内容:函数、集合、映射、简易逻辑.

第Ⅰ卷

(选择题

共 50 分)

一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.下列函数中是同一函数的是 A.y=1 与 y=x0 C.y=2lgx 与 y=lgx2 B.y=x 与 y= a


log a x

D. y=2x 1-2x 与 y=2x

2.若集合 M={y|y=x2,x∈Z},N={x||x-3|≥6,x∈R},全集 U=R,则 M∩ ? UN 的真子集个数是 A.15 B.7 C.16 D.8 b 3.已知 a,b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍 a 为 x,则 a+b 等于 A.-1
2

B.0

C.1

D.±1

4.已知 f(x)=- 4-x 在区间 M 上的反函数是其本身,则 M 可以是 A.[-2,2] B.[-2,0] C.[0,2] D.(-2,2) 5.已知 f(x)是 R 上的增函数,令 F(x)=f(1-x)-f(3+x),则 F(x)在 R 上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 2 6.已知 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根,q:二次函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数,若 “p 或 q”是真命题,而“p 且 q 是假命题” ,则 a 的取值范围是 A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞) 1 7.设 a>1,实数 x,y 满足|x|-loga =0,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 y y 1 1 O A x O B x O C 1 x O D C 1 x y y y

8.点 P 是曲线 y=2-ln2x 上任意一点,则点 P 到直线 y=-x 的最小距离为
-1-

-

5 A. 2 4 A.(0,2)

3 B. 2 4 B.(0,2]

3-2ln2 C. 2 C.(0,4]

3-ln2 D. 2 D.(0, 2)

9.设 f(x)=|2-x2|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 ab 的取值范围是

? 1 ,x≠1 ? 10.设定义域为 R 的函数 f(x)=?|x-1| ,若关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 3 个不同的实数解 ? ?1 ,x=1
x1、x2、x3,则 x1 ? x 2 ? x3 等于
2 2 2

A.5 题号 答案 1 2 3

2b2+2 B. 2 b 4 5

C.13 6 7

3c2+2 D. 2 c 8 9 10

第Ⅱ卷
4 2 10 ( )x+( )x- 的定义域为 9 3 9

( 非选择题

共 100 分)
. .

二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 11.函数 y=

12.已知函数 f(x)=

bx ,若方程 f(x)=-2x 有两个相等的实根,则函数解析式为 2-3x


13.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ 随使用年数 t 的变化规律是 μ=μ0e λt,其中 μ0、λ 是正常数.经 检测, t=2 时, 当 μ=0.09μ0, 则当稳定系数降为 0.50μ0 时, 该种汽车的使用年数为 (结 果精确到 1,参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771). 14.已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个等式: ①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b. 其中可能成立的关系式是 (填序号). 15.已知 n 元集合 M={1,2,?,n},设 M 所有的 3 元子集的元素之和为 Sn,则 lim
n? ?

Sn = n2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|log 1 (x-a2)<0},B={x||x-3|<a},若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围.
3

-2-

-

17.(本小题满分 12 分) a·2x-1 已知函数 f(x)= x 为 R 上的奇函数. 2 +1 ⑴求 f(x)及 f 1(x)的解析式; 1+x - ⑵若当 x∈(-1,1)时,不等式 f 1(x)≥log2 恒成立,试求 m 的取值范围. m


18.(本小题满分 14 分) x 已知 f(x)= (x≠a) x-a ⑴若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; ⑵若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调增减,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 某水库进入汛期的水位升高量 hn(标高)与进入汛期的天数 n 的关系是 hn=20 5n2+6n,汛期共计约
-3-

-

40 天,当前水库水位为 220(标高),而水库警戒水位是 400(标高),水库共有水闸 15 个,每开启一个泄 洪,一天可使水位下降 4(标高). ⑴若不开启水闸泄洪,这个汛期水库是否有危险?若有危险,将发生在第几天? ⑵若要保证水库安全,则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪? (参考数据:2.272=5.1529,2.312=5.3361)

20. (本小题满分 14 分) 设 f(x)=|x+1|+|ax+1|. 1 1 ⑴若 f(-1)=f(1),f(- )=f( )(a∈R 且 a≠0),试求 a 的值; a a ⑵设 a>0,求 f(x)的最小值 g(a)关于 a 的表达式.

