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第八章 平面向量导学案


编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________

主备人陶 翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 7 日 授课时间 2013 年 6 月 日 一、课 题:第八章 平面向量 8.1 向量的概念 二、学习目标:
1.理解向

量的概念,相等向量等概念,掌握向量的几何表示; 2.了解零向量、单位向量、平行向量,

三、重点和难点
向量的概念,相等向量的概念

教学随笔

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)

(二)自主学习(时间:12’)
阅读课本 P45 问题

(三)质疑探究

展示提升(时间:15’)

1.向量的概念:我们把既有______又有______的量叫向量 2.向量的表示: ①用______表示;② 用字母______,______等表示; ③用有向线段的______字母: AB ; ④向量 AB 的 ______ 称为向量的模,记作______. 3.零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫______ , 记作 0 0 的方向是______
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

注意 0 与 0 的区别

王新敞
奎屯

新疆

②长度为 1 个单位长度的向量,叫______ . 4.平行向量定义:
1

教学随笔 编号
①方向______ 或______ 的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量______ . 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量 a、b、c 平行,记作 a∥ c. b∥ 5.相等向量定义: 长度______ 且方向______ 的向量叫相等向量. 【说明】 (1)向量 a 与 b 相等,记作 a=b; (2)零向量与零向量相等; 6. 平行向量(共线向量): 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 【说明】 (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 【注意】 1?数量与向量的区别:数量只有______ ,是一个代数量,可以进行代数运算、 比较大小;向量有______ ,______ ,双重性,不能比较大小 2?零向量、单位向量的定义都是只限制______ ,______ 确定方向. 3?任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的 ...... 起点无关. ....

(四)达标测评(时间:8’)
1 下列命题正确的有 ? ① 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线? a ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点? ③ 向量 a 与b不共线,则 a 与b都是非零向量? ④有相同起点的两个非零向量不平行 2.下列说法中错误的是( ) .. A.零向量是没有方向的? B.零向量的长度为 0 ? C.零向量与任一向量平行? D.零向量的方向是任意的? 3. 已知 a、 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定 b .

(五)自主反思(时间:5’) 说出本节课所学的主要内容 五、课后作业(时间:2’)

2

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________

主备人陶 翠审 核 人 张雯雯

课 型 复习 备课时间 2013 年 5 月 27 日 授课时间 2013 年 6 月 日 一、课 题:第八章 平面向量 8.1 向量的概念 二、学习目标:
1.理解向量的概念,相等向量等概念,掌握向量的几何表示; 2.了解零向量、单位向量、平行向量,

三、重点和难点
向量的概念,相等向量等概念

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:5’)
复习向量的概念,相等向量,向量的几何表示;零向量、单位向量、平行向量, 等概念

教学随笔

(二)自主学习(时间:10’)
1.向量的概念:我们把既有______ 又有______ 的量叫向量 2.向量的表示: ①用有向线段表示;② 用字母 a、b 等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的______ 称为向量的模,记作______ . 3.零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫______ ,记作 0 0 的方向是______
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

注意 0 与 0 的区别

王新敞
奎屯

新疆

②长度为 1 个单位长度的向量,叫______ 向量. 4.平行向量定义:

3

教学随笔 编号
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量 a、b、c 平行,记作 a∥ c. b∥ 5.相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 【说明】 (1)向量 a 与 b 相等,记作 a=b; (2)零向量与零向量相等; 6. 平行向量(共线向量): 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 【说明】 (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

(四)达标测评(时间:8’)
1. 下列命题中,正确的是(B A. 若|a|=|b|,则 a=b C. 若|a|>|b|,则 a>b 2. )

B. 若 a=b,则 a 与 b 是平行向量 D. 若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 是不共线向量

已知 ABCD 是菱形,| AB |=1,∠ DAB=

??? ?

??? ? ? ,则| BD |= 3

, | AC |=

????

.

3. 下列四个命题中,正确命题的个数是 ① 共线向量是在同一条直线上的向量 ② 若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点 ③ 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 ④ 若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB 与 CD , BC 与 AD 分别共线. 4.已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 关系是 5.判定下列命题的正误: ① 零向量是惟一没有方向的向量。 ② 平面内的单位向量只有一个。 ( ( ) ) ) ) ( ) .

③ 方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量。 ( ④ 向量 a 与 b 是共线向量,b∥ C,则 a 与 c 是方向相同的向量。 ⑤ 相等的向量一定是共线向量。 (

(五)自主反思(时间:5’)

五、课后作业(时间:2’)
4

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 27 日 授课时间 2013 年 6 月 日 一、课 题:第八章 平面向量 8.2 向量的运算 8.2.1 向量的加法 二、学习目标:
1.掌握向量加法的定义,掌握向量加法的交换律和结合律 2.会用向量加法的三角形法则,平行四边形法则作两个向量的和向量

三、重点和难点
掌握向量加法的三角形法则平行四边形法则,交换律和结合律

教学随笔

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:5’)
复习:向量有关概念 向量是既有______ 又有______ 的量. 长度______ 、 方向______ 的向量相等. 因此, 我们研究的向量是与起点无关的自由向量, 即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前 提下,移到任何位置

(二)自主学习(时间:5’)
阅读课本 P48 页的问题, 思考飞机两次位移的结果与飞机直接从福州飞到台湾的位移 是相同的吗?

