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北京市海淀区2013-2014高三上学期期中考试数学理含答案


海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 2013.11
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项。

1.已知集合 A ? {?1,1,2} , B ? {x | x ? 1 ? 0} ,则 A A. {?1,1,2} B. {1, 2}

B ?( A )
C. {?1, 2} D. {2}

2.下列函数中,值域为 (0, ??) 的函数是( C ) A. f ( x) ? x B. f ( x) ? ln x C. f ( x) ? 2 x D. f ( x) ? tan x

3. 在 ?ABC 中,若 tan A ? ?2 ,则 cos A =( B ) A.

5 5

B. ?

5 5

C.

2 5 5

D. ?

2 5 5

4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 O(0,0), A(0,1), B(1, ?2), C (m,0) ,若 OB / / AC ,则实数 m 的值 为( C ) A. ?2 B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

5.若 a ? R ,则“ a 2 ? a ”是“ a ? 1 ”的(B) A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n (3n ? 13) ,则数列的前 n 项和 Sn 的最小值是(B) A. S3 B. S4 C.

S5

D. S6

π ? ? sin x, x ? [ ?1,0), 1 1 2 7.已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ? 若 f (t ? ) ? ? ,则实数 t 的取值范围为(D) 2 3 2 ? ? ax ? ax ? 1, x ? [0, ?? ),
A. [? ,0) 8.已知函数 f ( x ) ?

2 3

B. [?1,0)

C. [2,3)

D. (0, ??)

① ? 是 f ( x ) 的一个周期;

sin x ? cos x ,在下列给出结论中: sin x cos x
? 对称; 4

② f ( x ) 的图象关于直线 x ?

③ f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减.
1/7

? 2

其中,正确结论的个数为(C) A. 0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 3 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
9. ? (2 x ? 1)dx ? ___________.2
0 1

10. 已知数列 {an } 为等比数列,若 a1 ? a3 ? 5, a2 ? a4 ? 10 ,则公比 q ? ____________.2 11. 已知 a ? log2 5,2b ? 3, c ? log3 2 ,则 a , b, c 的大小关系为____________.
a?b?c

12.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,|? ? |

π )的图象如图所示,则 2 2π π ? ? ______________, ? ? __________. , 3 6

y

1
O

3

x

13.已知 ?ABC 是正三角形,若 a ? AC ? ? AB 与向量 AC 的夹角





90 ,则实数 ? 的取值范围是__________. ? ? 2

14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足:①当 x ? [1,3) 时, f ( x ) ? 1? | x ? 2 | ;② f (3x ) ? 3 f ( x ) .设关于 x 的函数 F ( x ) ? f ( x ) ? a 的零点从小到大依次为 x1 , x2 , 则 x1 ? x2 ?
? x2 n ? ________________.

, xn ,

x2 ? x3 ? .若 a ? 1 , 则 x1 ?

) 3 , 1 ( ; 若a?



答案:14; 6(3n ? 1)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? 60 , 3b ? 2c, S ?ABC ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值. 解:(Ⅰ)由 A ? 60 和 S ?ABC ? 所以 bc ? 6 , 又 3b ? 2c, 所以 b ? 2, c ? 3 . (Ⅱ)因为 b ? 2, c ? 3 , A ? 60 ,
2/7

3 3 . 2

3 3 1 3 3 可得 bc sin 60 ? , ---------------------------2 分 2 2 2 --------------------------------------3 分

------------------------------------5 分

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 可得

------------------------------------7 分 ------------------------------------9 分

a 2 ? 22 ? 32 ? 6 ? 7 ,即 a ? 7 .
由正弦定理

a b 可得------------------------------------11 分 ? sin A sin B

7 2 ? ,------------------------------------12 分 sin B sin 60
所以 sin B ?