21. (本小题满分 14 分) 定义函数 fn(x)=(1+x)n-1,x>-2,n∈N+,其导函数记为 fn′(x). ⑴求证:fn(x)≥nx;

-4-

-

⑵设

f′n (x0) fn(1) = ,求证:0<x0<1; f′n+1 (x0) fn+1(1)

⑶是否在在区间[a,b] ? (-∞,0],使函数 h(x)=f3(x)-f2(x)在区间[a,b]上的值域为 [ka,kb]?若存在,求出最小的 k 值及相应的区间[a,b].

-5-

-

2006 届高三第二次联考·数学试卷(理) 参考答案(湖南专用)
题号 答案 1 D 2 B 3 C 12.f(x)= 4 B 4x 3x-2 5 B 13.13 6 C 7 B 8 D 1 15. 2 9 A 10 A

11.(-∞,1]

14.②④⑤

提示: 1.D A、B、C 定义域不同,选 D. 2.B M={0,1,4,9,?}, ? UN={-3,9},∴M∩ ? UN={0,1,4}, ∴M∩ ? UN 的真子集个数为 23-1=7.

3.C

?a=1, ? ?a=1, 由已知可得 M=N,故?b 解得? ∴a+b=1. =0, ?b=0, ? ?a
定义域和值域相等, 图象本身关于直线 y=x 对称, 故原函数图象为圆 x2+y2=4 在第三象限的 圆. 由 f(x)的任意性,可用特例,令 f(x)=x,则 F(x)=1-x-(3+x)=-2-2x, ∴F(x)是减函数. p:△=a2-16≥0,a∈(-∞,-4]∪[4,∞). a q:- ≤3,a≥-12,a∈[-12,+∞). 4 p 真 q 假:(-∞,-12),p 假 q 真:a∈(-4,4), 故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4) 1 4

4.B

5.B 6.C

7.B

?1 1 |x| ?(a)x,x≥0, y=( ) =? a ?ax, x<0。 ?
|x+2-ln2x| 点(x,2-ln2x)到直线 x+y=0 的距离 d= ,令 f(x)=x+2-ln2x(x>0), 2 3-ln2 1 则 f′(x)=1- ,故 f(x)在 x=1 处取极小值 3-ln2,∴f(x)≥3-ln2>0,∴d≥ . x 2

8.D

9.A

|2-a2|=|2-b2|.若 0<a<b≤ 2,则 2-a2=2-b2 ? a=b,矛盾. a2+b2 若 0<a≤ 2≤b,则 2-a2=b2-2 ? a2+b2=4 ? ab≤ =2, 2 又 a≠b,∴ab<2∴0<ab<2. 若 2≤<a<b,则 a2-2=b2-2 ? a=b,矛盾. 关于 f(x)的方程有两个重根 1 或有一根 1 和一非正根,x1,x2,x3 为 f(x)=1 的三个根,三根分
2 2 2

10.A

别为 0,1,2,故 x1 ? x 2 ? x3 =5. 11.(-∞,1] 4x 12.f(x)= 3x-2 2 2 10 2 2 2 5 ( )2x+( )x- ≥0 ? ( )x≥ 或( )x≤- ? x≤1. 3 3 9 3 3 3 3 bx =-2x,bx=6x2-4x,∴方程为-6x2+(b+4)x=0, 2-3x -4x 4x ∵方程有两个相等的实根,故 b=-4.∴f(x)= = . 2-3x 3x-2
-6-

-

13.13

1 - - - 0.90μ0=μ0(e λ)2,e λ= 0.90,0.50μ0=μ0(e λ)t ? =( 0.90)t 2 -2lg2 2×0.602 1 t 两边取常用对数,lg = lg0.90,t= = =13.1. 2 2 2lg3-1 1-2×0.4771

14.②④⑤

?a>1, ?0<a<1, lga lgb lgb lg3 法一: = ? = >1 ? ? 或? lg2 lg3 lga lg2 ?b>a, ?b<a。

另外,a=b=1 也可能. 法二:数形结合. 1 15. 2 集合 M 共有 C n 个三元子集,其中含 1 的三元子集有 C n ?1 个, 同理,含 2,3,?,n 的三元子集也各有 C n ?1 个, (n-1)(n-2) n(n+1) 2 ∴Sn= C n ?1 (1+2+?+n)= · , 2 2
lim
n? ?

3

2

2

Sn 1 = lim n2 2 n ? ?