(三)质疑探究

展示提升(时间:10’)
a a

a

C a A + a b

b b a+b b B 形法则(首尾相接)
5



a+b

三 角

编号
如上图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做向量 a 与b 的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定:a + 0= 0 + a 【探究 1】 (1)两个向量的和仍是一个______; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向______,且| a + b |<| a |+| b |;

教学随笔
(3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b ______,且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若 | a |>| b |, a + b 的方向与______相同, a + b |=| a |-| b |; a |<| b |, a + b 的方向与______ 则 且| 若| 则 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连续相加的情形. 【探究 2】向量加法满足如下运算规律: (1)向量加法的交换律: a + b = b + a (2)向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) (3)向量加法的平行四边形法则 向量加法的 三角形法则, 平行四边形 法则

(四)达标测评(时间:15’)
1. 已 知 平 行 四 边 形 ABCD , 对 角 线 分 别 为 BD,AC , 则 AB + BC =______ ,

AB + BD =______, AC + CB + BO =______.
2.设 a 表示“向东走 3 km”,b 表示“向北走 4 km”,则 a+b 表示__________.

(五)自主反思(时间:5’) 说出本节课所学的主要内容 五、课后作业

6

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 习题课 备课时间 2013 年 5 月 7 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.2 向量的运算 8.2.1 向量的加法 二、学习目标:
掌握向量加法

三、重点和难点
掌握向量加法的三角形法则平行四边形法则,交换律和结合律

四、学习过程
向量加法满足如下运算规律: (1)向量加法的交换律: a + b = b + a (4)向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) (5)向量加法的平行四边形法则

教学随笔

基础检测
1 .一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小最 大是 km/h,最小是 km/h
王新敞
奎屯 新疆

2. 下列命题正确的有 ①单位向量都相等 ②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 ③若 a,b 满足|a|>|b|且 a 与 b 同向,则 a>b ④对于任意向量 a、b,必有|a+b|≤|a|+|b| 3. 以下四个命题中不正确的有 ①若 a 为任意非零向量,则 a∥ ②| a+b|=|a|+|b| 0 ③a=b,则|a|=|b|,反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的
7

编号
4.已知 | AB |? 6, | AC |? 4 ,则 | BC | 的取值范围为 5. 设( AB + CD )+( BC + DA )= a , b ≠ 0 ,则在下列结论中,正确的有 ①a ∥b ; ②a + b = a ; ③a + b = b ; ④ a + b |<| a |+| b | | 6. 化简 AB ? BC ? CD ? DA ? 7. 设 a 表示“向东走 3 km”,b 表示“向北走 4 km”,则 a+b 表示_ 8. 一架飞机向北飞行 200 km 后, 改变航向向东飞行 200 km, 则飞行的路程为 为 ,大小为 . . ,两次位移的和的方向

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

9.已知 | OA | ?| OB | ? 2, ?AOB ? 120?, 求 | OA ? OB | .

???? ?

???? ?

??? ??? ? ?

10.已知在矩形 ABCD 中,宽为 2,长为 2 3 , AB ? a, BC ? b, AC ? c,试作出向量 a+b+c,并求出其模的 大小。

??? ?

??? ?

????

11.如图,一物体受到水平方向和与水平方向成 60? 角的两个力的作用,已知两个力的大小均为 2 N,求它 的合力的大小及方向。 B

O

A

五、课后作业
完成检测练习

8

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 7 日 授课时间 2013 年 6 月 二、课 题:第八章 平面向量 8.2 向量的运算 8.2.1 向量的减法 二、学习目标:
掌握向量减法的定义,并能够用三角形法则计算向量的差

三、重点和难点
向量减法,并能够用三角形法则计算向量的差

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:10’)
1. 相反向量:与 a 长度相同、方向相反的向量 记作 ?a 规定:零向量的相反向量仍是零向量;?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量 a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 2. 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 向量加法满足三角形法 则(首尾相接)和平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)
王新敞
奎屯 新疆

教学随笔

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

3..向量加法的交换律: a + b = b + a 4.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c )

(二)自主学习(时间:5’)
阅读课本 P52,填空: 1. 向量减法的定义:若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的 或者:向量 a 加上的 b ,叫做 a 与 b 的差 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 向量的减法是 2.求作差向量:已知向量 a、b,求作向量如图:
王新敞
奎屯 新疆

