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激光光学课件(部分)


§4.1 高斯光束的基本性质
一、高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解
由§1.2知,稳态传输电磁场满足亥姆霍兹方程:

?E?x, y, z ? ? k 2 E?x, y, z ? ? 0
式中E(x,y,z)与电场强度的复数表示E(x,y,z,t)间有关系

(4.1.1)

>E?x, y, z, t ? ? E?x, y, z ?exp(iwt )

(4.1.2)

容易证明,平面波和球面波都是(4.1.1)的特解。高斯光束则不同,它不是 (4.1.1)的精确解,而是在缓变振幅近似(SVA)下的一个特解。设

E?r, z ? ? A?r, z ?exp?? ikz?

(4.1.3)

且在z = 0处有一振幅为

2 A?r, z ? |z ?0 ? A?r,0? ? A0 exp(?r 2 / w0 )

的高斯光束,然后求在任意z处的A(r,z)。式中w0为束腰, A0为振幅常量, 如果只考虑相对值,则可由归一化条件求出。 设解为 ? r2 ? A?r , z ? ? A0 f1 ( z ) exp?? f 2 ?z ? 2 ? w0 ? ? 式中f1(z), f2(z) 为待定函数,满足

f1 ?0? ? f 2 ?0? ? 1
将式(4.1.5)微分后代入式(1.2.21),由该方程对任意r成立条件得到 关系式: 2 f 22 ? ? ikf 2 ? 0 2 w0 2 f1 f 2 ? ? ikf1 ? 0 2 w0 式中撇号表示 d/dz ,微分方程(4.1.7)在边界条件为式(4.1.6)时的解 为

f1 ?z ? ? f 2 ?z ? ?

1 1 ? 2 1 ? iz (2 / kw0 ) 1 ? iz / Z 0

(4.1.8)

式中

2 1 2 ?w0 Z 0 ? kw0 ? 2 ?

(4.1.9)

称为瑞利尺寸或共焦参数。 于是我们证明了,形如
2 ? r 2 / w0 ? A0 A?r , z ? ? exp? ? ? 1 ? iz / z ? ? 1 ? iz / Z 0 0 ? ?

(4.1.10)

的高斯光束是亥姆霍兹方程(4.1.1)在缓变振幅近似下的一个特解。其物理意 义为:如果在z = 0处有一形如(4.1.4)的高斯光束,则它将以式(4.1.10)非均 匀高斯球面波的形式在空间传输。 式(4.1.10)可改写为
? ? kr 2 ? r2 ? ?? A0 w0 A?r , z ? ? exp?? 2 ? exp?? i ? ? ??? w?z ? w ?z ?? 2 R? z ? ? ?? ? ?

(4.1.11)

式中:

w?z ? ? w0 1 ? ?z / Z 0 ?
? z Z ? R?z ? ? Z 0 ? ? 0? ?Z z ? ? 0 ?

2

(高斯光束的束宽) (4.1.12)

(高斯光束的等相面曲率半径) (4.1.13)

? ? t an?1

z Z0

(高斯光束的相位因子)

(4.1.14)

利用式(4.1.11)可将E(r,z)表为
? ? ? r2 ?? ? ? A0 w0 r2 ? ? ? E ?r , z ? ? exp?? 2 exp?? i ?k ? ? z ? ? ? ?? ? w?z ? ? ? ? 2 R? z ? ? w ?z ?? ? ?? ? ?

(4.1.15)

二、高斯光束的基本性质
由式(4.1.14)至式(4.1.18)知,高斯光束有以下基本性质(图4.1.1):

图4.1.1 高斯光束

1.高斯光束在z = const 的面内场振幅以高斯函数 exp[-r2/w2(z)] 的形式从中心向
外平滑地减小。按式(3.1.10)二阶矩定义,由(4.1.15)求出的 w(z) 称为高 斯光束的束宽。显然,对于高斯光束, w(z) 也等于场振幅减小到中心值1/e 处的r值。由式(4.1.12)可知,束宽w(z) 随坐标 z 按双曲线

w2 ? z ? z 2 ? 2 ?1 2 w0 Z0

(4.1.16)

规律向外扩展,z = 0时,w(0) = w0取最小值。 2. 高斯光束等相面 所谓等相面是指相位相同点的轨迹,一般为空间曲面。对高斯光束可 由式(4.1.15)中令相位部分等于常数得出,即
? r2 ? k? ? z ? ? ? ?z ? ? const ? 2 R? z ? ?