(n-1)(n-2)n(n+1) 1 = n4 2

?x-a2>0 16.解:对 A,由 log 1 (x-a2)<0 知? , ? x>a2+1, 2 ?x-a >1
3

所以 A={x| x>a2+1}??????????????????????????4 分 由 A∪B=A 知 B ? A. 对 B,当 a≤0 时,B= ? 符合题意.(*)??????????????????6 分 当 a>0 时,B={x|3-a<x<3+a}.?????????????????????8 分 而 B ? A,所以,a2+1≤3-a, 解之得-2≤a≤1,∴0<a≤1.?????????????????????10 分 综合(*)得,满足题意的 a 的取值范围是 a≤1.???????????????12 分 a·2x-1 17.解:⑴∵f(x)= x 是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,????????????2 分 2 +1 即 a·2x-1 a·2 x-1 a·2x-1 a-2x (a-1)(2x+1) + -x = x + x = =a-1=0,∴a=1??4 分 2x+1 2 +1 2 +1 2 +1 2x+1


2x-1 ∴f(x)= x ?????????????????????????????5 分 2 +1 2x-1 y+1 y+1 y+1 设 y= x ,则(2x+1)y=2x-1,∴2x= ,x=log2 .令 >0 得-1<y<1, 2 +1 1-y 1-y 1-y x+1 - ∴f(x)的反函数为 y=f 1(x)=log2 ,x∈(-1,1).???????????7 分 1-x ⑵∵当 x∈(-1,1)时,f 1(x)≥log2 ∴


1+x x+1 1+x 恒成立,即 log2 ≥log2 , m m 1-x

x+1 1+x ≥ .?????????????????????????????9 分 m 1-x

∵x∈(-1,1),∴1+x>0,1-x>0,m>0, ∴m≥1-x,当 x∈(-1,1)时,1-x 的取值集合为(0,2),∴m≥2.?????.12 分 18.⑴证明:任设 x1<x2<-2,????????????????????????1 分 则 f(x1)-f(x2)= 2(x1-x2) x1 x2 - = .????????????????2 分 x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2)

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,??????????????????????4 分
-7-

-

∴f(x1)<f(x2),??????????????????????????????6 分 ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.?????????????????????7 分 ⑵解:任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a(x2-x1) x1 x2 - = .????????????????9 分 x1-a x2-a (x1-a)(x2-a)

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,????????????10 分 ∴a≤1.???????????????????????????????12 分 综合知 0<a≤1.????????????????????????????14 分 (注:用求导方法解题同等给分) 19.解:⑴进入汛期的水库水位标高 f(n)=20 5n2+6n+220,??????????2 分 令 20 5n2+6n+220>400,整理得 5n2+6n>81,代值验证得 n≥4, ∴会发生危险,在第 4 天发生.??????????????????????4 分 ⑵设每天开启 p 个水闸泄洪,则 f(n)=20 5n2+6n+220-4np,????????5 分 令 20 5n2+6n+220-4np≤400, 5 5n2+6n-45 5n2+6n 9 即 p≥ =5( - )=5( n n n 下证 g(n)= 6 9 5+ - 为增函数. n n 6 9 5+ - (x≥1), x x 1 6 5+ x 6 9 3 (- 2)+ 2= 2(3- x x x 1 6 5+ x ). 6 9 5+ - ).??????????7 分 n n

事实上,令 g(x)= g′(x)=(

6 9 5+ - )′= x x 2

当 x≥1 时,g′(x)>0,∴g(x)在 x≥1 时为增函数, ∴g(n)= 6 9 5+ - 为增函数.?????????????????????10 分 n n 6 9 5+ - ≈2.04, 40 40

∴g(n)max=g(40)=

∴p≥5×2.04=10.20. 即每天开启 11 个水闸泄洪,才能保证水库安全. 答:每天开启 11 个水闸泄洪,才能保证水库安全.?????????????14 分 20.解:⑴∵f(-1)=f(1),∴2+|a+1|=|1-a|, 两边平方并整理得|a+1|=-(a+1),∴a≤-1.① 1 1 1 1 又 f(- )=f( ),∴2+| +1|=|1- |. a a a a a+1 1 1 1 两边平方并整理得| +1|=-( +1),∴ +1≤0,即 ≤0,∴-1≤a<0.② a a a a 由①②联立得 a=-1.?????????????????????????5 分 ⑵f(x)的图象是一条折线,它的最小值在图象的转折点处取得.

