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2013届高二下学期期中考试数学(文科)


2013 届高二下学期期中考试 数学(文)
第Ⅰ 卷
本试题共 21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟

? ? ? 参考公式:线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 b ? y
表示样本均值. 锥体的体积公式是 V ?

i ?1

? ( xi ? x)( yi

? y )
i ?1 2 ? ( xi ? x) n

n

? ? , a ? y ? bx ,其中 x, y

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目 要求。 1、 设 i 为虚数单位,则复数 A. 1 B. i C. ? 1

1 ? 2i 的虚部是 i D. ? i
(

(

)

2、 若向量 AB ? (1,2), BC ? (3,4) ,则 | AC | = A.

)

2 13

B.

4 13 C.

2 2

D. 2 )

3、设全集 U ? R,集合 A = {x x ? 1 ? 0} , B ? {x ? x2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? (CU B) ? ( A. {x 0 ? x ? 1} B. {x 1 ? x ? 2} C. {x 1 ? x ? 2} D. {x 1 ? x ? 2} )

2 2 4、直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? y ? 4 的位置关系是(

A.相离 C.直线与圆相交且过圆心

B.相切 D.直线与圆相交但不过圆心 1 )
正视图

2 1
侧视图

?x ? y ? 0 ? 5、若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 4x ? y 的最大值是( ?3x ? y ? 4 ? 0 ?
A. 0 B. 2 C. 5 D. 6

1

6、已知 x , y , z ? R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等差数列,则 x ? y ? z

(第 7 题) 俯视图

?2 的值为( ) A. B. ?4 C. ?6 7、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A. 2π ? 3 C. π ? 3

D. ?8 )

3 3 3 D. π ? 3
B. 2π ?
1

8、已知函数 f ( x ) ? 只要将 y ? f

1 1 1 2 sin( x) ,为了得到函数 g ( x) ? sin( x) ? cos( x) 的图象, 2 2 2


? x ? 的图象(

A.向右平移

? 个单位长度 4
? 个单位长度 2
2

B.向左平移

? 个单位长度 4
? 个单位长度 2


C.向右平移

D.向左平移

y2 ? 1的离心率为( 9、若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m
A.

3 2

B.

5

C.

3 或 5 2

D.

3 5 或 2 2


? x ? 1 ( x ≤ 0) ,,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是 ( 10、已知函数 f ( x) ? ? ?log 2 x ( x ? 0)
A.4 B.3 C. 2 D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11、函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ?

x ? 1 的定义域是

12、某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0 万

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年的维修费用约
元(结果保留两位小数) .
2 13、“ m ? 2 ”是“一元二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的

条件

(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) 14、对任意两个非零的平面向量 x 和 y ,定义 x ? y ?

x? y y? y

;若两个非零的平面向量 a, b 满足,a 与 b 的

夹角 ? ? (

? ?

?n ? , ) ,且 a ? b , b ? a 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a ? b = 4 2 ?2 ?

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15、 (本小题满分 12 分) ?? ? C C C 3 已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角且向量 m ? (1, cos ) 与n ? ( 3sin ? cos , ) 共线。 2 2 2 2 (Ⅰ)求角 C 的大小: (Ⅱ)设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C ? c ? 2b ,判断 ? ABC 的形状

16、 (本小题满分 13 分)某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习 惯”的调查, 以计算每户的碳月排放量. 若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”. 若 75 % 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知备 小区内有至少 选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;

1 ,数据如图 1 所示,经过同学 2 们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标
(Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为 准?
频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

17、 (本小题满分 13 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长 为 2 的菱形, Q 是棱 PA 上的动点. (Ⅰ)若 Q 是 PA 的中点,求证: PC //平面 BDQ ; (Ⅱ)若 PB ? PD ,求证: BD ? CQ ; (III)在(Ⅱ)的条件下,若 PA ? PC , PB ? 3, ?ABC ? 60? , 求四棱锥 P ? ABCD 的体积.
B

P Q

A

D

C

3

18、 (本小题满分 14 分)在等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an ? bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

19、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax2 ? a ? 1) (a ?R). (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ?