(4.1.17)

在近轴条件下,可略去? ?z ?

项, (4.1.18)

r2 ? z ? const 2 R? z ?

式(4.1.18)说明,除z = 0面附近之外,等相面为抛物型。式(4.1.18)也是原 点在(0,0,a)半径为 R 的球面方程
x 2 ? y 2 ? ?z ? a ? ? R 2
2

(4.1.19)

的近轴形式。因此可以认为高斯光束的等相面为球面,球面的曲率半径R(z) 由式(4.1.13)决定,且有 z ? 0, R ? ? 等相面为平面 2 z ?? Z 0 , R ~ Z 0 / z 等相面近似平面 z ? ? Z 0 , R ? 2Z 0 取极小值 z ?? Z 0 , R ? z 在远场处可将高斯光束近似视为一个由z = 0点出发, 半径为z的球面波。高斯光束的等相面的曲率中心不是一个固定点,它随 着光束的传输而移动。

3. 高斯光束的相移
由式(4.1.15)知,总相移
? r2 ? ? ?r , z ? ? k ? z ? ? ? ??z ? 2 R? z ? ? ?

(4.1.20)

它表征高斯光束在点(r,z)处相对原点(0,0)的相位差。其中 kz 为几何相 移,kr2/2R(z)表示与径向有关的相移。 ??z ? ? tan?1 ( z / Z0 ) 为高斯光束在空间传 输距离 z 时相对于几何相移产生的附加相移。

4. 瑞利长度(共焦参数) 5 .远场发散角

w 由式(4.1.9)知,瑞利长度的物理意义:当|z|=Z0时, ?Z0 ? ? 2w0 。 瑞利长度越长,意味着高斯光束的准直范围越大,反之亦然。

高斯光束远场发散角 ?0 可用下式定义

? 0 ? lim
z ?0

w? z ? z

(4.1.21)

利用式(4.1.12)求极限得

? ?0 ? ?w0

(4.1.22)

可知高斯光束远场发散角 ?0 在数量级上等于以束宽 w0为半径的光束的衍射角, 即它达到了衍射极限。 利用式(4.1.12)、式(4.1.13)可以将(4.1.22)改写为
? w?z ?? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ?w?z ?? ? R?z ? ? ? ?
2 2

(4.1.23)

有此可知,高斯光束的远场发散角包含了在传输距离z出光束的几何张角 与衍射发散两部分的贡献。 综上所述,高斯光束在其轴线附近可以看做是一种非均匀高斯球面 波,在传输过程中曲率中心不断改变,其振幅在横截面内为一个高斯函 数,强度集中在轴线及其附近,且等相面保持为球面(特殊范围内为平 面)。

§4.1 高斯光束的基本性质
一、高阶高斯光束
由式(4.1.14)表征的高斯光束通常称为基模 TEM00高斯光束。除此以 外,还存在高阶高斯光束,相对于高阶横模 TEMpl或TEMmn 利用拉盖尔多项式的递推公式,仿前推导,可以证明形如 l Apl w0 ? ? r2 ? r? l E pl ?r ,? , z ? ? ? 2 ? L p exp? ? 2 ? ? ? w ? w ? w? ? ? ? ? ? ?? r2 ? ? ?1 z ??cosl? ? ? ?2 p ? l ? 1? tan exp?? i ?k ? z ? (4.2.1) ? ?? ? 2R ? Z 0 ? ??sin l? ? ? ? ? ? ? 的拉盖尔 - 高斯函数,也是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下式(1.2.22)的 一个特解。TEMpl模高斯光束的相移为
? r2 ? z ? ?r , ? , z ? ? k ? z ? ? ? ?2 p ? l ? 1? tan?1 ? 2R ? Z0 ? ?

