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2014-2015学年高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章习题课


本 课 时 栏 目 开 关 【学习要求】 1. 进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 本 课 时 栏 目 开 关 2.能根据实际问题特征,正确选择原理解决实际问题. 填一填·知识要点、记下疑难点 两个计数原理在解决计数问题中的用法 本 课 时 栏 目 开 关 在利用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计 算之前要进行仔细分析,是分类还是分步.

相加 相乘 研一研·题型解法、解题更高效 题型一 本 课 时 栏 目 开 关 抽取(分配)问题 例1 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会 ( C.37 种 D.48 种 ) 实践, 其中工厂甲必须有班级去, 每班去何工厂可自由选择, 则不同的分配方案有 A.16 种 B.18 种 解析 方法一 (直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个 班级都去甲工厂,此时分配方案只有 1 种情况; 第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂, 其分配方案共有 3×3=9(种); 研一研·题型解法、解题更高效 第三类, 有一个班级去甲工厂, 另外两个班级去其他三个工厂, 其分配方案共有 3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方 案有 1+9+27=37(种). 本 课 时 栏 目 开 关 方法二 (间接法) 先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去 的情况,即:4×4×4-3×3×3=37(种)方案. 答案 c 研一研·题型解法、解题更高效 小结 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图 本 课 时 栏 目 开 关 法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时, 一般有两种方法: ①直接使用分类 加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序 的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去 所有不符合条件的抽取方法数即可. 研一研·题型解法、解题更高效 跟踪训练 1 3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子, 每个盒子至 多放一个小球,共有多少种方法? 解 方法一 (以小球为研究对象)分三步来完成: 本 课 时 栏 目 开 关 第一步:放第一个小球有 5 种选择; 第二步:放第二个小球有 4 种选择; 第三步:放第三个小球有 3 种选择; 根据分步乘法计数原理得:共有方法数 N=5×4×3=60(种). 方法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5; 分成以下 10 类: 第一类:空盒子标号为:(1,2):选法有 3×2×1=6(种); 第二类:空盒子标号为:(1,3):选法有 3×2×1=6(种); 第三类:空盒子标号为:(1,4):选法有 3×2×1=6(种); 研一研·题型解法、解题更高效 分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5);共 10 类,每一类都有 6 种方法. 根据分类加法计数原理得:共有方法数 N = 6 + 6 + ? + 6 = 本 课 时 栏 目 开 关 60(种). 研一研·题型解法、解题更高效 题型二 涂色问题 例 2 一个同心圆形花坛, 分为两部分, 中间小圆部分种植草坪和 绿色灌木,周围的圆环分为 n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、 蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花. 本 课 时 栏 目 开 关 (1)如图

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