2 对任意 x? ? ?2, ?1? 恒成立,求实数 a 的取值范围. e2

20、 (本小题满分 14 分) 抛物线 y2=2px(p>0)上纵坐标为-p 的点 M 到焦点的距离为 2. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)如图,A,B,C 为抛物线上在第一象限的三点,直线 MA 与 x 轴不垂直,且线段 MA,MB,MC 与 x 轴交点的横坐标依次组成公差为 1 的等差数列,若△AMB 的面积是△BMC 面 积的

1 ,求直线 MB 的方程. 2

y B A O M (第 20 题)

C

x

4

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目 要求。 1.【解析】选 C,依题意:

1 ? 2i (1 ? 2i )i ? ? 2 ? i ,则虚部为 ? 1 。 i i2

2. 【解析】选 A, AC ? AB ? BC ? (1,2) ? (3,4) ? (4,6),| AC |? 3.【解析】选 C, A = ?x | x ? 1?, CU B ? ?x | 0 ? x ? 2?,则

4 2 ? 6 2 ? 2 13

A ? (CU B) ? ?x | 1 ? x ? 2?
4.【解析】选 D,圆心(1,0)不在直线上,半径 r ? 2 ,且圆心到直线的距离 d ? 则选 D 5.【解析】选 D,约束条件对应 ?OAB 边界及内部区域:O(0,0) 、A(1,1) 、 B(2,-2) ,则 4 x ? y ? [0,6] 6.【解析】选 C,等差数列求和 x ? y ? z ?

|3?0?9| 6 ? ? 2, 5 5

3[( ?1) ? (?3)] ? ?6 2

7.【解析】选 D,几何体是由圆柱与棱锥组合而成,它的体积为

1 1 3 V ? ? ? 12 ? 1 ? ? ( ? 2 ? 1) ? 3 ? ? ? 3 2 3
8.【解析】选 D, g ( x) ?

1 ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 sin[ ( x ? )] ,则只要将 2 4 2 2

y ? f ? x ? 的图象向左平移

? 个单位长度 2

2 9. 【 解 析 】 选 C , m ? 2 ? 8 ? 16, m ? ?4 , 当 m ? 4 时 , 曲 线 是 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆

y2 3 x ? ? 1, a ? 2, b ? 1, c ? 3, e ? , 当 m ? ?4 时 , 曲 线 是 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 4 2
2

x2 ?

y2 ? 1, a ? 1, b ? 2, c ? 5 , e ? 5 4

10.【解析】选 A,由图像得当 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,

x ? ?1 ?x?3 ? log ( x ? 1) ? 1 ? 1 ? x ? 0 1 1 ? 2 则 y ? f [ f ( x)] ? 1 ? ? ,从而得到有四个零点, x ? ?3,? , ,2 0 ? x ?1 2 2 ? log2 x ? 1 ?log2 (log2 x) x ?1 ?
5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11.、 【解析】 [1,2) ,函数定义域要满足 ?

?2 ? x ? 0 ?1? x ? 2, ? x ?1 ? 0
^

12.、 【解析】12.38, x ? 4, y ? 5 ,由已知得 b ? 1.23 ,从而

a ? y ? b x ? 5 ? 1.23? 4 ? 0.08 ,则所求维修费用为 y ? 1.23? 10 ? 0.08 ? 12.38
13、 【解析】必要不充分条件 14. 【解析】

^

^

a ? b | a | ? | b | ? cos ? | a | ? cos ? 1 ? ? ? 0, ,a?b ? 2 b?b | b |2 |b| | b | ? | a | ? cos ? |a|
2

b?a ?

b?a a?a

?

?

| b | ? cos ? |a|

? 0 ,从而

(a ? b) ? (b ? a ) ?

| a | ? cos ? |b|

?

| b | ? cos ? |a|

1 ?n ? ? cos 2 ? ? (0, ) ,因为 a ? b , b ? a 都在集合 ? | n ? Z ? 中, 2 ?2 ?

设a?b ?

n1 n , b ? a ? 2 , (n1 , n2 ? 0) , 2 2 n1 n1 1 1 ? ) ? , 0 ? n1 n2 ? 2 ,则 n1 ? n2 ? 1 ,则 a ? b ? 2 2 2 2

即有 0 ? (

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 ?? ? 3 C C C ? co s ( 3s i n ? co s ) 15.解: (Ⅰ)∵ m 与 n 共线 ∴

2

2

2

2

?

