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2015年全国高考文科数学试题及答案-四川卷


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的。 1、设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B= (A){x|-1<x<3} (B){x|-1<x<1} (C){x|1<x<2} (D){x|2<x<3

}

2、设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x= (A)2 (B)3 (C)4 (D)6

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从 这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 (A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法

4、设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“ log2 a ? log2 b ? 0 ”的 (A)充要条件 (C)必要不充分条件 5、下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是 (A)y=sin(2x+ (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

? ) 2

(B)y=cos(2x+

? ) 2

(C)y=sin2x+cos2x 6、执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 (A)-

(D)y=sinx+cosx

3 2
1 2
2

(B)

3 2
1 2

(C)-

(D)

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A, B 两点,则 7、过双曲线 x ? 3
|AB|= (A)

4 3 3

(B)2 3

(C)6

(D)4 3

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8、某食品保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单位:℃)满足函数关系 y ? ekx ?b (e=2.718? 为自然对数的底数, k , b 为常数)。若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时,在 22℃的保鲜时间 是 48 小时 ,则该食品在 33℃的保鲜时间是 (A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)28 小时

? 2 x ? y ? 10 ? 9、设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
(A)

25 2

(B)

49 2

(C)12

(D)16

10、 设直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点, 与圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切于点 M , 且M 为线段 AB 中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 (A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设 i 是虚数单位,则复数 i ? =_____________. 12、 lg 0.01 ? log 2 16 的值是_____________. 13、已知 sin a ? 2 cos a ? 0 ,则 2sin a cos a ? cos a 的值是______________.
2

1 i

14、在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 ,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视
?

图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M , N , P 分别是棱 AB, BC, B1C1 的中点,则三棱 锥 P ? A1MN 的体积是______. 15、已知函数 f ( x) ? 2x , g ( x) ? x2 ? ax (其中 a ? R ). 对于不相等的实数 x1 , x2 ,设 m ? 现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; ②对于任意的 a 及任意不相等的实 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ;
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f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? , x1 ? x2 x1 ? x2

③对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; ④对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n 。 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? (n=1,2,3?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . ? an ?

17、(本小题满分 12 分) 一辆小客车上有 5 个座位,其座位号为 1,2,3,4,5,乘客 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 的座位号分别为 1,2, 3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客 P1 因身体原因没有坐自己的 1 号座位, 这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己 的座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位. (Ⅰ)若乘客 P1 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法。下表给出其 中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处) 乘客

P1
3 3

P2
2 2

P 3
1 4

P4
4 5

P 5
5 1

座位号

(Ⅱ)若乘客 P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就座,求乘客 P 5 坐到 5 号座位的概率。

18、(本小题满分 12 分)
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一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图 的示意图如图所示。 (Ⅰ) 请按字母 F , G, H 标记在正方体相应地顶 点处(不需说明理由) ; (Ⅱ) 判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系, 并证明你的结论; (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

19、(本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 为 ?ABC 的内角, tan A, tan B 是关于方程 x2 ? 3 px ? p ? 1 ? 0( p ? R) 的两个 实根. (Ⅰ)求 C 的大小; (Ⅱ)若 AB ? 3, AC ? 6 ,求 p 的值

20、(本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 如 图 , 椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 , 点 P( 0 , 1) 在 短 轴 CD 上 , 且 a b 2

P C? P D ? ?1
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A, B 两点。

OB ? ? PA?PB 为定值?若存在, 是否存在常数 ? , 使得 OA?
求 ? 的值;若不存在,请说明理由。

21、(本小题满分 14 分)
2 2 已知函数 f ( x) ? ?2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a ? 0 .

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(Ⅰ)设 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数,讨论 g ( x) 的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 恒成立,且 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内有唯一解.

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参考答案
一、选择题:本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.A 6.D 2.B 7.D 3.C 8.C 4.A 9.A 5.B 10.D

二、填空题:本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分,满分 25 分。 11. 2i 12. 2 13. -1 14.

1 24

15. ①④

三、解答题:共 6 小题,共 75 分。 16.本题考查等差数列与等比数列的概念、 等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识, 考查运算求解 能力。 解: (Ⅰ)由已知 Sn ? 2an ? a1 ,有

an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 (n ? 2) ,
即 an ? 2an?1 (n ? 2) 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2 ? 4a1 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1). 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 an ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)得

1 1 ? n an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 2 ? 1? 1 所以 Tn ? ? 2 ? ... ? n ? 1 2 2 2 2n 1? 2
17.本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法分析和 解决实际问题的能力,考查推理论证能力、应用意识。
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(Ⅰ)余下两种坐法如下表所示: 乘客

P1
3

P2
2 2

P 3
4 5

P4
1 4

P 5
5 1

座位号 3

(Ⅱ)若乘客 P 1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示为: 乘客

P1
2 2 2 2

P2
1 3 3 3 3 4 4 5

P 3
3 1 4 4 5 3 3 3

P4
4 4 1 5 4 1 5 4

P 5
5 5 5 1 1 5 1 1

座位号 2 2 2 2 于是,所有可能的坐法共 8 种。

A ,则事件 A 中的基本事件的个数为 4 设“乘客 P 5 坐到 5 号座位”为事件
所以 P ( A) ?

