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高三第一轮复习数学---一元二次不等式的解法


---一元二次不等式的解法
一、教学目标:掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应方程、函数三
者之间的关系解决综合问题,会解简单的分式不等式及高次不等式. 二、教学重点:利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1、 二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。 (见 P20)

2、 利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化, 以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 (见 P21~22) 3、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式 ax2 ? bx ? c ? 0?? 0? 或 ax2 ? bx ? c ? 0?? 0? (2)解方程 ax ? bx ? c ? 0
2

(3)据二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象写出二次不等式的解集。
2

4、简单分式不等式的解法

?1? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 g ?x ? ?2? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 g ?x ?

?3? f ?x? ? 0 ? ? ? g ?x ? ? ?3? f ?x? ? 0 ? ? ? g ?x ? ?

f ?x ? ? g ?x ? ? 0 g ?x ? ? 0 f ?x ? ? g ?x ? ? 0 g ?x ? ? 0

5、简单的高次不等式的解法:用数轴标根法解。 (二)主要方法:
2 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形
2

式,然后求出对应方程的根(若有根的话) ,再写出不等式的解:大于 0 时两根之外,小于 0 时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)例题分析: 例 1、解下列不等式 (1) x ? x ? 6 ? 0 ;
2

(2) ? x ? 3x ? 10 ? 0 ;
2

x( x ? 1)( x ? 2) ?0. ( x ? 2)( x ? 1) 解: (1) ?2 ? x ? 3 ; (2) x ? 5 or x ? ?2 ;
(3)

( 3 ) 原 不 等 式 可 化 为

? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? ?2 ? x ? ?1 or 0 ? x ? 1 or x ? 2 ? ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0


?4? x

2

?x?2 ? 1 (答案为 x 1 ? 2 ? x ? 1或x ? 1 ? 2 ) x ?1
2

?

?

例 2、已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 x 2 ? x ? 3 ,求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解
2

?

?

集。 解:由题 a ? 0, ? 且

b c ? 5, ? 6 ,所以 c ? 0 a a

1 1 , 是方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解 2 3
2

所以不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 ? x x ?

? ?

1 1? 或x ? ? 。 2 3?

例 3、已知 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) ? ? 4(a ? 2)2 ?16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;

??(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 或? 或? , ? f (?3) ? 0 ?? ? 0 ? f (1) ? 0 1 1 解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ? ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 ( ? , 4) . 2 2
(2) ? 例 4、已知抛物线 y ? ?m ? 1?x 2 ? ?m ? 2?x ? 1?m ? R? (1)当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点。 (2)若关于 x 的方程 ?m ? 1?x 2 ? ?m ? 2?x ? 1 ? 0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2, 求 m 的取值范围。 (3)如果抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 S ?ABC 的面积等于 2,试 确定 m 的值。 练习:关于 x 的方程 2kx ? 2 x ? 3k ? 2 ? 0 的两根一个小于 1,另一个大于 1,求实数 k 的
2

取值范围。(答案为: k k ? 0或k ? ?4 ) 说明:一般地,设二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实根一个大于 m 且另一个小于 m,则有 a× f(x)<0(其中:f(x)= ax2+bx+c). 例 5.已知 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? (a ? 1) x ? a ? 0} ,
2 2

?

?

(1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; ?

(2)若 B ? A ,求 a 的取值范围.

解: A ? {x |1 ? x ? 2} , 当 a ? 1 时, B ? {x |1 ? x ? a} ;当 a ? 1 时, B ? {1} ;当 a ? 1 时, B ? {x | a ? x ? 1} . (1)若 A ? B ,则 ? ?

