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安师大附中文科四


安师大附中 2012 届高三第四次模拟考试 数 学 试 卷(文科)
参考公式: 如果事件 A,B 互 斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2 4 V ? πR 3 球的体积公式 其中 R 表示球的半径 3 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ?

? 1, 2, 3, 4? , B ? ?3, 4, 5?,全集 U ? A ? B ,则集合 CU ? A ? B? 中的元素个
数为 ( B. 2 个 C. 3 个 2 ? 3i 2.已知复数 z ? (a ? R) 是纯虚数,则 a 的值等于 a ?i A .? ) A. 1 个 D. 4 个 ( D . )

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 其中 R 表示球的半径

3 2
o

B .?

2 3
B. tan ? ?

C .1

3 2
( )

3.下列不等式正确的是

? 13? ? ? 16? ? ? ? tan ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? ? ? o o C. sin89 ? tan 46 D. sin ? cos(? ) 5 4 4.已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列, 则 q ? 1 1 A.1 或 ? B.1 C. ? 2 2 2 5.函数 y ? sin x ? sin x cos x 的最小正周期 T= ? ? A.2π B.π C. D. 2 3 x ?1 6.不等式: 2 >0的解集为 x ?4
A. sin 40 ? sin1030
o

( D . ?2 (









A.( -2, 1) B. ( 2, +∞) C. ( -2, 1)∪( 2, +∞) D. ( -∞, -2)∪( 1, +∞) 7.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为
[来源:Zxxk.Com]

( (

) )

A. 5

B.5

C. 2

D.2

8.在四边形 ABCD 中, AB ? BC =0,且 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是 A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 9.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角后,有下列四个结论: (1) AC ? BD (2) ?ACD 是等边三角形 (3) AB 与平面 BCD 的夹角成 60° (4) AB 与 CD 所成的角为 60° 其中正确的命题有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个
2 2

4) 引直线与圆 x ? y ? 1交于 R, S 两点,那么弦 RS 的中点 P 的轨迹为( 10.过点 Q(2,
A.圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2



B.圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的一段弧
2 2

C.圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的一段弧
2 2

D. 圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.

11. 设定义在区间 2 2?a ? 2,2 a ?2 上的函数 f ?x? ? 3 x ? 3? x 是奇函数, 则实数 a 的值是 . A1,A2, ,A10 (如 A2 表示身高(单位:cm)在 ?150155 , ? 内的学生 人数)

?

?

.

12 .图 1 是某县参加 2010 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要统计身高在 160~180cm (含 160cm, 不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内 应填写的条件是 .
人数/人

开始 输入 A ,A2, ,A10 1

600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

s?0 i?4
i ? i ?1
是 否

s ? s ? Ai

输出s
身高/cm

结束 图2

图1

2 2 13. 已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

. 。

14.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 15. 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若 目 标 函 数 ? x ? 0, y ? 0 ?
z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的 最 大 值 为 12 , 则
为 .

2 3 ? 的最小值 a b

安师大附中 2012 届高三第四次模拟考试 数学答题卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号 题目 1 2 3 4
[来源:学 科网 ZXXK]

5

6

7

8

[来源:学。科。网 Z。X。

9

10

X。K]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.
1 1、 12、 13、 14、 15、
[来源:学科网 ZXXK]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , a、b、c 分 别 为 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 且

(a2 ? b 2 )sin( A ? B) ? (a2 ? b2 )sin C ,试判断 ?ABC 的形状。

17. (本小题满分 12 分) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 初二年级 初三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

18. (本小题满分 13 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 为等腰直角三角形,∠ BAC =90°, 且 AB = AA1 , D 、 E 、 F 分别为 B1 A 、 C1C 、 BC 的中点. ⑴求异面直线 B1 F 与 AC 的夹角余弦值; ⑵求证: DE ∥平面 ABC ; ⑶求证: B1 F ⊥平面 AEF .

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3ax2 ? 1 . (1)若 x ? 1 为函数 f ( x) 的一个极值点,试确定实数 a 的值,并求此时函数 f ( x) 的极值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间.

[来源:Z_xx_k.Com]

20. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? n, (n ? N * ) (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式;

(3)若 bn ? (2n ? 1)an ? 2n ? 1, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 求满足不等式 值.

Tn ? 2 ? 128 2n ? 1

的最小 n

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 短轴两个端点为 A, B , a2 b2

且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形。 (1)求椭圆方程;

(2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连 接 CM ,

交椭圆于点 P 。证明: OM ? OP 为定值; (3) 在 (2) 的条件下, 试 问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q , 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

高考数学模拟卷(文)答案
CDDAB,CAC CC,

4 25 3? 5 5 6 2 2 2 2 (a ? b )(sin A cos B ? cos A sin B) ? (a ? b )(sin A cos B ? cos A sin B)
2

i ?8?

sin A cos B(a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ) ? cos A sin B(a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ) sin A cos B ? b 2 ? cos A sin B ? a 2 sin B 2 sin A 2 sin A cos B ? ( ) ? cos A sin B ? ( ) 2R 2R 16. sin A cos B ? (sin B cos B ? sin A cos A) ? 0 1 1 sin 2 A ? sin 2 B 2 2 A ? B或2 A ? 2 B ? 180? 等腰三角形或直角三角 形 x ?0.19 17..(1) 2000
?

x ? 380
48 ? 500 ? 12 名 2000

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ; 由(2)知 y ? z ? 500 ,且 y, z? N ,基本事件空间包含的基本事件有: (245,255) 、 (246,254) 、 (247,2 53) 、……(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249) 、 (252,248) 、 (253,247) 、(254,246)、(255,245) 共 5 个

? P ( A) ?

