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台州市2015学年第一学期高二年级期末质量评估试题


学年 台州市2013 第一学期 高二年级期末质量评估试题


一项是符合题目要求的) 1.直线 A.2

学 (理科)

2014.01

一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有

x y ? ? 1 和坐标轴所围

成的三角形的面积是( ) 5 2
B.5 C. 7 D.10

2.已知 AB ? (?1, 2,0), CD ? ( x, ?2,3) ,若 AB ? CD ,则 x ? ( ) A.1 B.4 C.-1 D.-4

3.实数“ a ? 1 ”是“直线 l1 :(a ? 1) x ? y ? 1 ? 0和l2 : (2a ?1) x ? 2 y ?1 ? 0 ”垂直的( ) A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的底面直径与高的比是( ) A.

1 2π

B.

1 π

C. 1

D. π

? y ? x, ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ) ? x ? 2, ?
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 6.若 P 是平面 ??外一点,A 为平面 ??内一点, n 为平面??的一个法向量,则点 P 到平面?的 距离是( ) A. PA ? n

PA ? n
B. C.

PA ? n
D.

PA ? n PA n
O

PA

n

7.如图,在四面体 OABC 中,G 是底面 ? ABC 的重心,则 OG 等于( ) A. OA ? OB ? OC B.

1 1 1 C. OA ? OB ? OC 2 3 6

1 1 1 OA ? OB ? OC 2 2 2 1 1 1 D. OA ? OB ? OC 3 3 3

C G B

A

8.右图是边长相等的两个正方形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正视图、侧视图如右图; ②存在四棱柱,其正视图、侧视图如右图; ③存在圆柱,其正视图、侧视图如右图. 其中真命题的个数是( ) A. 3 B.2 C.1 D.0

第 7 题图

正视图

侧视图

第 8 题图
1

9.已知点 P(m, n) 是直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上的任意一点,则 m2 ? n2 的最小值为( ) A. 5 B. 10 C.

5

D.

10

10.设 m, n 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中正确的是( ) A.若 m, n 与 ? 所成的角相等,则 m // n C.若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? ∥ ? B.若 m // ? , n // ? , ? ∥ ? ,则 m // n D.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n
D' A' G B' C'

11.如图,正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, E 是棱 BC 的中点,G 是棱 DD ? 的 中点,则异面直线 GB 与 B ?E 所成的角为( ) A. 120 ? B. 90 ? C. 60 ? D. 30 ? 12.已知两点 M (1,1) , N (7,9) ,点 P 在 x 轴或 y 轴上,若 ?MPN ? 90? , 则这样的点 P 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

D E A B

C

第 11 题图

13.如图,空间直角坐标系 Oxyz 中,正三角形 ABC 的顶点 A , B 分别在 若 AB ? 2 , 则点 C 到原点 O 的最远距离为 ( ) xOy 平面和 z 轴上移动. A. 3 ? 1 B.2 C. 3 ? 1 D.3
O

z

B C

14.已知圆 O :x2 ? y 2 ? 4 ? 0 , 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 , 若圆 O 的 切线 l 交圆 C 于 A, B 两点,则 ?OAB 面积的取值范围是( ) A. [2 7 ,2 15] C. [2 3,2 15] B. [2 7 ,8] D. [2 3,8]

y

A x

第 13 题图

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

15.两条平行直线 x ? y ? 0 与 x ? y ? 4 ? 0 间的距离为

.

? x ? y ≥ ?1, y ?1 ? 16.设变量 x 的最 大值与最小值的和为_______. ,y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4, 则 x +1 ?y≥2 ?
17.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 是 .
2

? x ? a, ?y?2 ? x

表示的平面区域的面积为 4 ,则实数 a 的值

18.已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

.

a
2a

a
R?a 2a

正视图

侧视图 第 17 题图

俯视图

19.已知三棱锥 O ? ABC ,侧棱 OA, OB, OC 两两互相垂直,且 OA ? OB ? OC ? 2 ,则以

O 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 O ? ABC 重叠部分的体积是

.

20.已知点 P ? x0 , y0 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,若圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ( O 为坐标原点)上存在 点 Q 使得 ?OPQ ? 30 ,则 x0 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如右图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点(异于 A、B) ,过动点 C 的直 线 VC 垂直于⊙O 所在的平面,D,E 分别是 VA,VC 的中点. (1)求证:直线 ED∥面 ABC ; (2)求证:直线 ED⊥平面 VBC; (3)若 VC=AB=2BC,求直线 EO 与 VB 所成角的余弦值.

3

21(本小题满分为 8 分)如图,边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60? ,点 E , F 分别是

AB, BC 的中点,将 ?AED, ?DCF 分别沿 DE, DF 折起,使 A, C 两点重合于点 A? .
(1)求证: A?D ? EF ; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的余弦值.
A A' D D

E C F B

E F B

22.(本小题满分为 10 分)已知 ?ABC 的顶点 A?3,2? , ?C 的平分线 CD 所在直线方程为

y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线方程为 4 x ? 2 y ? 9 ? 0 .
(1)求顶点 C 的坐标; (2)求 ?ABC 的面积.

y A H C B O D x

第 23 题图

4

23. (本小题满分为 10 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥平面 ABCD , 底面 ABCD 为 梯 形 , AB ∥ DC , AB ⊥ BC , PA ? AB ? BC ?