(2)若 B ? A , 当 a ? 1 时,满足题意;当 a ? 1 时, a ? 2 ,此时 1 ? a ? 2 ;当 a ? 1 时,不合题意. 所以, a 的取值范围为 [1, 2) . (四)巩固练习: 1.若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是 (?2, 2] . 2.若关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a ? (?1,1) .
2 2

?a ? 1 ?a ?2; ?a ? 2

2 3 . 关 于 x 的 方 程 m( x? 3)? 3? m x的 解 为 不 大 于 2 的 实 数 , 则 m 的 取 值 范 围 为

3 (??, ? ] ? (0,1) ? (1, ??) . 2
4.不等式

( x ? 1)2 (2 ? x) ? 0 的解集为 (??, ?4) ? (0, 2] or x ? ?1. x(4 ? x)

四、小结:
1、解一元二次不等式时,应当考虑相应的二次方程,根据二次项系数的符号确定不等式解 集的形式,当然还要考虑相应的二次方程根的大小。 2、二次不等式的解集有两种特殊情况,即 ? 和 R,对其中的各种情况应理解。 3、当二次项系数含有系数时,不能忽略二次项系数为零的情形。 4、关于一元两次方程的根的范围问题,可设出对应的二次函数,用根的分布解决。 5、解简单的分式不等式要注意首先要将不等式一边化为 0,一边分解因式,然后再转化为 整式不等式用数轴标根法求解。

五、作业:
【学习重点】 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出数 形结合的思想。 【学习难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 [课前热身] 1.设不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对于满足 ?2 ? m ? 2 的一切 m 值都成立,则 x 的取值范 围为 .
2

2 . 一 元 二 次 不 等 式 ax ? (1 ? 2a) x ? a ? 1 >0 为 .
2

的 解 集 为

R

的 条 件

3.不等式 x ? ax ? 4 ? 0 的解集为空集,则 a 的取值范围是
2



2 4 . 已 知 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? 1 ? 0 的 解 集 为 x ?2 ? x ? 1

?

?

则 a ,b 的 值





[典型例析] 例 1 解关于 x 的不等式 2 x ? ax ? 2 ? 0
2

变式训练 解关于 x 的不等式 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0 例 2 已知函数 y ? (m2 ? 4m ? 5) x2 ? 4(1 ? m) x ? 3 对任意实数 x,函数值恒大于 0,求实 数 m 的取值范围。
2 例 3 若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 都成立,求 a 的取值范围。
2 1.已知集合 A= x x ? a ? 1 ,B= x x ? 5 x ? 4 ? 0 ,若 A ? B= ? ,则实数 a 的取值范

?

?

?

1 2

?

围是_______. 2. 关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? m ? 0 的两根为正数, m 的取值范围是 则 .

【学习重点】 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出数 形结合的思想。 【学习难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 [课前热身] 1.设不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对于满足 ?2 ? m ? 2 的一切 m 值都成立,则 x 的取值范 围为 .
2

2 . 一 元 二 次 不 等 式 ax ? (1 ? 2a) x ? a ? 1 >0 为 .
2

的 解 集 为

R

的 条 件

3.不等式 x ? ax ? 4 ? 0 的解集为空集,则 a 的取值范围是
2 2 4 . 已 知 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? 1 ? 0 的 解 集 为 x ?2 ? x ? 1



?

?

则 a ,b 的 值

为 [典型例析]



例 1 解关于 x 的不等式 2 x ? ax ? 2 ? 0
2

变式训练 解关于 x 的不等式 x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

例 2 已知函数 y ? (m ? 4m ? 5) x ? 4(1 ? m) x ? 3 对任意实数 x,函数值恒大于 0,求实
2 2

数 m 的取值范围。
2 例 3 若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 都成立,求 a 的取值范围。

1 2

2 1.已知集合 A= x x ? a ? 1 ,B= x x ? 5 x ? 4 ? 0 ,若 A ? B= ? ,则实数 a 的取值范

?

?

?

?

围是_______. 2. 关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? m ? 0 的两根为正数, m 的取值范围是 则 3 解关于 x 的不等式 (lg x) 2 ? lg x ? 2 ? 0 4.关于 x 的不等式 m x ? m x ? m ? 1的解集是 R,则 m 的取值范围是______.
2

.

3 解关于 x 的不等式 (lg x) 2 ? lg x ? 2 ? 0 4.关于 x 的不等式 m x ? m x ? m ? 1的解集是 R,则 m 的取值范围是______.
2


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