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高一培优讲义6三角函数变换的方法与技巧


高一培优讲义 6 三角函数变换的方法与技巧
一 角的变换 常 见 角 的 变 换 方 式 有 :

7. 求函数 f ( x) ?

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期,最大值和最小值. 2 ? sin 2 x
.

? ? (? ? ? ) ? ? ; 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ;

8.化简:

1?cos 4 α?sin 4 α 1?cos 6 α?sin 6 α

2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? ; ? ? 2 ? 等等.
2
1. 已知 tan(? ? ? ) ? n tan(? ? ? ), n ? ?1,求证: sin 2? ? n ? 1 . sin 2? n ? 1 2. 知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x, cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? 系为______.
1 7 5 13 14



公式的变形与逆用

0 0 9. 求 ( 3 tan12 ? 3) csc12 的值. 4 cos2 120 ? 2

3 ,则 y 与 x 的函数关 5
10. 设 ?ABC 中,tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,sin Acos A ?

3 ,则此 4

3.已知α,β 为锐角,cosα = ,sin(α + β)=

,求 cosβ.

三角形是____三角形. 五 引入辅助角
2



函数名称的变换
(

2 4. 已知 2 sin ? ? sin 2? ? k 1 ? tan?

?
4

?? ?

? ,试用 k 表示 sin ? )
2

? cos? 的值.

11.求 y ? 5 cos x ? 6 sin 2x ? 20sin x ? 30cos x ? 7 的最大值与最小值 12. 当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______. 13.
3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ______. 2 sin 20? cos 20?
2

sin ? cos ? 2 5. 已知 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值. 1 ? cos 2? 3

6.已知 tanα = 2,求值:

sin 3 α +2cos α sin α +cos α

.



幂的变换

14. 化简 sin 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ? 1 cos 2? cos 2? . 2 15. 知 ? , ? ? (0, ? ) ,且满足: 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1,3sin 2? ? 2sin 2? ? 0 .
2

三 常数的变换 在三角函数的、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数,例如常数“1” 的变换.
1

求 ? ? 2? 的值.

16.化简:
2 tan(

?
4

2 cos2 ? ? 1 ? ? ) ? sin 2 (

22.已知 4sinxcosx-5sinx-5cosx-1=0,求n3 x + cos3 x 的值.
?
4 ??)

23.已知 sinα,cosα 是关于 x 的二次方程 2x 2 + 七 消元法 如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量, 可以使用消元法消去 此变量,然后再求解. 17. 已知 a sin ? ? b sin ? ? c sin ? ? 0 ①
cos α 1?cot 2 α

2 + 1 x+m=0 的两根,求

+

sin α 1 ?tan 2 α

值.

24.求函数 f(x)=

sinx ?cosx

a cos ? ? b cos ? ? c cos ? ? 0 ②,其中 a, b, c ? 0 .
求证: sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) .
a b c

1+sinx +cosx

的值域.

25. 求[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2 sin2 80? 的值.

18.已知0 < < < < 2,且 cosα+cosβ+cosγ = 0,sinα+sinβ+sinγ = 0, 求β ? α 的值. 八 变换结构 三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为 除,或求差等等. 19. 化简:

26. 求值:

sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 2 cos2 40? ? cos 40? ? 1
? ?

.
? ?

27. 设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 且0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ?

4 , 5

tan ? ?

4 ,求 tan ? 的值. 3

1 ? sin x ? cos x . 1 ? sin x ? cos x

3x x 2sinx 28:证明:证明 tan -tan = . 2 2 cosx+cos2x 29.求 sin(θ + 75°)+cos(θ + 45°)- 3(θ + 15°)的值.
1 6 答案:1.略;2. y ? ? 3 1 ? x 2 ? 4 x( 3 ? x ? 1) ;3.2;4. 1 ? k;5. 1 ;6.5;

? 1 ? tan 20.求证: 1 ? sin ? ? 2 ? 2 ?
1 ? 2sin 2 1 ? tan 2

1 2 . 21. 化简: ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4 2cos 4 x ? 2cos 2 x ?
sin x cos x ”的内存联系――“知一求二”. 九 正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、
2

5

5

5

8

7.

? , 3 , 1 ;8.3;9.-4
4

2

4

3;10.等边;11.16±10 13;12. ? 3 ;13.32;
2
2 3 x 2 11 1 ;22.- ; cos 2 x 16 2 24

14. ;15. ;16.1;17.略;18. π;19.tan ;20.略;21.
2 2

1

π

23.

3 2 ?5 4

;24.[?

2+1 2

, ?1) ∪ (?1,

2?1 2

];25. 6;26. 3;27. 27 ;28. 略;29.0


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