1 DC , 点 E 在 棱 PB 上 , 且 2
P

PE ? ? EB .
(1)当 ? ? 2 时,求证: PD ∥面 EAC ; (2)若直线 PA 与平面 EAC 所成角为 30 ? ,求实数 ? 的值.
A

E B

D

C

第 24 题图

24. (本小题满分 10 分)已知直角梯形 ABCD 和矩形 CDEF 所在的平面互相垂直, AD ? DC, AB // DC, AB ? AD ? DE ? 4, DC ? 8, (1)证明: BD ? 平面BCF; (2)设二面角 E ? BC ? D 的平面角为 ? ,求 sin ? ; (3)M 为 AD 的中点,在 DE 上是否存在一点 P,使得 MP//平面 BCE?若存在,求出 DP 的长;若不存在,请说明理由。
E F

D A B

C

5

25.(本小题满分为 10 分)已知圆心为点 C (2,1) 的圆与直线 3x ? 4 y ? 35 ? 0 相切. (1)求圆 C 的标准方程; (2)对于圆 C 上的任一点 P ,是否存在定点 A (不同于原点 O )使得 在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明理由.
y

PA PO

恒为常数?若存

C x O

第 25 题图

6

二.填空题 11.一个正方体的体积为 8,则它的内切球的体积为 12.抛物线 y ? ax2 的焦点坐标为 (0, ) ,则 a 的值为 13.已知椭圆 + . .

1 8

=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1、F2.若椭圆上存在点 P,使得 |成立,则 的取值范围为 _________ .

|

+

|=|

14.如图,一个广告气球被一束入射角为 30°的平行光线照射,其投影是一个最长的弦长为 2 5 米的椭圆,则制作这个广告气球至少需要的面料是 _________ m .

15. 设 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 a 2 b2

点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 离心率是____________ 16.设 F1 是椭圆 x + 为 _________ . 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,
2

=1 的下焦点,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,则

?

的最大值

14.设 F1、F2 分别是椭圆

|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点距离为 _________ . 15.直线 y=x+2 经过椭圆 为 _________ . 16. + =1 的一个焦点为 F,过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF 面积最 =1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则椭圆的离心率

大为 _________ . 17.已知椭圆 =1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为

2

,又椭圆的离心率为

,则椭圆的标准方程是 _________ .

7

18.已知 F1 F2 是椭圆 F1PF2=

+

=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点 P 使得∠

,则椭圆的离心率 e 的取值范围为 _________



19.如图 Rt△ABC 中,AB=AC=1,以点 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个 焦点在 AB 边上,且这个椭圆过 A、B 两点,则这个椭圆的焦距长为 _________ .

20.已知双曲线的渐近线方程是 2x±y=0,并且过点 M( (1)求该双曲线的方程; (2)求该双曲线的顶点、焦点、离心率.

,﹣4) .

8

21.(本小题满分 10 分) (1)? 面 ABCD ? 面 CDEF,且矩形 CDEF 中 FC ? DC,

? FC ? 面ABCD, FC ? DB 在直角梯形 ABCD 中易得 DB ? BC, ? BD ? 平面BCF (3 分) (2)? FC ? 面ABCD, ED//FC? ED ? 面ABCD 又 DB ? BC, ? EB ? BC ? ? EBD 二面角 E ? BC ? D 的平面角 ?
? sin ? ? sin ?EBD ?

DE 4 3 (7 分) ? ? BE 4 3 3

(3) 猜想 DP ? 1 。 取 ED,EC 的四等分点 P,Q, 使得 ED=4PD, EC=4QC, 易得 PQ=MN,PQ//MN,所以四边形 PQNM 为平行四边形。MP// 平面 BCE(10 分)
E F

P D A M B N

Q C

学年 台州市2013 第一学期 高二年级期末质量评估试题参考答案


一项是符合题目要求的) BDABC CDAAD BCCA



2014.01

一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

15. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0

2

16. 2 2

17.

7 3 πa 3

18.2

19.

1 π 6

20. [0,2]

三、解答题(本大题共 5 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (本小题满分为 8 分)
9

解: p : ? ? a 2 ? 4a ? 0 ? a ? 0, 或a ? 4 ;????????????????? 2 分

q:

a ? 1 ? a ? 2 .???????????????????????????3 分 2

若 p 真 q 假,则 ?

?a ? 0, 或a ? 4, ? a ? 4; ?a ? 2,

若 p 假 q 真,则 ?

