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江西省抚州市临川十中2013-2014学年高二上学期期中考试 理科数学 Word版含答案


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临川十中 2015 届高二数学理科期中考试题
一.选择题(每小题只有一个答案正确,每小题 5') 1. 下列有关命题的说法正确的是 ( 2 A.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件
2



8. 如图所

示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状 为 ( )

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ”. 2. 若 A, B 是椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的上下顶点, C , D 是该椭圆的两个焦点,则以 A, B, C, D 为顶点的 四边形的面积为( ) A. 24 B. 30 C. 48 D. 60 3. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体, 其三视图如右图,若图中圆的半径为1,等腰三 角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积为( ) 2? 4? A. B. 3 3 C. 2? D. 4? 4.已知向量 a, b, c 是空间的一个单位正交基底,若向量 P 在基底 a, b, c 下的坐标为
(2,1,3) ,那么向量 P 在基底 a ? b, a ? b, c 下的坐标为(

9. 直线 y ? x ? b 与曲线 2 y ? 20 ? x2 有两个不同的公共点,则实数 b ? (

)

A. [?2 5,5) B. (?5,5) C. [?2 5, 2 5] D. [2 5,5) 10. 如图在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,∠DAB 为直角, AB∥CD, AD=CD=2AB,E、F 分别为 PC、CD 的中点;PA=kAB (k ? 0) ,且二面角 E-BD-C 的平 面角大于 30° ,则 k 的取值范围是(
2 15 15 2 15 C. 0 ? k ? 15

) D. ( , ?
5 2 1 , 3) 2

)

A. (? 5. 曲线

3 1 , , 3) 2 2

B. (?

3 5 , , 3) 2 2

C. ( ,

3 1 , 3) 2 2

A. k ?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1? ?9 ? k ? 25? 的( ) 25 9 25 ? k 9 ? k A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 3 6. 已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a, a ? .若?AOB为直角三角形, 则必有 ( )

2 15 5 2 15 D. 0 ? k ? 5

B. k ?

二.填空题(每小题 5') 11. 抛物线 y ? 4x2 的焦点到准线的距离是 ______
2

__.

1? ? B. ? b ? a3 ? ? b ? a3 ? ? ? 0 a? ? 1 1 C. b ? a 3 ? b ? a 3 ? ? 0 D. b ? a 3 ? a a 7. 如右图,平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端

A. b ? a3

点的三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,则 A 1 到平面 ABCD 的距离为( ) A. C.
1 2
6 3
第-1-页

0

D1

C1 B1

x ? 2 y 2 ? 1 的左右顶点,点 M 在椭圆上(异于 A, B ),直线 AM , 2 BM 的斜率分别为 k1 , k2 ;则 k1 ? k2 ? ______ __. r r r r 2 2 13.已知空间向量 a ? (2, ? y, 2), b ? (4, 2, x) , a ? b ? 44 ,且 a ? b , x, y ? R ,

12. 已知 A, B 是椭圆

A 1
D

则 x ? y 的值为______
2 2

__.

5 3 6 D. 4
B.

C
A
B

14. 已知圆 C : x ? ? y ? 3? ? 4 ,点 A?0,?3? , M 是圆上任意一点,线段 AM 的中垂线 l 和直线 CM 相交于点 Q ,则点 Q 的轨迹方程为______ __. 2 15. 已知实系数方程 x +(1+a)x+1+a+b=0 的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心 b 率,则 的取值范围是______ __. a

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19. 在直角梯形 PBCD 中, ?D ? ?C ? 三.解答题(解答题必须要写演算步骤,证明过程,文字说明) 16. 已知三点 P(5, 2)、F1 (?6,0)、F2 (6,0) (1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、F1、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P?, F1?, F2? ,求以 F1?, F2? 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程.

