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珠海市2014-2015学年高二下学期期末考试数学文试题


珠海市 2014-2015 学年度第二学期期末学生学业质量监测 高二文科数学试题及参考答案和评分标准
考试用时:120 分钟 参考公式: 临界值表: 总分:150 分

P( K 2 ? k )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323
n


0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.874

0.025 5.024

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

? ? y ? bx ? ;b ?? 线性回归直线方程:a

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

?x
i ?1

n

K2 ?

2 i

? nx

2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(a ? c)(c ? d )(b ? d )

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.ACBAD BCDAD BA 1. 已知复数 z ? (a2 ? 3a ? 2) ? (1 ? a2 )i (a ? R) 为纯虚数,则 z 的虚部为 A.-3 B.2 C.3 D.-2

2.右图是“集合”的知识结构图,若要加入“子集” , 则它应该放在 A. “集合的概念”的下位 C. “基本关系”的下位 B. “集合的表示”的下位 D. “基本运算”的下位

? ? 2 x ? 5 ,其中 x 的所有可能取值为 1,7,5,13, 3.已知变量 y 与 x 的线性回归方程为 y 19,则 y ?
A.25 B.23 C.32 D.22

4.演绎推理“因为指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 是增函数,而函数 y ? 0.5 是指数函数,
x

所以 y ? 0.5 是增函数” ,所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B.小前提错误 C. 推理形式错误 D. 大前提与小前提均错误
x

5.曲线 f ( x) ? x ? x ? 1在点(1,3)处的切线方程为
2

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

B. 4 x ? y ? 1 ? 0 D. 3x ? y ? 0

6.用反证法证明命题“已知 a, b ? N ,如果 ab 可被 3 整除,那么 a , b 至少有 1 个能被 3

整除”时,则假设的内容是 A. a , b 都能被 3 整除 C. a 不能被 3 整除 B. a , b 都不能被 3 整除 D. a , b 中有一个不能被 3 整除

7.独立性检验中,假设命题 H 0 :变量 X 与变量 Y 没有关系。则在 H 0 成立的情况下,则

k 2 ? 5.024 表示的意义是
A. 变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 2.5% C.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 97.5% 8.设函数 f ( x) ? A. x ? B. 变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 97.5% D.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99%

2 ? ln x ,则 x
B. x ?

1 为 f ( x) 的极大值点 2

1 为 f ( x) 的极小值点 2

C. x ? 2 为 f ( x) 的极大值点

D. x ? 2 为 f ( x) 的极小值点

9.阅读如图所示的程序框图,若输入 i ? 5 ,则输出的 k 值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10.直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ? A.相离 C.直线过圆心

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)的位置关系是 y ? 2 sin ? ?

B.相切 D.相交但直线不过圆心

11. 已知数列 {an } 满足 a1 ? A.

1 1 , an ?1 ? 1 ? ,则 a2015 的值为 an 4
C.

1 4

B. ?3
2

2 3

D. ?2

12.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ,若对任意两个不等的正数 x 1 , x2 ( x 1 ? x2 ) , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? 2

D. a ? 2

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请将正确答案填在答题卡上. 13. 有下列关系:①苹果的产量与气候之间的关系;②学生与他(她)的学号之间的关系; ③森林中的同一种树木, 其断面直径与高度之间的关系; ④曲线上的点与该点的坐标之间的 关系.其中有相关关系的是 . (填上你认为正确的的所有序号) 14.点 P 的极坐标为 (2,

5? ) ,以极点为原点,以极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,则点 P 6

的直角坐标为_________. 15.已知复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? i ,则 | z2 ? z1 |? _______ .

16.曲线 x 2 ? y 2 ? 1经过伸缩变换 ? 17. 设 f ( x ) ?

? x? ? 3 x 后对应的图形的方程是_________. ? y? ? 2 y

? sin x ,则 f '( ) ? _________. 2 x

1 (a ? b ? c )r , 2 类比这个结论知:四面体 S ? ABC 的四个面的面分别为 S1 , S2 , S3 , S4 ,体积为 V ,内切球 半径为 R ,则 V ? .
18.设 ?ABC 的三边长分别为 a , b, c ,面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 S ?

?? ? 19.圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为________. ? 6?