?0 ? a ? 4, ? 0 ? a ? 2 .???????????????? 7 分 ?a ? 2,

所求实数 a 的取值范围为 ?0,2? ? ?4,??? ??????????????????? 8 分 22.(本小题满分为 8 分)
D D A A'

D A'

E
E C F B E F B

O B

F

(1)证明:取 EF 的中点 O ,连结 OD, OA? ,因 DE ? DF, A?E ? A?F ,则

EF ? OA?, EF ? OD , OA? ? OD ? O ,
则 EF ? 平面A?OD ,?????????????????????? 3 分 因 A?D ? 平面A?EF , 所以 A?D ? EF ??????????????? 4 分 (2)由已知, EF ? OA?, EF ? OD , 所以 ?A?OD 是二面角 A? ? EF ? D 的平面角. ??????????????? 5 分

OD ?

3 3 3 , OA? ? , A?D ? 2 . 2 2

7 . 9 7 所求角的余弦值为 .?????????????????????????? 8 分 9
则 cos ?A?OD ? 23. (本小题满分为 10 分)
y A H C B O
第 23 题图

解:(1)直线 AC ? BH ,则 k AC ?

1 , 2

D x
10

直线 AC 的方程为 y ?

1 1 x ? ,??????????? 2 2

2分

1 1 ? ? y ? x ? , ? x ? 1, 由? 2 2 ?? ? y ? 1. ? ?y ?1 ? 0
所以点 C 的坐标 C?1,1? ..????????????????????????? 4 分 (2) k BC ? ? k AC ? ?

1 1 3 ,所以直线 BC 的方程为 y ? ? x ? , ???????? 2 2 2

5分

?4 x ? 2 y ? 9 ? 0, ? x ? 2, 1 ? ? ? 1 3 ?? 1 ,即 B(2, ) ..???????????????? 7 分 2 y ?? x? , y? ? ? 2 2 2 ? ?
| AC |?

?3 ? 1?2 ? ?2 ? 1?2

? 5 ,??????????? ?????????8 分

点 B 到直线 AC: x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离为 d ? 则 S ?ABC ?

2 5

.???? ?????????? 9 分

1 AC d ? 1..?????????????? ????????? 10 分 2

24. (本小题满分为 10 分) (Ⅰ)证明:连接 BD 交 AC 于点 M,连结 ME, 因 AB ∥ DC
z P

?

| MB | | AB | 1 | BE | 1 ? ? ,当 ? ? 2 时 ? , | MD | | CD | 2 | EP | 2
A M D x

E B y

| MB | | BE | ? ? | MD | | EP |

? EM // PD .
PD ? 平面EAC, EM ? 平面EAC

C

则 PD ∥面 EAC .???????????????????????????

4分

(Ⅱ)由已知可以 A 为坐标原点,分别以 AB,AP 为 y 轴,Z 轴建立空间直角坐标系,设 DC=2,
11

则 A(0,0,0), C (1,1,0), B(0,1,0), P(0,0,1) , 由 PE ? ? EB ,可得 E 点的坐标为 ? 0,

? 1 ? ? , ? ?????????????? 6 分 ? 1? ? 1? ? ?

所以 AC ? (1,1,0), AE ? ? 0,

? 1 ? ? , ?. ? 1? ? 1? ? ?

? x ? y ? 0, ? 设 平 面 EAC 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 则 ? ? ,设 z?? ,则 1 y ? z ? 0 ? 1? ? ?1 ? ?
y ? ?1 , x ? 1 ,所以 n ? ?1,?1, ? ? ??????????????????????
若直线 PA 与平面 EAC 所成角为 30 ? , 则 cos60? ? 8分

?
2 ? ?2

,??????????????????????????

9分

解得 ? ?

6 ?????????????????????????????? 10 分 3

25. (本小题满分为 10 分) 解: (1)点 C 到直线 3x ? 4 y ? 35 ? 0 的距离为 d ? 5 ,.?????????????? 2 分 所以求圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 25.?????????????? 4 分
2 2

(2)设 P( x, y), 且 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 25.即 x 2 ? y 2 ? 20 ? 4 x ? 2 y
2 2

设定点 A (m, n) ,( m, n 不同时为 0),

PA PO

= ? ( ? 为常数).



?x ? m?2 ? ? y ? n?2
x2 ? y2

? ? ???????????????????????? 6 分

两边平方,整理得

?1 ? ? ??x
2

2

? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m 2 ? n 2 =0

?

12

代入 x 2 ? y 2 ? 20 ? 4 x ? 2 y 后得

?1 ? ? ??20 ? 4x ? 2 y? ? 2mx? 2ny ? m
2

2

? n2 ? 0

所以,

?4(1 ? ?2 ) ? 2m, ? 2 ?????????????????????????? 9 分 ?2(1 ? ? ) ? 2n, ?20(1 ? ?2 ) ? ?m 2 ? n 2 , ?
?m ? ?8, ? 解得 ?n ? ?4, ? ?? ? 5 ,
即 A(?8,?4) . ?????????????????????????????? 10 分

13


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