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北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理)试题


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(理)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

1 1.设集合 U ? ? ,2,3,4?, A ? ? ,2?, B ? ?2,4?,则 CU A) B ? ( ( ? 1
A. ? ,2? 1 B. ?2,4? 3, C. ?3,4? ) C. 1 ? 3i

) D. ? ,2,3,4? 1

2. 若复数 Z1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. ?1 ? 3i

Z2 ?( Z1

B. 2 ? i

D. 3 ? i

3. AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, AB ? (2,4), AC ? (1,3), 则AD ? ( A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. (?1, ?1) )

??? ?

??? ?

??? ?



4. 设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

5.执行右面的框图,若输出结果为 3, 则可输入的实数 x 值的个数为( A.1 C.3 B.2 )

开始 输入 x

x >2
D.4 否



y =x 2 -1
输出 y

y=log2 x

6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个 不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有( A.60 种 C.65 种 B.63 种 D.66 种 ) 2 2 3 2 1 3
侧(左)视图



7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.

8 3

B. 4 D.

C. 2

4 3

正(主)视图

俯视图

8. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为 k , 即 ? k ? ? 5n ? k n ? Z , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论: ① 2013 ? ?3? ; ② ?2 ? ?2? ; ③ Z ? ?0?∪?1?∪?2?∪?3?∪?4? ; ④ 整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? 0 ”. 其中,正确结论的个数为( A. 1 B. 2 ). C. 3 共 110 分) D. 4

? ?

?

?

??

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? y ? x, ? 9.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,则 a ? ? x?a ?
若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 10.如右图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的割线 PAB 和 PCD , . B A



P C

PCD 过圆心 O ,已知 PA ? 1, AB ? 2, PO ? 3 ,

?

O

D

则圆 O 的半径等于 11.在等比数列 {an } 中, a1 =



1 , a4 = - 4 ,则公比 q = 2




a1 + a2 + a3 +L + an =

12. 在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 7 ,则 BC 边上的高等于



13.已知定点 A 的坐标为 (1, 4) ,点 F 是双曲线 上的动点,则 PF ? PA 的最小值为 14. 给出定义:若 m ?

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支 4 12


1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记 2 2

作 {x} ,即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x )=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x) 的最小正周期为 1 ; ④ 函数 y =f (x) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x ) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

16.(本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的 点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1DC ;

(Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A BC 所成角的正弦值; 1 (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

17.(本小题共 13 分) 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

1 1 1 、 、p, 且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 . 2 3 4
(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f (x)=ln x ? ax+1,a ? R 是常数. (Ⅰ)求函数 y =f (x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明函数 y =f (x )(x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)讨论函数 y =f (x) 零点的个数.

19.(本小题共 14 分)

已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 M (4,1) ,直线 2

l:y =x +m 交椭圆于不同的两点 A、B .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M ,求证:直线 MA、MB 的斜率互为相反数.

20.(本小题共 13 分) 定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三 角形”数列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三 角形”数列,则称 y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) . (Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x

“保三角形函数”,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 {cn } 的首项为 2013 , n 是数列 {cn } 的前 n 项和, 且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 , S 证明 {cn } 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数”,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试

高三数学(理科)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 C 6 A 7 B 8 C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 2;6 10 11 12 13 9 14 ①③ (9 题、 11 题 第

6

- 2; 2 n- 1 -

1 2

3 3 2

一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) (Ⅰ)因为 cos x ? 0 ,所以 x ? k? +

?
2

,k ? Z .

| 所以函数 f (x) 的定义域为 {x x ? k? +
f ( x) ? sin 2(sin x ? cos x) x cos x ?2 i n ? s ix + cx s s x n ?o

?
2

, k ? Z}

?????2 分

2 = 2x i n s

+ sin 2 x
?????5 分 ?????7 分 ?????9 分 ?????11 分 ???13 分

7? ? ? ? 2 x- ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 6 4 12 4 4
当 2 x当 2 x-

? 2 s i n ( 2 -? ) x 4 T ??

?

1

?

?

?

?

4

?

?

4

时,即 x ?

?

4

?-

?
2

4

时, f (x ) 的最大值为 2 ;

时,即 x ? ?

?
8

时, f (x ) 的最小值为 - 2+1 .

16.(本小题共 14 分) (Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .

由 BC ? 面BCDE,? A D ? BC. 1

BC ? CD, CD ? BC ? C,? BC ? 面A1DC .

??????????4 分

(Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系. ????????5 分

D(2,0,0), E(2,2,0), B(0,3,0), A1(2,0,4) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A BC 的一个法向量, 1 因为 CB ? (0,3,0), CA ? (2,0,4) 1

A1

z

??? ?

??? ?

x
E

?3 y ? 0 所以 ? , ?2 x ? 4 z ? 0
令 x ? 2 ,得 y =0, z = ? 1 . 所以 n ? (2,0, ? 1) 为平面 A BC 的一个法向量. 1 设 BE 与平面 A BC 所成角为 ? . 1 则 sin ? = cos ? BE ? n ? ?

D

C

y

B

????????7 分

??? ?

