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立体几何训练一


立体几何训练一 考点一 三视图

例 1. (2012 年高考陕西卷文科 8)将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体 的左视图为 ( )

练习 1: (2012 年高考福建卷理科 4)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等, 那么这个几何体不可以是 ( A.球 考点二 B.三棱锥 表面积与体积 )

C.正方体 D.圆 柱



例 2.. (2012 年高考北京卷理科 7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

(A)28+ 6 5 (B)30+ 6 5 (C)56+ 12 5 (D)60+ 12 5 练习 2:(2012 年高考天津卷理科 10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为
6
3 2 正视图

m3 .

3
1

3 2 侧视图

3
俯视图

1

考点三

球的组合体

?ABC 是边长为1 的 例 3. (2012 年高考新课标全国卷理科 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,
正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

考点四

空间中平行与垂直关系的证明

例 4. (2012 年高考江苏卷 16) (本小题满分 14 分)

E 分别是棱 BC , F CC1 上的点 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB (点 D 不同于点 C) , 且 AD ? DE , 1 1 ? AC 1 1 ,D ,
为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE.

练习 4. (2012 年高考福建卷理科 18 )(本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA (Ⅰ)求证: B1 E ? AD1 ; 1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点。 (Ⅱ)在棱 AA 1 上是否存在一点 P , 使得 DP // 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长; 若不存在,说明理由。 (Ⅲ)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 30 ,求 AB 的长.
0

2

考点五

空间角与距离的求解

例 5. (2012 年高考山东卷理科 18)(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。

M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的中点, 练习 5. (2012 年高考四川卷理科 14)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是____________。
D1 A1 D A B1 N C B C1

M

3

家庭作业: 1. (2012 年高考安徽卷理科 6)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在 平面 ? 内,且

b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的(



( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D) 即不充分不必要条件

2. (2012 年高考陕西卷理科 5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线

BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(
(A)



5 5

(B)

5 3

(C)

2 5 5

(D)

3 5

3.(2012 年高考浙江卷理科 10)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行 翻着,在翻着过程中, ( )

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直 4.(2012 年高考广东卷理科 6)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( A.12π B.45π C.57π D.81π )

4 2 4 2 正视图 2 侧视图 俯视图

5. (2012 年高考湖北卷理科 4)已 知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

)

8? 3

B.3π

C.

10? 3

D.6π

4

6. (2012 年高考新课标全国卷理科 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则 此几何体的体积为( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

7. (2012 年高考湖南卷理科 3)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是( ...



8.(2012 年高考新课标全国卷理科 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为1 的正 三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

11.(2012 年高考全国卷理科 4)已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2, CC 1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点,则直 线 AC1 与平面 BED 的距离为( A.2 B. ) C. 2 D.1

3

12.(2012 年高考重庆卷理科 9)设四面体的六条棱的长分别为 1 ,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱 异面,则 a 的取值范围是( (A) (0, 2) ) (C) (1, 2) (D) (1, 3)
[来源:Z.xx.k.Com]

(B) (0, 3)

5

13.(2011 年高考辽宁卷理科 8)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是 ... ( ) (B) AB∥平面 SCD
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(A) AC⊥SB

(C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 14.(2012 年高考浙江卷理科 11)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该三棱锥的体积等于___________cm3.

第 13 题 15.(2012 年高考山东卷理科 14)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为____________。

17.(2012 年高考全国卷理科 16)三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60°则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________.

18. (2011 年 高 考 全 国 新 课 标 卷 理 科 15) 已 知 矩 形 ABCD 的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球 O 的 球 面 上 , 且

AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为



6

19.(2012 年高考广东卷理科 18)(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE。

(1) 证明:BD⊥平面 PAC; (2) 若 PH=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值;

7

20.(2012 年高考北京卷理科 16)(本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC =6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

8

【高考冲策演练】 一、选择题: 1. (山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测理)设 b,c 表示两条直线, ? , ? 表示两个平面,则下列 命题正确的是( ) B.若 b ? ? , b / / c, 则c / /? D.若 c ? ? , c ? ? , 则? ? ?