5 11

18. 解:(1)做 FH//AC, cos∠B1FH 即所求,Rt△B1 FH 中,cos∠B1FH= (2)方法 i:设 G 是 AB 的中点,连结 DG, 则 DG 平行且等于 EC, 所以四边形 DECG 是平行四边形,所以 DE//GC, 从而 DE∥平面 ABC. 方法 ii:连接 A1B、A1E,并延长 A1E 交 AC 的延长线 于点 P,连接 BP.由 E 为 C1C 的中点,A1C1∥CP, 可证 A1E=EP, ∵D、E 是 A1B、A1P 的中点,∴DE∥BP, 又∵BP ? 平面 ABC,DE ? 平面 ABC,∴DE∥平面 ABC (3)∵△ABC 为等腰直角三角形,F 为 BC 的中点, ∴BC⊥AF,又∵B1B⊥平面 ABC,可证 B1F⊥AF, 设 AB = AA1 ? 2 ,则 B1F ? 6, EF ? 3, B1E ? 3 ∴B1F⊥EF, ∴ B1 F ⊥平面 AEF ;

6 6

19.解: (1)∵f(x)=2x3-3ax2+1,∴ f ?( x ) =6x2-6ax.依题意得 f ?(1) =6-6a=0,解得 a=1. 所以 f(x)=2x3-3x2+1, f ?( x ) =6x(x-1) .令 f ?( x ) =0,解得 x=0 或 x=1.列表如下:

x

(-∞,0)

0

(0,1)

1

[来源:学科网]

(1,+∞) + ↗

f′(x) + 0 - 0 f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 所以当 x=0 时,函数 f(x)取得极大值 f(0)=1; 当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 f(1)=0. (2)∵ f ?( x ) =6x2-6ax=6x(x- a) , 2 ∴①当 a=0 时, f ?( x ) =6x ≥0,函数 f(x)在(-?,+?)上单调递增; ②当 a>0 时, f ?( x ) =6x(x-a) , f ?( x ) 、f(x)随 x 的变化情况如下表: x

(-∞,0) 0 (0,a) a (a,+∞) f ′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可知,函数 f(x)在(-?,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+?)上单 调递增; ③同理可得,当 a<0 时,函数 f(x)在(-?,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+?) 上单调递增. 综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(-?,+?) ; 当 a>0 时,函数 f(x) 的单调递增区间是(-?,0)和(a,+?) ,单调 递减区间是(0,a) ; 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(-?,a)和(0,+?) ,单调递减区间是(a,0) . 20.解: (1)因为 Sn ? 2an ? n, 令n ? 1, 解得 a1 ? 1 再分别令 n=2,n=3,解得 a2 ? 3, a3 ? 7 (2)因为 Sn ? 2an ? n, 所以 Sn?1 ? 2an?1 ? (n ?1),(n ? 2, n ? N * ) (两式相减得 an ? 2an?1 ? 1 所以 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1), (n ? 2, n ? N * ) 又因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 所以 an ? 1 ? 2 n ,所以 an ? 2n ?1 (3)因为 bn ? (2n ? 1)an ? 2n ? 1 ,所以 bn ? (2n ? 1) ? 2n 所以 Tn ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ?

? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ①


2Tn ? 3? 22 ? 5 ? 23 ?
? 6 ? 2?

? (2n ?1) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1

①—②得: ?Tn ? 3? 2 ? 2(22 ? 23 ?

? 2n ) ? (2n ?1) ? 2n?1

22 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? ?2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? ?2 ? (2n ?1) ? 2n?1 1? 2 所以 Tn ? 2 ? (2n ?1) ? 2n?1
Tn ? 2 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 128, 则 ? 128, ( 若 2n ? 1 2n ? 1

即2

n?1

? 27 , 所以 n ? 1 ? 7 ,解得 n ? 6 ,
Tn ? 2 ? 128, 的最小 n 值 6, 2n ? 1

所以满足不等式

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 21、解: (1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,? b ? 2 ,? 椭圆方程为 4 。
OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y0 ) (2) C (?2,0), D(2,0) ,设 M (2, y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 。
? ?

x ? 2 y ? y0 y 1 ? y ? 0 x ? y0 4 y 4 2 , 0 直线 CM : ,即

代入椭圆 x ? 2 y ? 4 得 2 2 8y 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) ? y1 ? 2 0 ? x1 (?2) ? , ? x ? ? 1 2 2 y0 ? 8 。 y0 ? 8 y0 ? 8 ,
2 2

(1 ?

2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ?4?0 8 2 2 。

? OP ? (?

?

2 2 2 2 ? ? 2( y0 ? 8) 8 y0 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 , ) ? OP ? OM ? ? ? ? ?4 2 2 2 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 , y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

(3)设存在 Q(m,0) 满足条件,则 MQ ? DP 。 2 ? 4 y0 8y ? ? ? DP ? (? 2 , 2 0 ) MQ ? (m ? 2,? y0 ) , y0 ? 8 y0 ? 8 ,则由 MQ? DP ? 0

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

?


4y 8y (m ? 2) ? 2 ?0 2 y0 ? 8 y0 ? 8 ,从而得 m ? 0 。

2 0

2 0

? 存在 Q(0,0) 满足条件。


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