(4.2.2)

利用特殊函数的数学理论可以证明,由式(4.2.1)所表征的解构成正交 完备系,选择合适的常数Apl,可以使它归一化 容易证明,形如
? 2 ? ? 2 ? ? x2 ? y2 ? Amn w0 ? ? ? ? ? A?x, y, z ? ? Hm? ? w x ? H n ? w y ? exp? ? w2 ? ? w ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? y2 ? z ?? ? ? ?z? ? ? (m ? n ? 1) tan?1 ? ? exp?? i ?k ? (4.2.3) 2R ? Z0 ?? ? ? ? ? ? ?

的厄米 – 高斯函数为式(1.2.21)的一个特解,式中 m 阶和 n 阶厄米多项式。于是

? 2 ? ? 2 ? ? Hm? x?和 Hn? ? w ? ? w y ? 分别为 ? ? ? ?

Emn ?x, y, z ? ? A?x, y, z ?exp?? ikz?

(4.2.4)

厄米 – 高斯函数所表征的高阶高斯光束TEMmn的横向场分布由函数
? 2 ? ? 2 ? Hm? x ?H n ? y ? exp ? x 2 ? y 2 / w2 ? w ? ? w ? ? ? ? ?

??

?

?

(4.2.5)

描述,它沿x方向有m条节线,沿y方向有n条节线,其相移为
? x2 ? y2 ? z ? ? ?m ? n ? 1? tan?1 ? ?x, y, z ? ? k ? z ? ? 2R ? Z0 ? ?

(4.2.6)

由式(4.2.3)所表示的解也构成正交完备系,Amn为归一化常数。 基模高斯光束和高阶高斯光束(对应于多模情况)通称高斯光束,今后未做特 殊说明,一般指的是基模高斯光束。

二、高阶高斯光束的束宽和远场发散角
1. 厄米 – 高斯光束
按二阶矩定义。对式(4.2.4)所示的厄米 – 高斯光束,在x 方向的束宽wm(z)为

? 2 ? ? 2x2 ? ? 4? x H ? ? ? ? w x ? exp? ? w2 ?dx ?? ? ? ? ? 2 wm ? z ? ? ? ?2m ? 1?w2 ?z ? ?? ? 2 ? ? 2x2 ? 2 ??? H m ? w x ? exp? ? w2 ?dx ? ? ? ? ? ? ? ?
?? 2 2 m

(4.2.7)

类似地,在 y 方向的束宽为wn(z)

? 2 ? ? 2 y2 ? ? 4? y H ? ? ? ? w y ? exp? ? w2 ?dy ?? ? ? ? ? 2 wn ?z ? ? ? ?2n ? 1?w2 ?z ? ?? ? 2 ? ? 2 y2 ? 2 ??? H n ? w y ? exp? ? w2 ?dy ? ? ? ? ? ? ? ?
?? 2 2 n

(4.2.8)

我们仍用(4.1.21)来定义高阶高斯光束的远场发散角,则在x和y方向的 ? m 和 ?n 分别为

? m ? lim

wm ?z ? w?z ? ? ? 2m ? 1 lim ? 2m ? 1 ? 2m ? 1? 0 z ?? z ?? z z ?w0 wn ?z ? w?z ? ? ? 2n ? 1 lim ? 2n ? 1 ? 2n ? 1? 0 z ?? z ?? z z ?w0

(4.2.9)

? n ? lim

(4.2.10)

容易证明,这与用光强空间频率域中的二阶矩求得高阶高斯光束远场发散角 的公式相同。由式(4.2.9)、式(4.2.10)知,当 m 不等于 n 时,厄米 - 高斯 光束在 x 和 y 方向的远场发散角是不相等的,它们分别为基模高斯光束发散角 的 2m ? 1 和 2n ? 1 倍。 厄米 – 高斯光束在按(4.2.7)和(4.2.8)所定义的束宽所围成的面积内的 功率占总功率的百分比可按下式计算:

Tmn ?

?

2 m ?1w

?

? 2 ? 2? 2 ? ? 2 x2 ? y2 ? ?? 2n?1w H ? w x ? H n ? w y ? exp?? w2 ? dxdy ? ? ? ? 2 m ?1w ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 2 ? 2? 2 ? ? 2 x2 ? y2 ? 2 ??? ??? H m ? w x ? H n ? w y ? exp?? w2 ? dxdy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 n ?1w 2 m

?

