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平面几何讲义(一)


平面几何讲义(一)
七中嘉祥 LG

平面几何问题的几个层次
第一层次,中学几何问题.这是与中学教材结合比较 紧密的常规几何题,虽然也有轨迹与作图,但主要是以 全等法、相似法为基础的证明题,重点是与圆有关的命 题,因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也 强,是编拟竞赛试题的优质素材. 第二层次,中学几何的拓展.这是比中学教材要求 稍高的内容,如共点性、共线性、几何不等式、几何极 值等.这些问题结构优美,解法灵活,常与几何名题相 联系.有时还可用几何变换来巧妙求解.

平面几何问题的几个层次
? 第三层次,组合几何——几何与组合的交叉 .这 是用组合数学的成果来解决几何学中的问题,主 要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几 里得性质.所涉及的类型包括计数、分类、构造、 覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性 质.这类问题在第六届IMO(1964)就出现了,但 近30年,无论内容、形式和难度都上了新的台阶, 成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题 目.组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点 之一.

数学竞赛大纲
? 得几何者得天下! 在中国的数学竞赛大纲中,对平面几何内容除了教材 内容外有如下的补充. 初中竞赛大纲:四种命题及其关系;三角形的不等关 系;同一个三角形中的边角不等关系,不同三角形中的边 角不等关系;面积及等积变换;三角形的心(内心、外心、 垂心、重心)及其性质. 高中竞赛大纲: 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦 定理、托勒密定理、西姆松定理;三角形中的几个特殊点: 旁心、费马点,欧拉线;几何不等式;几何极值问题;几 何中的变换:对称、平移、旋转;圆的幂和根轴;面积方 法,复数方法,向量方法,解析几何方法.

知识准备
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平几练习题请到班主任办公室找刘刚老师领取。 熟练掌握上述高中竞赛大纲中的基本定理; 熟悉特殊点的内容和证明; 总结几何中的变换经典试题。

例题解析 平 几 题 的 一 般 方 法

I

F

A I G

E C
Q

D

B

I1

体现不同思维水平的解法【要善于总结】

基本方法的应用

定理证明的本身也是方法之源

最值问题的探讨

面积法及均值不等式的应用


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