,记作 a ? b

王新敞
奎屯

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的逆运算

9

编号
3. 减法的三角形法则 作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a,

OB = b, 则 BA = a ? b
王新敞
奎屯 新疆

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 注意:1? AB 表示 a ? b 强调:差向量“箭头”指向被减数
王新敞
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(三)质疑探究

展示提升(时间:10’)
王新敞
奎屯 新疆

1.已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d

教学随笔

2.平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b ,用 a , b 表示向量 AC 、 DB

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奎屯

新疆

(四)达标测评(时间:15’)
1.下列等式:① a+0=a 个数是 ② b+a=a+b ③ -(-a)=a ④ a+(-a)=0 ⑤ a+(-b)=a-b 正确的

2.化简 OP - QP + PS + SP 的结果等于 3. 已 知 OA =a, OB =b, 若 | OA |=12,| OB |=5, 且 ∠ AOB=90 ° , 则 |a-b|= . .

4.在正六边形 ABCDEF 中, AE =m, AD =n,则 BA =

5.已知 a、b 是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .? 6.在下列各题中,正确的命题个数为( )? (1)若向量 a 与 b 方向相反,且|a|>|b|,则 a+b 与 a 方向相同? (2)若向量 a 与 b 方向相反,且|a|>|b|,则 a-b 与 a+b 方向相同? (3)若向量 a 与 b 方向相同,且|a|<|b|,则 a-b 与 a 方向相反? (4)若向量 a 与 b 方向相同,且|a|<|b|,则 a-b 与 a+b 方向相反? ? A.1 B.2 C.3 D.4 ?

(五)自主反思(时间:5’) 说出本节课所学的主要内容 五、课后作业
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编号

高唐县职业教育中心
主备人陶翠审 核 人 张雯雯 授 课 人___________ 日

课 型 习题课新授 备课时间 2013 年 5 月 7 日 授课时间 2013 年 6 月 三、课 题:第八章 平面向量 8.2 向量的运算 8.2.1 向量的减法 二、学习目标:
掌握向量减法的定义,并能够用三角形法则计算向量的差

三、重点和难点
向量减法,并能够用三角形法则计算向量的差

四、学习过程 (一)基础知识练习
1.说出下列向量的差 (1) AB - AD = (3) OA - OB = 2.化简: (1) AB - AC ? BD ? CD = (2) AB ? MB ? BO? OM = (3) MB ? AC ? BM = 3.若 a , b 是两个不平行的非零向量,并且 a ∥ c , b ∥ c ,则向量 c 等于( A. 0 B. a ) B.( AD + MB )+( BC + CM )
11

教学随笔

(2) BA - BC = (4) DO - AO =



C. b

D. c 不存在

4.下列四式不能化简为 AD 的是( A.( AB + CD )+ BC

编号
C. MB + AD - BM 5. A. 6.下列命题 ① 如果 a 与 b 的方向相同或相反,那么的方向必与 a、b 之一的方向相同。 ② ABC 中,必有 △ ③ 若 B.0 C. D. OC - OA + CD 等于( ) D.

教学随笔
0。 0,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点。 与 一定相等。

④ a、b 均为非零向量,则 若 其中真命题的个数为( ) A.0 7.若 A. B.1 C.2 ,则 B.(3,8) D.3

的取值范围是( ) C. D.(3,13)

8.化简:

9.如图在正六边形 ABCDEF 中,已知: , .

= a,

= b,试用 a、b 表示向量

,

,

五、课后作业
完成本测试
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编号

高唐县职业教育中心
主备人陶翠审 核 人 张雯雯 授 课 人___________ 日

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 7 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.2 向量的运算 8.2.3 数乘向量 二、学习目标:
1.理解数乘向量的定义及其几何意义; 2.掌握数乘向量的运算律; 3.理解向量平行基本定理。

三、重点和难点
掌握并运用数乘向量的运算律

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:10’) 教学随笔
1.已知向量 a ,求作 a ? a ? a ,你能发现它的大小和方向与向量 a 的大小和方向 有着怎样的关系吗? 2.已知向量 a , (- a ? - a ? - a , 求作 ) ( ) ( ) 你能发现它的大小和方向与向量 a 的大 小和方向有着怎样的关系吗?