?
2

, BC ? CD ? 2, PD ? 4 ,A 为 PD 的中点,如下

1 左图。将 ?PAB 沿 AB 折到 ?SAB 的位置,使 SB ? BC ,点 E 在 SD 上,且 SE ? SD , 3 如下右图。 (1)求证: SA ? 平面 ABCD; (2)求二面角 E—AC—D 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在点 F,使 SF//平面 EAC?若存在,确定 F 的位置, 若不 存在,请说明理由。

x2 y 2 20. 已知椭圆 C : ? ? 1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两不同的点。 P 为弦 AB 的中 25 9
18. 如图直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 的侧棱长为 3 , AB ? BC ,且 AB ? BC ? 3 ,点 E , F 分别是棱 AB, BC 上的动点,且 AE ? BF . (Ⅰ)求证:无论 E 在何处,总有 CB? ? C ?E ; (Ⅱ)当三棱锥 B ? EB?F 的体积取得最大值时,异面直 线 A?F 与 AC 所成角的余弦值. A? C? B? 点。 (1)若直线 l 的斜率为 5 ,求点 P 的轨迹方程。 (2)是否存在直线 l ,使得弦 AB 恰好被点 ( 3 , ? 5 ) 平分?若存在,求出直线 l 的方 程 ,若不存在,说明理由.
4 3
4

A

E

B

F

C

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21. 如图,左边四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB ? 2, DC ? 1, BC ? 5,
AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C 为 60?, 如右图

(1)求证: AE ? 平面 BDC; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.

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姓名______ _____ 座位号________ __ ?????????????? 订 ???????????? 线??????????

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临川十中 2013-2014 学年上学期期中考试
高二数学 答 题 卷

17.(本小题满分 12 分) 座 位 号

一、选择题(5′×10=50′) 1 2 3 4 题号 答案 二、填空题(5′×5=25′) 11. ; 12.

5

6

7

8

9

10

13.

14.



15.

.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤

16.(本小题满分 12 分)

班级______ ____ ??????????????? 装

A?
18.(本小题满分 12 分)

B?

C?

A

E

B

F

C

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19.(本小题满分 12 分) 21.(本小题满分 14 分) ???????????? 20.(本小题满分 13 分)
第-5-页

???????????????



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临川十中 2015 届高二数学期中考试试题 (理科)参考答案
一.选择题 1 2 C A 二.填空题 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 9 D 10 A 18.(Ⅰ) BB?C ?C 是正方形,? B?C ? BC ? 又 AB ? BC, BB? ? AB ,? AB ? 平面BB?C?C ? B?C ? AB ? B?C ? 平面ABC? ,又 C?E ? 平面ABC? ? B?C ? C ?E (Ⅱ)设 AE ? BF ? m 三棱椎 B? ? EBF 的体积为 V ? 1 m(3 ? m) ? (m ? 3 ? m) ? 9 .
2

.

? 1 11. 12. 4 8 三.解答题

1

13.

?4

x2 14. y 2 ? ?1 8
2 2

1 15. (?2, ? ) 2

16. (1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为 2a=|PF1|+|PF2|= 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 .

x y ? ? 1 (a>b>0),其半焦距 c=6. a 2 b2

2

4

8

∴a= 3 5 ,b2=a2-c2=45-36=9,所以所求方程为

x2 y 2 ? ?1. 45 9

(2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为 P′(2,5)、F′1(0,6)、F′2(0,6). 设所求双曲线的标准方程为 由题意知,半焦距 c1=6, 2a1=||P′F′1|-| P′F′2||=| 112 ? 22 - 12 ? 22 |=4 5 . ∴a1=2 5 , b12 ? c12 ? a12 =36-20=16.所以所求方程为
y 2 x2 ? ? 1. 20 16
y 2 x2 ? ? 1 (a1>0,b1>0). a12 b12