4 4 ? . 5? 5 5
4 . 5
???????9 分

所以 BE 与平面 A BC 所成角的正弦值为 1 (Ⅲ)设 D( x,0,0) ,则 A1 ( x,0,6 ? x),

A1B ? ( x -0) 2 ? (0-3) 2 ? (6-x-0) 2

? 2 x2 -12 x ? 45
当 x =3 时, A B 的最小值是 3 3 . 1 即 D 为 AC 中点时, A B 的长度最小,最小值为 3 3 . 1 17.(本小题共 13 分)

???????12 分

???????14 分

记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

???????3 分

1 2 1? p P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? , 2 3 3 1 1? p 1 ? ,p? . 所以 4 3 4

???????5 分 ????????7 分

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 所以 P ( X ? 0) ?

????????8 分

1 , 4

P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
? 1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24

P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? . ????????11 分 2 3 4 24 X 分布列为: 0 3 X 1 2 1 11 1 1 P 4 24 4 24
????????12 分 所以, E ( X ) ? 0 ? 2.(本小题共 13 分) (Ⅰ) f ?(x )=

1 11 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 24 4 24 12

??????13 分

1 ?a x

???????1 分

f (1)= ? a +1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .
(Ⅱ)令 F ( x)=f (x ) ? (1-a )x =lnx ? x +1 ,x >0, 则

???????3 分

F ?( x )=

1 1 ? 1= (1 ? x ) , 解F ?( x )=0得x =1. x x

x
F ?( x)
F (x)

(0 , 1)

1

(1 , ? ?)

?


0
最大值

?


???????6 分

F (1)<0 ,所以 ?x > 0 且 x ? 1 , F ( x)<0 , f ( x )<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. ???????8 分

(Ⅲ)令 f (x)=lnx ? ax+1 =0 , a =

ln x +1 . x ln x +1 ln x +1 1 ? ( ln x +1) ln x )?= =? 2 , 令 g (x )= , g ?(x )=( 2 x x x x
则 g (x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,+?) 上单调递减,

当 x =1 时, g (x ) 的最大值为 g (1)=1 . 所以若 a >1 ,则 f ( x ) 无零点;若 f ( x ) 有零点,则 a ? 1 .??????10 分 若 a =1 , f (x)=lnx ? ax+1 =0 ,由(Ⅰ)知 f ( x ) 有且仅有一个零点 x =1 . 若 a ? 0 , f (x )=lnx ? ax +1 单调递增,由幂函数与对数函数单调性比较,知 f ( x ) 有 且仅有一个零点(或:直线 y =ax ? 1 与曲线 y =lnx 有一个交点). 若 0<a <1 ,解 f ?(x )= 值, f (

1 1 1 ?a =0 得 x = ,由函数的单调性得知 f ( x ) 在 x = 处取最大 x a a

1 1 ) =ln >0 , 由幂函数与对数函数单调性比较知, x 充分大时 f ( x)<0 , f ( x ) 当 即 a a 1 1 a 在单调递减区间 ( ,+? ) 有且仅有一个零点;又因为 f ( )= ? <0 ,所以 f ( x ) 在单调递 a e e 1 增区间 (0, ) 有且仅有一个零点. a
综上所述,当 a >1 时, f ( x ) 无零点; 当 a =1 或 a ? 0 时, f ( x ) 有且仅有一个零点; 当 0<a <1 时, f ( x ) 有两个零点. 19.(本小题共 14 分) (Ⅰ)设椭圆的方程为 ???????13 分

x2 y 2 3 2 2 ? 2 ? 1 ,因为 e ? ,所以 a ? 4b , 2 a b 2
16 1 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 5, a 2 ? 20 , 2 a b
???????4 分

又因为 M (4,1) ,所以

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 20 5

(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5
???????7 分

解得 ?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0, ?5 ? m ? 5 .

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 . 设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8m 4m2 ? 20 , x1x2 ? . 5 5

???????9 分

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
???????14 分

所以直线 MA、MB 的斜率互为相反数. 20.(本小题共 13 分)

(Ⅰ)显然 an ? n ? 1, an ? an?1 ? an?2 对任意正整数都成立,即 {an } 是三角形数列。 因为 k ? 1 ,显然有 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) ?? , 由 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) 得 k ? k
n n ?1

? k n?2

解得

1- 5 1? 5 <k ? 2 2 . 1? 5 ) 时, 2
???????3 分

所以当 k ? (1,

f ( x) ? k x 是数列 {an } 的保三角形函数.
(Ⅱ)由 4sn?1 ? 3sn ? 8052 ,得 4sn ? 3sn?1 ? 8052 ,

? 3? 两式相减得 4cn?1 ? 3cn ? 0 ,所以 cn ? 2013 ? ? ?4?
经检验,此通项公式满足 4sn?1 ? 3sn ? 8052 . 显然 cn ? cn?1 ? cn? 2 ,

n ?1

???????5 分

( 因为 cn ?1 ? cn ? 2 ? 2013 )+2013( ) ?
n

3 4

3 4

n ?1

21 3 ? 2013 )?1 ? cn , ( n 16 4
???????8 分

所以 {cn } 是三角形数列.

(Ⅲ) g (cn ) ? lg[2013 ? ? 所以 {g (cn )} 单调递减.

? 3? ?4?

n ?1

? 3? ]=lg 2013+(n-1)lg ? ? , ?4?

由题意知, lg 2013+(n-1)lg ? ? >0 ①且 lg cn?1 ? lg cn ? lg cn?2 ②,

? 3? ?4?

( lg 由①得 n-1)
由②得 n lg

3 >-lg 2013 ,解得 n ? 27.4 , 4

3 >- lg 2013 ,解得 n ? 26.4 . 4
???????13 分

即数列 {bn } 最多有 26 项. 【注:若有其它解法,请酌情给分.】


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