3 1 π 1 sin C ? (1 ? cos C ) ? sin(C ? ) ? …………………3 分 2 2 6 2 ? π 得 sin(C ? ) ? 1 ∴C= ………………………6 分 3 6

(Ⅱ)方法 1:由(1)得 cos C ? cos

?

3

?

1 ,从而 a ? c ? 2b 2

(1)

2 2 2 根据余弦定理可得: c ? a ? b ? ab

(2)……………………8 分

(1)(2)联立解得: b(b ? a) ? 0 ……………………………10 分 、

b ? 0,? b ? a, 又C=
方法 2:由正弦定理得:

?
3

, ABC 为等边三角形,……………12 分 ??

2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ? 2sin( A ? C) 2sin A cos C ? sin C ? 2sin A cos C ? 2cos Asin C
6

………………8 分

∴ cos A ?

1 π , ∴在△ ABC 中 ∠ A ? . 2 3

…………10 分

? ?ABC 为等边三角形

………………12 分

16.解:解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m , n, …1 分 用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ?? A, B, C, m, n? , 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , ( A, C ) , ( A, m) ,

( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n)

, (C , m) , (C, n) , (m, n) . ………5 分

用 D 表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们是: ( A, m) ,

( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C , m) , (C, n) .
故所求概率为 P( D) ?

…7 分

6 3 ? . …………8 分 10 5 (II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”. ………10 分 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 …12 分 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. …………13 分
17. (Ⅰ)证明:连结 AC ,交 BD 于 O .…………………1 分 因为底面 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点. 因为 Q 是 PA 的中点,所以 OQ// PC ,…………………2 分 因为 OQ ? 平面 BDQ , PC ? 平面 BDQ , 所以 PC // 平面 BDQ . …………………4 分

(Ⅱ)证明:因为底面 ABCD 为菱形, 所以 AC ? BD ,…………………5 分 O 为 BD 的中点.因为 PB ? PD ,所以 PO ? BD

…………………6 分.

因为 OP ? AC ? O ,所以 BD ? 平面 PAC .因为 CQ ? 平面 PAC , 所以 BD ? CQ . ………………………………8 分

(Ⅲ)因为 PA ? PC ,所以△ PAC 为等腰三角形 . 因为 O 为 AC 的中点,所以 PO ? AC . …………………9 分 PO ? BD ,且 AC ? BD ? O , 由(Ⅱ)知 所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高.……………10 分 因为四边形是边长为 2 的菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 BO ? 3 ? PO ? 6 .
?

7

所以 VP ? ABCD ?

1 ?2 3? 6 ? 2 2 . 3

……………13 分

18、解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差是 d . 依题意 a3 ? a8 ? (a2 ? a7 ) ? 2d ? ?6 ,从而 d ? ?3 .…………2 分 所以 a2 ? a7 ? 2a1 ? 7d ? ?23 ,解得 a1 ? ?1 . ……………4 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ?3n ? 2 . ………………6 分 (Ⅱ)由数列 {an ? bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列, 得 an ? bn ? c n ?1 ,即 ? 3n ? 2 ? bn ? cn ?1 , 所以 bn ? 3n ? 2 ? cn ?1 . ………………8 分

所以 Sn ? [1 ? 4 ? 7 ? ?? (3n ? 2)] ? (1 ? c ? c2 ? ?? cn?1 )

?

n(3n ? 1) ? (1 ? c ? c 2 ? ? ? c n ?1 ) .……………10 分 2

n(3n ? 1) 3n 2 ? n ?n? 从而当 c ? 1 时, Sn ? ; ……………12 分 2 2
n(3n ? 1) 1 ? c n ? 当 c ? 1 时, S n ? . 2 1? c
……………14 分

19、 (Ⅰ)解:当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x 2 e x , f (1) ? ?e .

f ?( x) ? ? x 2 e x ? 2xe x ,

……2 分

因为切点为( 1, ? e ) 则 k ? f ?(1) ? ?3e , ……4 分 , 所以在点( 1, ? e )处的曲线的切线方程为: y ? ?3ex ? 2e .…5 分 (Ⅱ)解法一:由题意得, f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ? (注:凡代入特殊值缩小范围的均给 4 分)

2 e
2

,即a ?