4 1 ? 8 2 1 2

答:乘客 P 5 坐到 5 号座位的概率是

18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间 想象能力、推理论证能力。 (Ⅰ)点 F , G, H 的位置如图所示。 (Ⅱ)平面 BEG // 平面 ACH ,证明如下: 因为 ABCD ? EFGH 为正方体,所以 BC // FG, BC ? FG , 又 FG // EH , FG ? EH ,所以 BC // EH , BC ? EH ,
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于是 BCHE 为平行四边形 所以 BE // CH 又 CH ? 平面 ACH , BE ? 平面 ACH , 所以 BE // 平面 ACH 同理 BG // 平面 ACH 又 BE ? BG ? B 所以平面 BEG // 平面 ACH (Ⅲ)连接 FH 因为 ABCD ? EFGH 为正方体,所以 DH ? 平面 EFGH 因为 EG ? 平面 EFGH ,所以 DH ? EG 又 EG ? FH , EG ? FH ? O ,所以 EG ? 平面 BFHD 又 DF ? 平面 BFHD ,所以 DF ? EG 同理 DF ? BG 又 EG ? BG ? G , 所以 DF ? 平面 BEG 19. 本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方 程、化归与转化等数学思想。 (Ⅰ)由已知,方程 x2 ? 3 px ? p ? 1 ? 0 的判别式

? ? ( 3 p)2 ? 4(? p ?1) ? 3 p2 ? 4 p ? 4 ? 0
所以 p ? ?2 或 p ?

2 3

由韦达定理,有 tan A ? tan B ? ? 3 p, tan A tan B ? 1 ? p 于是 1 ? tan A tan B ? 1 ? (1 ? p) ? p ? 0 ,

从而 tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 3p ?? ?? 3 1 ? tan A tan B P

所以 tan C ? ? tan( A ? B) ? 3 ,

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所以 C ? 60

?

(Ⅱ)由正弦定理,得

AC sin C 6 sin 60? 2 , sin B ? ? ? AB 3 2
解得 B ? 45 ,或 B ? 135 (舍去)
? ?

于是 A ? 180 ? B ? C ? 75
?

?

3 tan 45 ? tan 30 ? ? ? 3 ? 2? 3 ? 则 tan A ? tan 75 ? tan(45 ? 30 ) ? ? ? 1 ? tan 45 tan 30 3 1? 3
? ?

1?

所以 p ? ?

1 1 (tan A ? tan B) ? ? (2 ? 3 ? 1) ? ?1 ? 3 3 3

20.本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查 数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。 (Ⅰ)由已知,点 C , D 的坐标分别为 (0, ?b), (0, b) 又点 P 的坐标为 (0,1) ,且 PC?PD ? ?1 ,

??? ? ??? ?

?1 ? b 2 ? ?1, ? 2 ?c 于是 ? ? , 解得 a ? 2, b ? 2 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
所以椭圆 E 方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

(Ⅱ) 当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1, A, B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 )

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 联立 ? 4 得 (2k ? 1) x ? 4kx ? 2 ? 0 2 ? y ? kx ? 1, ?
其判别式 ? ? (4k ) ? 8(2k ? 1) ? 0 ,
2 2

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4k 2 , x1 x2 ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 从而, OA? OB ? ? PA?PB ? x1x2 ? y1 y2 ? ?[ x1x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1)]
所以, x1 ? x2 ? ?

? (1 ? ?)(1 ? k 2 ) x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ?1
? (?2? ? 4)k 2 ? (?2? ? 1) 2k 2 ? 1

??
所以,当 ? ? 1 时, ?

? ?1
2k 2 ? 1

?? ?2

? ? ? 2 ? ?3 2k 2 ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 此时, OA? OB ? ? PA?PB ? ?3 为定值
当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD 此时, OA? OB ? ? PA?PB ? OC? OD ? PC?PD ? ?2 ?1 ? ?3 故存在常数 ? ? 1 ,使得 OA? OB ? ? PA?PB 为定值 ?3 21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数 学思想。 (Ⅰ)由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

? ?1

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

g ( x) ? f ?( x) ? 2( x ? 1 ? ln x ? a) ,
所以 g ?( x) ? 2 ?

2 2( x ? 1) ? x x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递增 (Ⅱ)由 f ?( x) ? 2( x ? 1 ? ln x ? a) ? 0 ,解得 a ? x ? 1 ? ln x 令 ? ( x) ? ?2x ln x ? x ? 2x( x ?1 ? ln x) ? ( x ?1 ? ln x) ? (1 ? ln x) ? 2 x ln x ,
2 2 2

则 ? (1) ? 1 ? 0, ? (e) ? 2(2 ? e) ? 0

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于是,存在 x0 ? (1, e) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 令 a0 ? x0 ?1 ? ln x0 ? u( x0 ) ,其中 u( x) ? x ? 1 ? ln x( x ? 1) 由 u ?( x ) ? 1 ?

1 ? 0 知,函数 u ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增 x

故 0 ? u(1) ? a0 ? u( x0 ) ? u(e) ? e ? 2 ? 1 即 a0 ? (0,1) 当 a ? a0 时,有 f ?( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? ? ( x0 ) ? 0 再由(Ⅰ)知, f ?( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递增, 当 x ? (1, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ; 又挡 x ? (0,1] 时, f ( x) ? ( x ? a0 )2 ? 2 x ln x ? 0 故 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 0 综上所述,存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 恒成立,且 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内有唯一解。

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