(二)自主学习(时间:5’)
阅读课本 P54, 分析 3 个 a 连加,记作 3 a ,3 个( - a )连加,记作-3 a ,由图可得,3 个 a 连 加仍是一个_____,它的长度等于______,方向与 a 的方向______;3 个( - a ) 连加仍是一个_____,它的长度等于______,方向与 a 的方向______。

13

编号 (三)质疑探究 展示提升(时间:10’)

1.由以上分析,我们可以给出如下定义: 1) 数乘向量的定义: 实数λ 和向量 a 的乘积是一个_____, 这种运算叫做数乘向量, 记作

教学 随笔

____.

向量 λ a ( a≠0,λ ≠0)的长度与方向规定为: (1) | λ a |=_____; (2) 当λ >0 时,λ a 与 a 的方向_____;当λ < 0 时,λ a 与 a 的方向_____. 当 λ =0 时,0a=0;当 a=0 时,λ 0=0. 2)数乘向量的几何意义 把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向,长度_____.如 2a 的几何意义就是沿着向 量 a 的方向,长度_____到原来的_____倍。 3)数乘向量运算的运算律 设 λ ,μ R,有: (1) (λ +μ )a=___________; (2) λ (μ a)=___________; (3) λ (a+b)=___________. 请观察,数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处?

(四)达标测评(时间:15’)
1 1. (1)(-2)? a; 2 (2)2(a+b)-3(a-b); (3)(?+?)(a-b)-(?-?)(a+b) 2.化简: (1)2(a-b)+3(a+b); 1 1 (2) (a+b)+ (a-b). 2 2 3.设x是未知向量,解方程 5 (x+a)+3 (x-b)=0.

(五)自主反思(时间:5’) 说出本节课所学的主要内容 五、课后作业
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编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型习题 备课时间 2013 年 5 月 7 日 授课时间 2013 年 6 月 日 一、课 题:第八章 平面向量 8.2 向量的运算 8.2.3 数乘向量 二、学习目标:
1.理解数乘向量的定义及其几何意义; 2.掌握数乘向量的运算律; 3.理解向量平行基本定理。

教学随笔

三、重点和难点
掌握并运用数乘向量的运算律

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:10’)
1)复习: 1.数乘向量的定义 2.数乘向量的几何定 3.数乘向量运算的运算律 2)平行向量基本定理 如果 a=λb, a//b; 则 反之如果 a//b, b≠0, 且 则一定存在一个实数 λ, a=λb. 使 则: a//b 的充要条件是存在唯一实数 λ,使得 a=λb。 例如, 如果 a=2b, a____b; 则 如果 c=-2b, c____b; 则 如果 d//b, d 的 且 1 长度是 b 的____,并且方向____,则 d=- b. 2 3)非零向量 a 的单位向量

15

编号
与 a 同方向且长度为 1 的向量,称为非零向量 a 的单位向量.易知,a 的单位向量为 a . |a|

(二)自主学习(时间:15’)
讨论例 8.

教学随笔

(三)质疑探究

展示提升(时间:15’)

1.师生共同完成例 8.

→ 1→ → 2.已知点 D 是线段 BC 的中点, 求证: AD= ( AB + AC ). . 2

(四)达标测试(时间:5’) 练习 8-4 (五)自主反思(时间:5’)
进行知识总结和记忆

五、课后作业
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编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.3 向量的直角坐标运算 8.3.1 向量的直角坐标及其运算 二、学习目标:
理解平面向量的坐标表示,掌握平面向量的坐标运算

教学随笔

三、重点和难点
平面向量的坐标运算,理解平面向量的坐标表示

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:10’)
思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示, 对平面直角坐标系内的任意一个向量,它的始点和终点也可以用坐标表示,那么,这个向 量是否能用坐标表示呢?

(二)自主学习(时间:15’)
阅读课本 P58,结合 P59 图 8-26,取与 x 轴和 y 轴的正方向相同的两个单位向量 e1, e2 作为基向量,则 AB ? ___________=___________ 平面向量基本定理:在平面直角坐标系中,任作一个向量 a,有且只有一对实数 a1,a2, 使得 a=a1e1+a2e2,我们把_______叫做向量 a 的坐标,记作 a=_______, ①

??? ?

其中 a1 叫做 a 在______的坐标,a2 叫做 a 在______的坐标.e1,e2 叫做直角坐标平

17

编号
面上的基向量. ①式叫做向量的坐标表示.即平面向量的直角坐标的定义

(三)质疑探究
y e2 O e1

展示提升(时间:15’) 教学随笔

1.如图,e1,e2 是直角坐标平面上的基向量,你能写出 0,e1,e2 的坐标吗?

x

→ 2. 在平面直角坐标系 xOy 中作向量 a=(1,2),作有向线段 OA,使得点 A(1, → 2),并说明向量 a 与有向线段 OA表示的向量的关系.