20. 若函数 f ( x ) 的定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为“局部奇函
2 2 数” . 例如:f ( x) ? x ? x ? 1在 R 上存在 x ? 1 , 满足 f (?1) ? ? f (1) , 故称 f ( x) ? x ? x ? 1

为“局部奇函数” .设 f ( x) ? 2x ? m 是定义在 ? ?1,1? 上的“局部奇函数” ,则实数 m 的取值 范围为________. 三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.请将详细解答过程写在答题卡上. 21. (本小题满分 10 分) 某产品的广告支出 x (单位:万元)与销售收入 y (单位:万元)之间有如下数据: 广告支出 x (单位:万元) 销售收入 y (单位:万元) 根据以上数据算得: 1 12
4

2 28

3 42

4 56

?y
i ?1

4

i

? 138 , ? xi yi ? 418 .
i ?1

(1)求出 y 对 x 的线性回归方程 ? y ? bx ? a ,并判断变量 y 与 x 之间是正相关还是负相关; (2)若销售收入最少为 144 万元,则广告支出费用至少需要投入多少万元?

22. (本小题满分 10 分) 在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生 互评.某校高二年级有男生 1000 人,女生 800 人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,

采用分层抽样方法从高二年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表一:男生 表二:女生 等级 频数 优秀 15 合格 尚待改进 5 等级 频数 优秀 15 男生 15 合格 3 女生 15 尚待改进

x

y
总计 30 45

(1)计算 x, y 的值; (2)由表一表二中统计数据完成右边 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别 有关” .

优秀 非优秀 总计

23.已知: cos 10 ? cos 70 ? cos 130 ?
2 ? 2 ? 2 ?

3 3 2 ? 2 ? 2 ? , cos 6 ? cos 66 ? cos 126 ? . 2 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明你的结论.

24.(本小题满分 10 分)

1 ? x ? 1? t ? ? x ? 2cos ? 2 ? 已知直线 l 的参数方程是 ? 与曲线 C: ? ( ? 为参数) 的 (t为参数) ? y ? 3sin ? ?y ? - 3 ? 3 t ? ? 2
两个交点为 A 、 B . (1)求直线 l 的倾斜角; (2)求弦 AB 的长.

25.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x . 2

(1)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 f ( x ) 在 [2, 4] 上的最大值; (2)若 a ?

1 ,试求函数 f ( x ) 的单调区间. 2

珠海市 2014-2015 学年度第二学期期末学生学业质量监测 高二文科数学试题参考答案与评分标准

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 B 12 A

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.请将正确答案填在答题卡上. 13.①③ 16. 14. (? 3,1) 15. 5 18. ( S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ) R 20. [ ?

4 x '2 y '2 x2 y 2 ? ? 1(填 ? ? 1 也对) 17. ? 2 ? 9 4 9 4 ? 19. ? ? 6 cos(? ? ) (填 ? ? 3 3 cos? ? 3sin ? 也对) 6

1 3

5 , ?1] 4

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.请将详细解答过程写在答题卡上. 21.解: (1)由表中数据得:

x?

1? 2 ? 3 ? 4 12 ? 28 ? 42 ? 56 ? 2.5 , y ? ? 34.5 , 4 4

?????2 分

∴ b?

? x y ? 4x y
i ?1 4 i i

4

?x
i ?1

2 i

? 4x

2

?

418 ? 4 ? 2.5 ? 34.5 ? 14.6 ,?????5 分 (1 ? 22 ? 32 ? 42 ) ? 4 ? 2.52
2

a ? y ? bx ? 34.5 ?14.6 ? 2.5 ? ?2 ,

???????6 分

∴ 线性回归方程为 ? y ? 14.6x ? 2 ,且变量 y 与 x 之间是正相关;???????8 分 (2)依题意有: ? y ? 14.6x ? 2 ? 144 ,解得: x ? 10 , ∴ 广告支出费用至少需投入 10 万元。 ???????10 分

22.解: (1)设从高一年级男生中抽取 m 人,则有: 解得: m ? 25 , ∴ 从高一年级女生中抽取 20 人, ∴ x ? 25 ? 20 ? 5, y ? 20 ? 18 ? 2 ; (2)由(1)得 2×2 列联表为: 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45
2

m 45 ? 1000 1000 ? 800
?????????2 分 ?????????4 分

????????6 分



45(15 ? 5 ? 15 ?10)2 9 k ? ? ? 1.125 ? 2.706 , 30 ?15 ? 25 ? 20 8

???????8 分 ??????10 分

∴ 没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关” .