21 .------------------------------------13 分 7

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3cos4 x ? 2cos2 (2 x ? ) ? 1 . (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的取值范围. 解:(I) f ( x) ? 3cos4 x ? cos(4 x ? ) ------------------------------------2 分

π 4

π π 6 4

π 2

? 3 cos4x ? sin 4x ------------------------------------4 分

π ? 2sin(4 x ? ) ------------------------------------6 分 3 π f ( x ) 最小正周期为 T ? ,------------------------------------8 分 2 π π 4π π π (II)因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 4 x ? ? -----------------------------------10 分 6 4 3 3 3 3 π ? sin(4 x ? ) ? 1 -----------------------------------12 分 所以 ? 2 3 π 所以 ? 3 ? 2sin(4 x ? ) ? 2 , -----------------------------------13 分 3
所以 f ( x ) 取值范围为 [? 3,2] . 17.(本小题满分 13 分) 如图,已知点 A(11,0) ,直线 x ? t ( ?1 ? t ? 11) 与函数 y ? x ? 1 的图象交于点 P ,与 x 轴交于 ------------------------------------14 分

y
点 H ,记 ?APH 的面积为 f (t ) . (I)求函数 f (t ) 的解析式; (II)求函数 f (t ) 的最大值. 解:(I)由已知 AH ? 11 ? t , PH ? t ? 1 -------------------------------------1 分
O P

H

A

x

3/7

所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (11 ? t ) t ? 1, ?1 ? t ? 11 . ---------------------4 分 (II)解法 1. f '(t ) ? ?

1 2

1 1 1 t ? 1 ? ? (11 ? t ) ? 2 2 2 t ?1
-------------------------------------7 分 -------------------------------------8 分

?

3(3 ? t ) 4 t ?1

由 f '(t ) ? 0 得 t ? 3 , 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
f '(t )
f (t )

(?1,3)
+ ↗

3 0 极大值

(3,11)

?
↘ -----------------------------------12 分

所以当 t ? 3 时,函数 f (t ) 取得最大值 8. 解法 2.由 f (t ) ? (11 ? t ) t ? 1 ?

------------------------------------13 分

1 2

1 (11 ? t )2 (t ? 1), ?1 ? t ? 11 2
-------------------------------------6 分

设 g (t ) ? (11 ? t )2 (t ? 1), ?1 ? t ? 11 ,

则 g '(t ) ? ?2(11 ? t )(t ? 1) ? (11 ? t )2 ? (t ? 11)(t ? 11 ? 2t ? 2) ? 3(t ? 3)(t ? 11) .-------7 分 函数 g (t ) 与 g '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
g '(t )
g (t )

(?1,3)
+ ↗

3 0 极大值

(3,11)

?
↘ ------------------------------------11 分

所以当 t ? 3 时,函数 g (t ) 取得最大值, 所以当 t ? 3 时,函数 f (t ) 取得最大值

-----------------------------------12 分

1 g (3) ? 8 .------------------------------------13 分 2

18.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足:① a2 ? 0 ;②对于任意正整数 p, q 都有 a p ? aq ? 2 p?q 成立. (I)求 a1 的值; (II)求数列 {an } 的通项公式; (III)若 bn ? (an ? 1) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.
2

4/7

解:(I)由②可得 a1 ? a1 ? 22 , a1 ? a2 ? 23 由①可得 a1 ? 2 .

-------------------------------2 分 -------------------------------3 分

(II)由②可得 a1 ? an ? 2n?1 , 所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n . (III)由(II)可得 bn ? (an ? 1)2 ? 4n ? 2n?1 ? 1 ,

------------------------------6 分 ------------------------------7 分

易得 {4n },{2n?1} 分别为公比是 4 和 2 的等比数列,------------------------------8 分 由等比数列求和公式可得 S n ?

4(1 ? 4n ) 4(1 ? 2n ) 1 ? ? n ? (4n ?1 ? 16) ? 2n ? 2 ? n .--13 分 1? 4 1? 2 3

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ln x(a ? 0) . (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)若 f ( x) ? 0 在区间 [1,e] 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(I)因为 a ? 1 , f ( x) ? x2 ? 4x ? 2ln x ,

2 x2 ? 4 x ? 2 ( x ? 0) , x f (1) ? ?3 , f '(1) ? 0 , 所以切线方程为 y ? ?3 .
所以 f '( x) ? (II) f '( x) ?