(四)达标测试(时间:5’)
如图,用基向量 e1,e2 分别表示向量 a,b,c,d,并求出它们的坐标. y 3 2 b 1 e2 -3 -2 -1 O -1 c -2 -3 d e1 1 2 3 a

x

(五)自主反思(时间:5’)
进行知识总结和记忆

五、课后作业

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编号

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2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.3.1 向量的直角坐标及其运算 二、学习目标:
平面向量的坐标运算,理解平面向量的坐标表示

教学随笔

三、重点和难点
理解平面向量的坐标表示,掌握平面向量的坐标运算

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
平面向量的直角坐标的定义

(二)自主学习(时间:20’)
平面向量的坐标运算: (1) 如果 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a+b=___________

=___________
a-b=___________ =___________; λa=___________=___________, 其中 λ 是实数. 证明 a+b=___________ =___________
19

编号
=___________ =___________ =___________. 请同学仿照上面的证明,自己证明其他两个结论. 上述向量的坐标运算公式,也可用语言分别表述为: 1 两个向量和与差的坐标分别等于____________________; 2)数乘向量积的坐标等于___________________. (2) 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,知 A (x1,y1),点 B (x2,y2), → 则 AB =________=________=________. 此结论可用语言表述为: 一个向量的坐标等于表示此向量的_______的____坐标减去____的____应坐标.

教学随笔

(三)质疑探究

展示提升(时间:5’)

→ 相等的两个向量的坐标有什么关系?A (3,5), B (6,8),C (-5,3), D (-2,6), AB 等于 吗?

(四)达标测试(时间:10’)
1.已知 a,b 的坐标,求 a+b,a-b: (1) a=(4,3),b=(-4,8); (2) a=(3,0),b=(0,4). → → 2.已知 A,B 两点的坐标,求 AB , BA 的坐标: (1) A(-3,4),B(6,3);

(2) A(-3,6),B(-8,-7).

(五)自主反思(时间:5’)

五、课后作业

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编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.3.2 平面向量平行的坐标表示 二、学习目标:
掌握两向量平行的充要条件,并会判别三点共线及向量平行。

教学随笔

三、重点和难点
判别三点共线及向量平行

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
(1)平行向量基本定理:如果向量 b≠0,则 a//b 的充分必要条件是,存在唯一实数 λ,使 a=λb; (2)数乘向量:已知 b=(b1,b2),则 λb=(λb1,λb2) . 问题:在直角坐标系中,向量可以用坐标表示,那么,能否用向量的坐标表示两个向 量的平行呢?

(二)自主学习(时间:10’)
设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果 b ≠ 0,则条件 a=λb 可用坐标表示为

__________,


? a1 ? ?b1 ? ?a2 ? ?b2
消去 λ,得__________ 一般地,对于任意向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),都有 a//b ? __________.

21

编号
特别地,如果 b 不平行于坐标轴,即 b1,b2 ≠ 0,则 a//b ______

a1 a2 ? b1 b2

(三)质疑探究

展示提升(时间:5’) 教学随笔

1.两个非零向量平行,它们的方向可能_____,也可能_____ 2.零向量与任何向量_____.

(四)达标测试(时间:10’)
1. 判断下列两个向量是否平行: (1) a=(-1,3),b=(5,-15);

(2) e=(2,0),f=(0,3).

→ 2.已知点 A(-2,-1),B(0,4),向量 a=(1,y),并且 AB ∥a,求 a 的纵坐标 y.

3. 已知点 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求证:A,B,C 三点共线.

(五)自主反思(时间:5’)

五、课后作业

22

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.3.3 向量长度公式和中点公式 二、学习目标:
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式;

教学随笔

三、重点和难点
两点间的距离公式与中点坐标公式

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
平面直角坐标系中,设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ,则 PP ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) .我们 1 2 1 2 将向量 PP 的模,叫做点 P1 、 P2 之间的距离,记作 P P ,则: 1 2 1 2
2 2 ( P P2 (x2 ? x1 ) ? y2 ? y1) 1

???? ?

???? ?

(二)自主学习(时间:10’)
阅读课本 P65,完成下列问题: 1.已知 a=(a1,a2),则 a ? __________; 2.设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ,则 PP ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ,则: 1 2 1 2

???? ?

P P2 =____________________ 1
3.记 ?x ? x2 ? x1, ?y ? y2 ? y1 ,则 P P =____________________。 1 2

(三)质疑探究

展示提升(时间:5’)
23

编号
已知,a=(4,-3),b=(-6,8),求 a ? b , ? b , - b, 并比较它们的大小。 a a

(四)达标测试(时间:10’)
1 .求 A(?3,1)、B(2,?5)两点间的距离.

2.在平面直角坐标系内,描出下列各点: A(1,1) 、 B(3, 4) 、 C (5,7) .并计算每两点之间的距离.

(五)自主反思(时间:5’)

六、课后作业

24

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.3.3 向量长度公式和中点公式 二、学习目标:
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式;

教学随笔

三、重点和难点
两点间的距离公式与中点坐标公式

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
第 2 题的计算结果显示,

| AB |?| BC |?

1 | AC | . 2

这说明点 B 是线段 AB 的中点,而它们三个点的坐标之间恰好存在关系

3?