1 .……8 分 5

f ?( x) ? e x (ax 2 ? 2ax ? a ? 1) ? e x [a( x ? 1) 2 ? 1] ,
因为 a ?

……10 分

1 ,所以 f ?( x) ? 0 恒成立, 5
……12 分

故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增, 要使 f ( x) ?

2 e
2

恒成立,则 f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ?

2 e
2

,解得 a ?

1 .……14 分 5
……7 分

解法二: f ?( x) ? e x (ax 2 ? 2ax ? a ? 1) ? e x [a( x ? 1) 2 ? 1]
8

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 [?2,?1] 上恒成立, 故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,

f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ?

2 e
2

即a ?

1 . 5

……10 分

(2)当 a ? 0 时,令 u( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ,对称轴 x ? ?1 , 则 u (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,又 u (?1) ? 1 ? 0, u (?2) ? (a ? 1) ① 当 a ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 ?? 2,?1? 上恒成立, 所以 f (x) 在 ?? 2,?1? 单调递增,

f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ?

2 e
2

即a ?

1 ,不合题意,舍去 5

……12 分

②当 a ? ?1 时, f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) ? 0 , 不合题意,舍去 …13 分 综上所述: a ?

1 5

……14 分

20.解: (Ⅰ)解:设 M ( x0 ,? p) , 则 (? p) 2 ? 2 px0 , x0 ?

p , 2
……5 分

p 由抛物线定义,得 x0 ? (? ) ? 2 所以 p ? 2, x0 ? 1. 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) . 设 A(

y y1 y , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) , C ( 3 , y 3 ) ( y1 , y 2 , y 3 均大于零)…6 分 4 4 4

2

2

2

MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 x1 , x 2 , x3 .
(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去 同理 MC ? x 轴不合题意,舍去 …7 分 (2) MB 与 x 轴不垂直时,

k MB ?

y2 ? 2 y2 ?1 4
2

?

4 y2 ? 2 ,

设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

4 ( x ? 1) ,即 4 x ? ( y 2 ? 2) y ? 2 y 2 ? 0 , y2 ? 2

令 y ? 0 得 2 x 2 ? y 2 ,同理 2 x1 ? y1 ,2 x3 ? y 3 , 因为 x1 , x 2 , x3 依次组成公差为 1 的等差数列, 所以 y1 , y 2 , y 3 组成公差为 2 的等差数列.
9

……10 分

y1 ? y2 ? 2,

y3 ? y2 ? 2 ……11 分

设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C , 因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A ,
y 3 2 ? ( y 2 ? 2) y 3 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2 ?2 y1 2 ? ( y 2 ? 2) y1 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

所以

……13 分

得 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,即 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,所以 y 2 ? 4 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 解法二: )同上. (Ⅰ (Ⅱ )由(Ⅰ )知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) . 由题意,设 MA, MB, MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 t ? 1, t , t ? 1 设 A( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ( y1 , y 2 均大于零) .……6 分 (1) (1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去 同理 MC ? x 轴不合题意,舍去 …7 分 (2) MB 与 x 轴不垂直时, k MB ? 设直线 MB 的方程为 y ? 2 ? ……14 分

2 t ?1

2 ( x ? 1) ,即 2 x ? (t ? 1) y ? 2t ? 0 , t ?1 同理直线 MA 的方程为 2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0 ,
? y 2 ? 4x 由? ?2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0

得 y 2 ? 2(t ? 2) y ? 4t ? 4 ? 0

? ? x ? (t ? 1) 则 ?2 y1 ? ?4t ? 4, 所以 ? 1 , ? y1 ? 2t ? 2 ?
2

…12 分

2 ? ? x ? (t ? 1) 同理 ? 2 ,设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C ,因为 S ?BMC ? 2S ?AMB , ? y 2 ? 2t ? 2 ?

所以 d C =2 d A , 所以
2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2 ?2 2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

…13 分

化简得 2t ? 4 ? 2 2t ,即 t ? 2 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ……14 分

10


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