3 3 当 m ? 时取等号 ,故当 m ? 即点 E , F 分别是棱 AB, BC 上的中点时,体积最大,则 2 2 9 3 2 3 5 , AF ? A?E ? , A?F ? , cos ?A?FE 为所求;? EF ? 2 2 2 2 ?12 分 ? cos ?A?FE ? 2 19. 解法一:(1)证明:在上左图中,由题意可知, BA ? PD, ABCD 为正方形, 所以在上右图中, SA ? AB, SA ? 2 , 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB ? BC ,AB ? BC, 所以 BC ? 平面 SAB, (2 分) 又 SA ? 平面 SAB, 所以 BC ? SA, 又 SA ? AB, 所以 SA ? 平面 ABCD, (4 分) 1 (2) 在 AD 上取一点 O,使 AO ? AD ,连接 EO。 3 1 因为 SE ? SD ,所以 EO//SA 3 所以 EO ? 平面 ABCD, 过 O 作 OH ? AC 交 AC 于 H,连接 EH, 则 AC ? 平面 EOH, 所以 AC ? EH。

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所以 ?EHO 为二面角 E—AC—D 的平面角, 2 4 EO ? SA ? . 3 3 在 Rt ?AHO 中,
2 2 2 ? ? . 3 2 3 EO ? 2 2, EH ? HO2 ? EO2 ? 2 , tan ?EHO ? OH 1 HO 2 1 COS ?EH 0 ? ? : 2 ? 即二面角 E—AC—D 的余弦值为 3 EH 3 3 (3)当 F 为 BC 中点时,SF//平面 EAC, 理由如下:取 BC 的中点 F,连接 DF 交 AC 于 M, 连接 EM,AD//FC, FM FC 1 SE 1 ? ? ,又由题意 ? 所以 MD AD 2 ED 2 SF//EM,又 SF ? 平面 EAC, 所以 SF//平面 EAC,即当 F 为 BC 的中点时, SF//平面 EAC (14 分) ?HAO ? 45?, HO ? AO ? sin 45? ?

即二面角 E—AC—D 的余弦值为 (3)设存在 F ? BC , 所以 SF//平面 EAC, 设 F (2, a,0)

1 3

(10 分)

所以 SF ? (2, a,?2) ,由 SF//平面 EAC, 所以 SF ? n ? 0 ,所以 4 ? 2a ? 2 ? 0, 即 a ? 1 ,即 F(2,1,0)为 BC 的中点 (14 分) 20.(1)点 P 的轨迹方程为: 9 x ? 20 y ? 0 ( ?4 ? x ? 4 ) (2)存在,直线 l 的方程为: 12 x ?15 y ? 25 ? 0

(10 分)

21. (1)取 BD 中点 F ,连结 EF, AF ,则 AF ? 1, EF ? , ?AFE ? 60 , (2 分),由余弦定理知
1 3 ?1? AE ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? cos 60 ? , 2 2 ?2?
2

1 2

AF 2 ? EF 2 ? AE 2 ,? AE ? EF ,(4 分),又 BD ? 平面

AEF ,? BD ? AE , AE ? 平面 BDC ;

(6 分)
3 1 ), C (?1, ,0) , 2 2

解法二:(1)同方法一 (4 分) (2)如图,以 A 为原点建立直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2), 2 4 E(0, , ) 3 3 易知平面 ACD 的法向为 AS ? (0,0,2) 设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 2 4 AC ? (2,2,0), AE ? (0, , ) 3 3 ? ?n ? AC ? 0 由? , ? n ? AE ? 0 ? ?x ? 2 ?x ? y ? 0 ? 所以 ? ,可取 ? y ? ?2 ? y ? 2z ? 0 ?z ? 1 ? 所以 n ? (2,?2,1). (7 分) 所以 cos ? n, AS ??
n ? AS | n || AS | ? 2 1 ? 2?3 3

(2)以 E 为原点建立如图示的空间直角坐标系,则 A(0,0,

1 1 B(1, ? ,0), D(?1, ? ,0) ,(8 分),设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 2 2 ?2 x ? 0 ?n ? DB ? 0 ? 由? 得 ,取 z ? 3 ,则 y ? ?3,? n ? (0, ?3, 3) . ? ? 1 3 z?0 ? ?x ? y ? ?n ? DA ? 0 ? 2 2
1 3 n AC 6 AC ? (?1, , ? ),? cos ? n, AC ?? ?? 2 2 4 | n || AC |

(11 分) (12 分)

故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为

10 . 4

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