1? 5 1? 7 4? 2 2

(二)自主学习(时间:10’)
设 线 段 的 两 个 端 点 分 别 为 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) , 线 段 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) , 则

???? ? ???? AM ? ( x ? x, y ? y), MB ? ( x ? x , y ? y ), 由 于 M 为 线 段 AB 的 中 点 , 则 0 1 0 1 2 0 2 0
???? ???? ? ? x0 ? x1 ? x2 ? x0 , AM ? MB, 即 ( x0 ? x1, y0 ? y1 ) ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ),即 ? ? y0 ? y1 ? y2 ? y0 ,
x0 ? x1 ? x 2 y ?y 2 1 , y0 ? . 2 2
解 得

一般地,设 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点,则线段 P1 P2 中点 P ( x0 , y0 ) 的 1 2 0 坐标为
25

编号
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2

(三)质疑探究

展示提升(时间:5’)

1. 已知点 S(0,2) 、点 T(?6,?1) ,现将线段 ST 四等分,试求出各分点的坐标.

2.

已知 ?ABC 的三个顶点为 A(1, 0) 、 B (?2,1) 、 C (0,3) ,试求 BC 边上的中线 AD 的长度.

(四)达标测试(时间:10’)
1.已知点 A(2,3) 和点 B (8, ?3) ,求线段 AB 中点的坐标.

2.已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2, 2) 、 B ( ?4, 6) 、 C (?3, ?2) ,求 AB 边上的中线 CD 的长度.

3.已知点 Q(4, n) 是点 P(m, 2) 和点 R(3,8) 连线的中点,求 m 与 n 的值.

(五)自主反思(时间:5’)

七、课后作业

26

编号

高唐县职业教育中心
2011 级 数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.4.1 向量的内积 二、学习目标:
1. 掌握平面向量内积的定义性质及其运算 2.平面向量垂直的充要条件

教学随笔

三、重点和难点
平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
1.复习特殊角的三角函数值 2.力做的功:W = W = |F||s|cos? F
?

s

?是 F 与 s 的夹角) (三)自主学习(时间:10’)
阅读课本 P65,完成下列问题: 2.已知 a=(a1,a2),则 a ? __________; 2.设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ,则 PP ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ,则: 1 2 1 2

???? ?

P P2 =____________________ 1
3.记 ?x ? x2 ? x1, ?y ? y2 ? y1 ,则 P P =____________________。 1 2

(三)质疑探究

展示提升(时间:5’)
27

编号
已知,a=(4,-3),b=(-6,8),求 a ? b , ? b , - b, 并比较它们的大小。 a a

(四)达标测试(时间:10’)
1 .求 A(?3,1)、B(2,?5)两点间的距离.

3.在平面直角坐标系内,描出下列各点: A(1,1) 、 B(3, 4) 、 C (5,7) .并计算每两点之间的距离.

(五)自主反思(时间:5’)

八、课后作业

28

编号

2011 级

数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.4.1 向量的内积 二、学习目标:
1. 掌握平面向量内积的定义性质及其运算 2.平面向量垂直的充要条件

教学随笔

三、重点和难点
平面向量内积的公式,平面向量垂直的充要条件

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
1.复习特殊角的三角函数值 2.力做的功:W = W = |F||s|cos? F
?

s

?是 F 与 s 的夹角) (四)自主学习(时间:10’)
阅读课本 P68,完成下列问题: ??? ? ??? ? 设有两个非零向量 a, b,作 OA =a, OB =b,由 射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的 夹角,记作________. 规定,______<a,b>______ 由向量 a 与向量 b 的夹角定义 可知<a,b>=______, 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积, 记作 a· 即 b, a·b=|a||b|cos<a,b>
29 O 图 7-23 A

a b
B

编号 (三)质疑探究
由内积的定义可知 a·0=_____, 0·a=_____ (1) 当<a,b>=0 时,a·b=_____;当<a,b>= 180 时,a·b=_____|. (2) cos<a,b>=_____. (3) 当 b=a 时,有<a,a>=_____,所以 a·a=|a||a|=_____,即|a|=_____.
?

展示提升(时间:5’)

教学随笔

(4) 当 ? a, b ?? 90? 时,a____b,因此,a·b= a ? b cos90? ? 0, 因此对非零向量 a,
b,有 a·b=0 ? a_____b.

a ?b (5)cos? = | a || b |
可以验证,向量的内积满足下面的运算律: (1) a·b=b·a. (2) ( ? a )·b= ? (a·b)=a·( ? b). (3) (a+b)·c=a·c+b·c. 注意:向量的内积不满足结合律,即 a·(b·c)≠(a·b) ·c.

(四)达标测试(时间:10’)
1 .已知|a|=3,|b|=2, <a,b>= 60 ? ,求 a·b.