?

?

?

(4.2.11)

由表4.2.1知,大部分的激光功率都集中于所定义的束宽之内。

2.拉盖尔-高斯光束
由式(4.2.1)表征的拉盖尔 – 高斯光束,束宽 wpl(z) 和远场发散角 ? pl 为

? 2 ? ? l ? 2r 2 ? ? ? 2r 2 ??cos2 l? 3 2? ? ? r ? ? L p ? 2 ?? exp? ? 2 ?? 2 r drd? ?w ? ? w ? sin l? ? 0 0 ? w ? ?? ? ?? ? ? ? w2 ?z ? ? pl 2 2l ? ? 2? ? 2 ? ? ? 2r 2 ? ? ? 2r 2 ??cos2 l? ? r ? ? Llp ? 2 ?? exp? ? 2 ?? 2 rdrd? ?0 ?0 ? w ? ? ? w ?? ? w ??sin l? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2 p ? l ? 1?w ? z ? w pl ?z ? w? z ? ? pl ? lim ? 2 p ? l ? 1 lim z ?? z ?? z z ? ? 2 p ? l ?1 ? 2 p ? l ? 1? 0 ?w0
?? 2?

2l

2

(4.2.12)

(4.2.13)

在所定义的束宽所围成的面积内,拉盖尔 – 高斯光束的功率占总功率的 百分比为

T pl ?

?

2 p ? l ?1w

0 ??

?

2?

0

? ?
0

2?

0

? ? ? ?

? 2 ? ? l ? 2r ? ? ? 2r 2 ??cos2 l? ? ? ? ? ? ? ? w r ? ? L p ? w2 ?? exp? ? w2 ??sin 2 l? r drd? ? ?? ? ?? ? ? ? 2 2l ? ? l ? 2r 2 ? ? ? 2r 2 ??cos2 l? 2 r ? ? L p ? 2 ?? exp? ? 2 ?? 2 rdrd? ? w ? sin l? w ? ? ? w ?? ? ? ? ?? ?
2

2l

2

(4.2.14)

数值计算结果见表4.2.2

表4.2.2 拉盖尔-高斯光束的Tpl值

§4.3 高斯光束的复参数表示 ABCD 定律
一、高斯光束的复参数表示
由式(4.1.12)至式(4.1.15)知,高斯光束由R(z)、w(z)和z中任意两个 即可确定,因此可用复参数 q 将这三个量联系起来。定义 q 为

1 1 ? ? ?i 2 q R ?w
利用式(4.1.12)、式(4.1.13)易得 q = z + iZ0

(4.3.1)

(4.3.2)

用复参数 q 可将式(4.1.11)简洁地表示为:
? ikr 2 ? iZ 0 A?r , q ? ? A0 exp? ? ? 2q ? ? q ? ?

(4.3.3)

于是高斯光束可由复参数 q 确定。当 q 已知时,R(z), w(z) 则按下式求出:
?1? 1 ? Re? ? ?q? R ? ? 1 ? ?1? ? ? lm? ? w2 ? ?q? ? ?

(4.3.4)

(4.3.5)

其中 Re 表示复数取实部、lm 表示复数取虚部运算。 在讨论高斯光束的传输变换问题时,通常用 w0、z 参数, R(z), w(z)参数或 者复参数 q 来描述,但其中以 q 参数法最为简便、规范,书本就主要使用这 一方法,注意对n = 1,式(4.3.1)中 ? 为真空(或空气)中波长,当 n 不等于1时,? 应理解为折射率 n 介质中波长。

二、高斯光束的ABCD定律
Aq1 ? B Cq1 ? D

§1.3中已经证明,高斯光束复参数 q 通过变换矩阵 M ? ?C ? 学系统的变换遵守 ABCD 定律:
q2 ?

?A B? 的光 D? ?

(4.3.6)

或写成
1 C ? D / q1 ? q2 A ? B / q1

(4.3.7)

如果复参数 q1 的高斯光束顺次通过变换矩阵为

? A1 M1 ? ? ?C1

B1 ? ? A2 ?, M 2 ? ?C D1 ? ? 2

B2 ? ? An ?,...,M n ? ?C D2 ? ? n

Bn ? Dn ? ?