------------------------------1 分 ------------------------------3 分 ------------------------------4 分 ----------------------------5 分 ------------------------------6 分

2 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a 2( x ? 1)( x ? a ) ? ( x ? 0) , x x

由 f '( x) ? 0 得 x1 ? a, x2 ? 1 ,

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 或 x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (a,1) 时 f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, a ) 和 (1, ??) ,单调减区间是 (a,1) ; ---------------7 分 当 a ? 1 时,在 x ? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;-----8 分 当 a ? 1 时,在 x ? (0,1) 或 x ? (a, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (1, a) 时 f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) 和 ( a, ??) ,单调减区间是 (1, a) . ---------------10 分 (III)由(II)可知 f ( x) 在区间 [1,e] 上只可能有极小值点, 所以 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最大值在区间的端点处取到,-------------------------12 分 即有 f (1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 0 且 f (e) ? e2 ? 2(a ? 1)e ? 2a ? 0 ,
5/7

解得 a ?

e 2 ? 2e . 2e ? 2

---------------------14 分

20.(本小题满分 13 分)

? an , an ? 3l , l ? N* , ? 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? a, 其 中 a ? N , an ?1 ? ? 3 令 集 合 ? a ? 1 , a ? 3l , l ? N* . n ? n
*

A ? {x | x ? an , n ? N*} .
(I)若 a4 是数列 {an } 中首次为 1 的项,请写出所有这样数列的前三项; (II)求证: {1,2,3} ? A ; (III)当 a ? 2014 时,求集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值. 解:(I)27,9,3;8,9,3;6,2,3. --------------------------------------3 分 (II)若 ak 被 3 除余 1,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1, ak ?2 ? ak ? 2, ak ?3 ? (ak ? 2) ; 若 ak 被 3 除余 2,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1, ak ?2 ? (ak ? 1) , ak ?3 ? (ak ? 1) ? 1 ;

1 3

1 3

1 3

若 ak 被 3 除余 0,则由已知可得 ak ?1 ? ak , ak ?3 ? ak ? 2 ; 所以 ak ?3 ? ak ? 2 , 所以 ak ? ak ?3 ? ak ? ( ak ? 2) ?

1 3

1 3

1 3

1 3

2 (ak ? 3) 3

所以,对于数列 {an } 中的任意一项 ak ,“若 ak ? 3 ,则 ak ? ak ?3 ”. 因为 ak ? N* ,所以 ak ? ak ?3 ? 1 . 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾!) 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 由递推关系易得 {1,2,3} ? A . (III)集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值为 21. 由已知递推关系可推得数列 {an } 满足: ---------------------------------------8 分

当 am ?{1,2,3} 时,总有 an ? an ?3 成立,其中 n ? m, m ? 1, m ? 2,

.

6/7

下面考虑当 a1 ? a ? 2014 时,数列 {an } 中大于 3 的各项:

按逆序排列各项,构成的数列记为 {bn } ,由(I)可得 b1 ? 6 或 9, 由(II)的证明过程可知数列 {bn } 的项满足:

bn?3 ? bn ,且当 bn 是 3 的倍数时,若使 bn ?3 ? bn 最小,需使 bn?2 ? bn ?1 ? 1 ? bn ? 2 ,
所以,满足 bn ?3 ? bn 最小的数列 {bn } 中, b3 ? 4 或 7,且 b3k ? 3b3k ?3 ? 2 , 所以 b3k ? 1 ? 3(b3( k ?1) ? 1) ,所以数列 {b3k ? 1} 是首项为 4 ?1 或 7 ? 1 的公比为 3 的等比数列, 所以 b3k ? 1 ? (4 ? 1) ? 3k ?1 或 b3k ? 1 ? (7 ? 1) ? 3k ?1 ,即 b3k ? 3k ? 1 或 b3k ? 2 ? 3k ? 1 , 因为 36 ? 2014 ? 37 ,所以,当 a ? 2014 时, k 的最大值是 6, 所以 a1 ? b18 ,所以集合 A 重元素个数 Card ( A) 的最大值为 21.---------------13 分

7/7


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