2. 已知|a|=|b|= 2 ,a·b= ? 2 ,求<a,b>.

(五)自主反思(时间:5’)

五.课后作业
30

编号

2011 级

数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.4.1 向量的内积 二、学习目标:
1. 掌握平面向量内积的定义性质及其运算 2.平面向量垂直的充要条件

教学随笔

三、重点和难点
平面向量内积的公式,平面向量垂直的充要条件

四、基础达标
1. 已知|a|=7,|b|=4,a 和 b 的夹角为 60 ? ,求 a·b.

2. 已知 a·a=9,求|a|.

3. 已知|a|=2,|b|=3, <a,b>= 30 ? ,求(2a+b)·b.

4.水平地面上有一辆车,某人用 100 N 的力,朝着与水平线成 30 ? 角的方向拉小车,使 小车前进 那么,这个人做了多少功?

5. 若 a=(5,-5) ,b=(0,3) ,且 a 与 b 的夹角为θ ,则 sinθ =__________
31

编号
6.已知 A(1,5)、B(x,2)两点间距离是 5,则 x=_________

7.向量 a=(x,1)与 b=(4,x)共线,则 x=______________

8. 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a=(?2, 3), b=(6, 4);

(2) a=(0, ?1),

b=(1, ?2).

9. 已知 a=(2, ?3),b=(3, ?4),c=(?1,3),求 a·(b+c).

10.已知|a|=2,|b|=5,a 与 b 的夹角为

? ,则|2a-b|2 等于( 6

教学随笔




自主反思(时间:5’)

32

编号

2011 级

数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 新授 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量 8.4.2 向量内积的直角坐标运算 二、学习目标:
1. 掌握向量内积的直角坐标运算 2.会用向量的内积解决有关长度,夹角和垂直问题

教学随笔

三、重点和难点
掌握向量内积的直角坐标运算,熟练掌握向量内积的运算律

四、学习过程 (一)知识链接(课堂导入)(时间:3’)
1.在平面直角坐标系中, e1 ,e2 是基向量,他们的坐标如何表示?任意向量 a 的 坐标如何表示? a ? b, ? a 的坐标如何表示? 2. a · b =

cos a, b

=

3. 有哪些重要性质?

a ·e = a?b ?
| a |= ∣ a · b ∣≤

=


(五)自主学习(时间:10’)
33

编号
已知 e1 , e2 是直角坐标平面上的基向量,如果 a =(a1,a2),

b =(b1,b2), a · b =(a1 e1 +a2 e2 )·(b1 e1 +b2 e2 )
=a1b1 e1 · e1 +a1b2 e1 · e2 +a2b1 e1 · e2 +a2b2 e2 · e2 , 又因为

e1 · e1 =1, e2 · e2 =1, e1 · e2 =0,
所以

a · b =a1b1+a2b2.
定理 在直角坐标平面 xoy 中,如果 a =(a1,a2), b =(b1,b2)则

a ·b =
即:两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.



(三)质疑探究

展示提升(时间:5’)

教学随笔

由直角坐标平面向量内积定理可以推出两向量垂直的充要条件为

a ⊥b ?
两非零向量夹角余弦值公式:cos? a , b ?=

; .

(四)达标测试(时间:10’)
1.设 a =(3,-1), b =(1,-2),求: (1) a · b ; (2) | a |;

(3) | b |;

(4)? a , b ?.

2.已知 a =(0,2), b =(-2,2 3 ),求: (1) a · b ; (2) | a |;

34

编号
(3) |

b |;

(4)? a , b ?.

→ 3.已知 A(2,-4),B(-2,3),求| AB |

4.已知 A(2,1),B(6,3),C(5,0),求:△ABC 三边的长,并判别△ABC 是否为等腰三角形.

→ → 5.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证: AB ? AC .

(六)自主反思(时间:5’)

五.课后作业

35

编号

2011 级

数学 导学案
授 课 人___________ 日

主备人陶翠审 核 人 张雯雯

课 型 复习 备课时间 2013 年 5 月 15 日 授课时间 2013 年 6 月 一、课 题:第八章 平面向量

二、学习目标:
熟练掌握本章重要定理,公式,常用表示方法

教学随笔

三、重点和难点
1 平面向量的坐标表示
王新敞
奎屯 新疆

分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

向量基本定理知,__________一对实数 x 、 y ,使得__________ 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作__________ 其中 x 叫做 a 在 __________ 的坐标, y 叫做 a 在 __________ 的坐标, 特别地,

?

?

?

? ? ? i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0)
2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,

王新敞
奎屯

新疆

?
?

?

则 a ? b =__________, a ? b =__________, ?a ? (?x, ?y) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则向量 AB=__________

?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

3. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是__________

?

?

?

4 平面两向量数量积的坐标表示 已 知 两 个 非 零 向 量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 试 用 a 和 b 的 坐 标 表 示

?