?-(1+a)x-2, x<-a, ? 1 1 ①当 0<a<1 时,- <-1,f(x)=? a (a-1)x, - ≤x≤-1, ? (1+a)x+2, ax>-1, ?
1
-8-

-

1 1 ∴g(a)=min{ f(- ),f(-1)}=min{-1+ ,1-a}=1-a.??????????8 分 a a ②当 a=1 时,f(x)=2|x+1|≥0,即 g(a)=0.????????????????9 分

? ? (1-a)x, -1≤x≤-1, 1 a ③当 a>1 时,- >-1,f(x)=? a 1 ? (1+a)x+2, x>-a, ?
x<-1, 1 1 1 ∴g(a)=min{ f(- ),f(-1)}=min{-1+ ,1-a}=-1+ .????????12 分 a a a

-(1+a)x-2,

? 1-a, 0<a≤1, ? 1 综上所述,g(a)=? ???????????????????14 分 ?-1+a, a>1。 ?
21.⑴证明:fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx, - 令 g(x)=(1+x)n-1-nx,则 g′(x)=n[(1+x)n 1-1]. 当 x∈(-2,0)时,g′(x)<0,当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0, ∴g(x)在(-2,0)上递减,在(0,+∞)上递增, 故 g(x)在 x=0 处取得极(最) 小值 g(0)=0, ∴g(x)≥0,即 fn(x)≥nx(当且仅当 x=0 时取等号).?????????????3 分 n(1+x0)n 1 2n-1 f′n (x0) fn(1) ⑵解:由 = ,得 , n= n+1 f′n+1 (x0) fn+1(1) (n+1)(1+x0) 2 -1 n(2n 1-1) (n-1)2n+1 ∴1+x0= ,x = ,易知 x0>0, (n+1)(2n-1) 0 (n+1)(2n-1) n+2-2n 1 而 x0-1= . (n+1)(2n-1) 由⑴知当 x>0 时,(1+x)n>1+nx,故 2n 1=(1+1)n+1>1+n+1=n+2, ∴x0<1,∴0< x0<1.?????????????????????????7 分 y ⑶解:h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2, h′(x)=(1+x)2+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x) 1 令 h′(x)=0,得 x=-1,x=- , 3 ∴当 x∈(-2,-1)时,h′(x)>0; 1 当 x∈(-1,- )时,h′(x)<0; 3 1 当 x∈(- ,+∞)时,h′(x)>0. 3 C 故 h(x)的图象如右图所示.???????????????????????9 分 下面考察直线 y=kx(k>0)与曲线 y=h(x)的相交问题.
? ?y=kx, ?x=0, ?x= k-1, 1 ① 当交点均在[- ,0]内时,由? 得? 或? 3 y=x(1+x)2 ?y=0 ? ? ?y=k( k-1)。 1 4 当- ≤ k-1<0,即 ≤k<1 时,存在满足条件的区间[a,b]=[ k-1,0], 3 9
+ + + -

-2 B

-1



1 3 O
4 - 27

y=kx 4 y=- 27 x

A

-9-

-

4 1 ∴k 的最小值为 ,此时[a,b]=[- ,0].?????????????????11 分 9 3 1 ② 当有交点分别在(-2,-1)和(-1,- )内时, 3 1 4 4 如图,图象的极小值点为 A(- ,- ),过 A 作直线 y=- 与 y=h(x)的图象交于另一点 B,当直 3 27 27 线 y=kx 与曲线段 BC(点 C 的坐标为(-2,-2))有交点时,存在满足条件的区间[a,b]. 1 则 b=0,-2<a<-1,且 f(a)≤f(- ), 3 1 4 1 4 4 令 f(x)=f(- ),得 x(1+x)2=- ? (x+ )2(x+ )=0 ? x=- , 3 27 3 3 3 4 ∴当-2<a≤- 时,存在满足条件的区间[a,b]. 3 4 4 1 由直线的斜率意义可知,当直线 y=kx 经过曲线上的点 B(- ,- )时,k 取最小值 ,这时[a,b] 3 27 9 4 =[- ,0],?????????????????????????13 分 3 1 4 综合①②,得 k 的最小值为 ,相应区间[a,b]=[- ,0].?????????14 分 9 3

- 10 -


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