(4.3.8)

的光学系统后变为复参数为 q 的高斯光束(图4.3.1),利用矩阵乘法易证, 此时 ABCD 定律亦成立,但其中 ABCD 为下面矩阵 M 诸元:

M ? M n ? ? ? M 2 M1
即:

图4.3.1 q 参数通过变换矩阵M1,M2,…,Mn串接光学系统的变换

? A B ? ? An M ?? ? ? ?C ?C D? ? n

Bn ? ? A2 ? ? ? ? ?C Dn ? ? 2

B2 ? ? A1 D2 ? ?C1 ??

B1 ? D1 ? ?

(4.3.9)

当 q1 和 M1,M2,…,Mn为已知时,原则上由 ABCD 定律可求出任意 z 处的 q ,再由式(4.3.4)、式(4.3.5)做复数运算分离、虚部得到 R 和 w , 于是高斯光束 的复参数表示和 ABCD 定律给出了 研究高斯光束通过无光阑限制近轴 ABCD 光学系统传输变换的一个基 本方法。现在以高斯光束在自由空 间传输的最简单情况为例,说明AB CD定律的应用。如图4.3.2,设在z 图4.3.2 高斯光束在自由空 = 0处有一等相面为平面的高斯光束: 间的传输

1 ? ? ?i 2 q0 ?w0

(4.3.10)

在自由空间中传输距离 z 后,设其复参数为 q 。因为

?1 M ?? ?0

z? 1? ?

(4.3.11)

由 ABCD 定律: 将式(4.3.1)和(4.3.10)代入(4.3.12)做复数运算得

w ? w0 1 ? ? z / Z 0 ? ? z Z0 ? R ? Z0 ? ? ? ?Z ? ? 0 z ?

2

(4.3.13)

(4.3.14)

这即式(4.1.12)、式(4.1.13),它描述了以束腰处为参考,高斯光束的等 相面曲率半径 R(z) 和束宽w(z) 随传输距离 z 的变化规律。式(4.3.13)还可 用式(4.1.9)和式(4.1.22)改写为 (4.3.15) w2 ? w2 ? ? 2 z 2
0 0

三、高斯光束的传输方程和 ABCD 定律
为讨论高斯光束的传输变换问题,引入所谓嵌入光束是比较方便的。如图 4.3.3所示,嵌入TEM00模高斯光束的束腰 w0、束宽w(z) 和远场发散角? m 与厄 米 – 高斯光束在x、y方向的对应值w0m 、wm(z) ? m 和w0n 、wn(z) 、 ?n 间有 关系

图4.3.3 嵌入基模高斯光束

w0 ? w0 m / M x w? z ? ? wm ? z ? / M x ?0 ? ?m / M x


(4.3.16)

w0 ? w0 n / M y w?z ? ? wn ?z ? / M y ?0 ? ?n / M y

(4.3.17)

厄米 – 高斯光束在 x 和 y 方向的瑞利长度
2 2 ?w0 ?wom Zm ? ? 2 ? Mx? 2 2 ?w0 ?won Zn ? ? 2 ? M y?

(4.3.18) (4.3.19)

借助于式(4.3.16)至式(4.3.19),高阶高斯光束在自由空间中的传输方程 可由嵌入基模的高斯光束的传输方程(4.3.15)求出,在 x 方向为
2 2 2 wm ? w0m ? ?m z 2

(4.3.20)

在y方向为
2 2 wn ? w0n ? ?n2 z 2

(4.3.21)

设厄米 – 高斯光束在 x 方向复参数为 qm ,
?M x2 1 1 ? ?i 2 qm Rm ?wm

(4.3.22)

式中 Rm为厄米 – 高斯光束波面曲率半径,并将通过变换矩阵 光学系统前后的qm 写为qm1 、qm2,仿前推导,可证明 qm满足
qm 2 ? Aqm1 ? B Cqm1 ? D

?A B? ?C D ? ? ?

(4.3.23)

式(4.3.23)称为高阶高斯光束的 ABCD 定律,在 y 方向有类似的公式。


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