23.解: 一般性的命题为: cos (? ? 60 ) ? cos ? ? cos (? ? 60 ) ?
2 ? 2 2 ?

3 。??4 分 2

cos 2 ? ? cos 2 (? ? 60? ) ? cos 2 (? ? 120? ) ?
均可。 (用弧度制也对) 证明:左边 ?

3 3 2 ? 2 ? 2 或 cos (? ? 120 ) ? cos (? ? 60 ) ? cos ? ? 2 2

1 ? cos(2? ? 1200 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 2 2 2

3 ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 1200 )] 2 3 ? ? (2 cos 2? cos1200 ? cos 2? ) 2 3 ? ? (? cos 2? ? cos 2? ) 2 3 ? ? 右边 2 ?


???9 分

cos 2 (? ? 60? ) ? cos 2 ? ? cos 2 (? ? 60? ) ?

3 。 2

??????10 分

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 24.解: (1)由 ? 得: y ? 3x ? 2 3 ,??????2 分 (t为参数) 3 ?y ? - 3 ? t ? ? 2
∴ 直线 l 的斜率为 3 ,其倾斜角为 60 。
0

??????4 分

? x ? 2cos ? x2 y 2 ? ? 1 , ??????5 分 (2)由 ? ( ? 为参数)得: 4 9 ? y ? 3sin ?
? y ? 3x ? 2 3 ? 2 由 ? x2 y2 得: 9x2 ? 4( 3x ? 2 3)2 ? 36 ,即: 7 x ? 16 x ? 4 ? 0 , ??7 分 ? ?1 ? 9 ? 4
解法 1:解得: x1 ? 2 , x2 ?

2 12 3 ,则: y1 ? 0 , y2 ? ? ;??????9 分 7 7



2 12 3 2 12 24 。??????10 分 | AB |? (2 ? )2 ? (0 ? ) ? 4? ( )2 ? 7 7 7 7

解法 2:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则: x1 ? x2 ?

16 4 , x1 x2 ? ? ; ??????8 分 7 7

| AB |? [1 ? ( 3) 2 ]? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]


16 4 ? 4? [( ) 2 ? 4 ? ] 7 7 24 ? 7
?????????10 分

1 ? x ? 1? t ? x2 y 2 2 ? ? ? 1 整理得: 7t 2 ? 4t ? 20 ? 0 ,?????8 分 解法 3: ? 代入 4 9 ?y ? - 3 ? 3 t ? ? 2
解得: t1 ? 2 , t2 ? ? ∴

10 , 7

???????????????9 分

| AB |?| t1 ? t2 |?| 2 ? (?

10 24 ) |? 。 (也可用韦达定理求解,略)??????10 分 7 7 2 , x
??????1 分

25.解:(1)由题意得: f '( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

由 f '(1) ? 0 得: a ? (2a ? 1) ? 2 ? 0 ,解得: a ? 1 ,????????2 分 ∴ f ( x) ?

1 2 x ? 3x ? 2 ln x 且 2 2 ( x ? 1)( x ? 2) f '( x) ? x ? 3 ? ? ? 0 在 [2, 4] 上恒成立, x x

??????3 分

∴ f ( x ) 在 [2, 4] 上是增函数,则: f ( x) max ? f (4) ? 2 ln 4 ? 4 ? 4 ln 2 ? 4 ;????4 分 (2) 由题意得: f '( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ① 当 a ? 0 时, f '( x) ?

2 (ax ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 0) ????5 分 x x

?( x ? 2) , x
??????6 分 ??????7 分

∴ f ( x ) 的增区间为 (0, 2) ,减区间为 (2, ??) ; ②当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0得 : x1 ? 当 a ? 0 时, x1 ?

1 , x2 ? 2 , a

1 ? 0 ? x2 ? 2 , a
???????8 分

∴ f ( x ) 的增区间为 (0, 2) ,减区间为 (2, ??) ;

1 1 时, x1 ? ? 2 ? x 2 , 2 a 1 1 ∴ f ( x ) 的增区间为 (0, 2), ( , ??) ,减区间为 (2, ) ;????????9 分 a a 1 1 当 a ? 时, 0 ? x1 ? ? 2 ? x 2 , 2 a 1 1 ∴ f ( x ) 的增区间为 (0, ), (2, ??) ,减区间为 ( , 2) 。 ??????10 分 a a
当0 ? a ?


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