A.若 b ? ? , c / /? , 则c / /b C.若 c ? ? , ? ? ? , 则c ? ?

2. (北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理)已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是 三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n ) B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m ‖ ? , 则?‖ ? )

3. (2012 年高考四川卷理科 6)下列命题正确的是(

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 4. (云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理)设 l , m , n 表示不同的直线, ?,?,? 表示不同的平面,给出 下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ? . 则 l ? ? ; ③若 ? ④若 ? ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ;

? ? l, ?
? ? m, ?

? ? m, ?
? ? l,?

? ? n ,则 l ∥m∥n;
? ? n, 且 n∥ ? ,则 l ∥m.
) C.3 D.4

其中正确命题的个数是( A.1 B.2

5. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷三理科)一个几何体的三视图如图 l 所示,其中正视图是一个正三 角形,则该几何体的体积为( )

9

A.1

B.

3 3

C. 3

D.

2 3 3

6.(北京市昌平区 2013 年 1 月高三上学期期末理 7)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的全面积为( )

A. 10 ? 4 3 ? 4 2

B. 10 ? 2 3 ? 4 2

C. 14 ? 2 3 ? 4 2

D. 14 ? 4 3 ? 4 2

[来源:学+科+网]

7.(北京市丰台区 2013 年 1 月高三上学期期末理 4)如图,某三棱锥的 角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)

三视图都是直 ( )

3

(B) 2 3

(C) 1

(D) 2 )

8.(2011 年高考浙江卷理科 4)下列命题中错误的是(

(A)如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直 (C)如果平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? , ? ? ? =l ,那么 l ? 平面? (D)如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 9.(2011 年高考安徽卷理科 6)一个空间几何体得三视图如图 所示,则该几何体的表面积为( ) 于平面 ?

(A) 48

(B)32+8 ??

(C) 48+8 ??

(D) 80

10. (2011 年高考辽宁卷理科 12)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30? , 则棱锥 S-ABC 的体积为( (A) 3 3 ) (C) 3 (D)1
10

(B) 2 3

11.(2011 年高考北京卷理科 7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是(



A.8

B. 6 2

C.10

D. 8 2

12.(2011 年高考重庆卷理科 9)高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半径 4


为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( (A)

2 4

(B)

2 2

(C)1 二.填空题:

(D) 2

13.(2012 年高考上海卷理科 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 14. (2012 年高考辽宁卷理科 13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________。

.

15. (2012 年高考江苏卷 7) 如图, 在长方体 ABCD ?ABC 则四棱锥 A ? BB1 D1 D D 1 中,AB ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , 1 1 1 的体积为 cm3.

D1 A1
D

C1 B1
C

A B 16.(2012 年高考辽宁卷理科 16)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC
11

两两互相垂 直,则球心到截面 ABC 的距离为_______. 三.解答题: 17.(2012 年高考浙江卷理科 20) (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠ BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别 PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥ 平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A— 的平面角的余弦值. 18. (北京市丰台区 2013 年 1 月高三上学期期末理 17) 如图, 平
P

为 PB,

MN — Q

?ABC ? 90 °, BC ? 3 , 在三棱锥 P-ABC 中, PA=PB=AB=2,
PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. (Ⅰ)求证:DE‖ 平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 19.(2012 年高考上海卷理科 19)如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,
B D A E C



底面 ABCD 是矩形,

PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 ,
求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

PA ? 2 ,

20. (2012 年高考江西卷理科 19)(本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O。

12

(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥ 平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A 1B 1C 与平面 BB1C1C 夹角的 余弦值。
[来源:学§科§网]

21.(2012 年高考湖南卷理科 18)(本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
[来源%:*中 #国教~ 育出 @版网 ]

22.(2012 年高考重庆卷理科 19)(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=4, AC=BC=3 ,D (Ⅰ)求点 C 到平面 A 1 ABB 1 的距离; (Ⅱ) 若 AB1 ? AC 1 ,求二面角 A 1 ? CD ? C1 的平面角的余弦 值。 为 AB 的中点

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