?

?

?

? ? a ? b =__________
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
王新敞
奎屯 新疆

36

编号
5.平面内两点间的距离公式 (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

?

?

?

x2 ? y2

王新敞
奎屯

新疆

(2)如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) , 那 么

?

? | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
6.向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? __________

?

?

?

?

7.两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos<a,b>= cos?=__________=__________

37

编号

向量的直角坐标运算练习题
一、选择题: 1.给出下列 3 个向量等式:①AB+CA+BC=0;②AB-AC-BC=0;③AC-BC-AB=0。 其中正确的等式的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.某人先位移向量 a: “向示走 3 千米” ,接着再位移向量 b: “向北走 3 千米” ,则 a+b 为 ( ) A.向东南走 3 2 千米 C.向东南走 3 2 千米 B.向东北走 3 2 千米 D.向东北走 3 3 千米

1 1 3.简化 [ (2a ? 8b) ? (4a ? 2b)] =( ) 3 2 A. 2a ? b B. 2b ? a C. D. a ? b 3 4.点 R 在 PQ 上,且 PR= PQ,则 PR=( )QR 5 2 3 2 3 A. B. C. ? D. ? 3 2 3 2 / / 5.把点 A(-2,1)平移向量 a=(3,2)到对应点 A ,则点 A 的坐标为( ) A. (-2,2) B. (2,-2) C. (1,3) D. (3,4) x / / 6.把函数 y=2 的图像 F,按 a(-2,1)平移到 F ,则 F 的函数解析式为( ) A.y=2x-2+1 B.y=2x+2+1 C.y=2x+2-1 D.y=2x-2-1 ? 7.函数 y=sin2x 的图像可以用 y=sin(2x ? )的图像经过平移变换得到,则这个平移变换是 3 ( ) ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 6 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 8.已知 A(-3,3) ,B(5,2)则|AB|等于( )

A. 2 17

B. 2 2

C.0

D.8 ) D.不存在 ) D.41+10 3

9.已知点 P(cosα ,sinα ),O(cosβ ,sinβ )则|PO|最大值是( A. 2 B.2 C.4

10.已知|a|=2,|b|=5,a 与 b 的夹角为 A.41-20 3

? ,则|2a-b|2 等于( 6
C.41-10 3

B.41+20 3

? ,则 x 等于( ) 4 A.1 B.-1 C.-4 D.4 12.若点 A、B、C 三点共线,且 A(3,-6) ,B(-5,2) ,若点 C 的横坐标为 6,则 C 的纵坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 D.13
11。已知 m=(3,-3) ,n=(x,-2) ,且<m,n>=
38

编号
二、填空题: 1.若 a=“向东走 8 千米” ,b=“向北走 8 千米” ,则|a+b|=____________________,a+b 的方向是___________________________。 2.当非零向量 a、b 满足_________________________时,使得 a+b 平分 a、b 间的夹角。 3.一架飞机向北飞行 300 千米,后改变航向向西飞行 400 千米,则飞行的路程为 ___________________,两次位移的和方向向为__________,大小为_________. 4.若将向量 a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转 450 得到向量 b,则向量 b 坐标为 ______________________________。 5.若 a=(5,-5) ,b=(0,3) ,且 a 与 b 的夹角为θ ,则 sinθ =____________。 6.已知 a=(1,2) ,b=(3,2) ,c=(-1,-3) ,则(a+c)(b-c)=______。 · 7.已知 A(1,5) 、B(x,2)两点间距离是 5,则 x=___________。 8.向量 a=(x,1)与 b=(4,x)共线,则 x=_______________。 9.已知 a=(2,0) ,b=(-1,3) ,则|a-2b|=________________。 10.若 A(1,0)B(0,1)C(2,1)D(1,y) ,且 AB∥CD,则 y=______。 11.设 a=(4,3) ,b=(y,6) ,c=(-1,k) ,若 a+b=c,则 y=___________。 12 . 将 点 M 按 向 量 m= ( 2 , - 1 ) 平 移 到 M/ ( - 1 , 2 ) 则 点 M 的 坐 标 为 , , _________________________。 三、解答题: 1.向量 AC=a,BD=b 为平行四边形 ABCD 的对角线,试用向量 a、b 来表示向量 AB、 BC、CD、DA。

2.一架飞机向北飞行 300 千米,然后改变方向向西飞行 300 千米,试求飞机的两次位移 的和。

39

编号
3.如图 OA=a,OB=b,OC=c,OE=e,OD=d,OF=f,分别写出以下向量: (1)AC; (2) AD; (3)AD-AB; (4)AB+CF; (5)BF-BD; (6)DF+FE+ED。

4.如图平行六面体 OA=a,OB=b,OC=c,试用 a、b、c 将向量 CB,OE,CD 分别表出。

40


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