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对全国中学生物理竞赛复赛一试题参考解答的质疑与分析第一期


Vl 0 j . 3 1   No . 5  

( 2 0 1 0 )  







师 

PH Y SI CS  TE A CH ER 

第3 I卷 第 5期  2 0 1 0年 

对全 国中学生物理竞

赛 复赛一试题参考解答的质疑 与分析 
李卫平 
( 西华师范大学物理与电子信息学院 , 四川 南充
1 原 题 及原 参 考解 答  为 了方 便 读 者 , 将第 2 6届 全 


6 3 7 0 0 2 )  

l, v  

赛第

大 题 的第 5小题 的原 题 及 评 分  参考解 答转录于 下.   题 目: 如图1 , 给 静 止 在 水 平 

/ I / 一一 l   l / / l l l l f 7   T 一 / / ] I / 一1 i / T     I /   / I l  — l / / / l  ̄ 一  

o  

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" fl ///[[ [[[17" l /lllll 

粗糙地面上的木块一初速 度, 使 
之开 始 运 动 .一 学 生 利 用 角 动  量 定 理 来 考 察 此 木 块 以后 的 运 
图 1  
图 2   图 3  

G 

为 了说 明 问题 , 也不 妨 设 想 将 木 块 压 薄 , 使 其 成 为 一 平  放 在 地 面 的 高度 极 小 而 长 、 宽( 垂直于纸面) 不变 , 质 量 不 变  的薄 木 板 ( 如 图 3所 示 ) .此 时 , 木 块 相 对 地 面 上 的参 考 点 
。 的角 动 量 始 终 为 零 — — 这 当 然 也 守 恒 ( 不 难证 明, 此 时 

动过程 : “ 把 参 考 点 设 于 如 图所 示 的地 面 上 一 点 o , 此 时 摩 
擦力 厂的力 矩 为 0 , 从 而地 面木 块 的角 动 量 将 守 恒 , 这 样 木  块将 不 减 速 而 做 匀 速 运 动 . ” 请指 出上述推理 的错误 , 并 给 
出正 确 的 解 释 .  

支 持 力 和 重 力 的 作 用线 将重 合 , 两 力对 参 考 点 。 的合 力 矩 
等于零) . 在 这 种情 况下 , 学 生 如果 根 据 木 块 的角 动 量 守 恒 ,  

参 考 解答 :  

该 学 生未 考 虑 竖 直 方 向 木块 所 受 的支 持 力 和 重 力 的 力  矩. 仅 根 据 摩 擦力 的力 矩 为 零 便 推 出 木 块 的 角 动量 应 守 恒 ,  

推 出木 块 将 不 减速 而 做 匀 速 运 动 , 我 们 又 将 如 何 去 分 析 论 
证 学 生 的错 误 呢 ?  

这样 推理本身就不正确. 事实上 , 此时支持力的作用线 在重 
力 作 用 线 的右 侧 , 支持力与重力的合力矩不 为 0 , 木 块 的角  动量 不 守 恒 , 与 木 块 做 减 速 运 动不 矛 盾 .  

参 考 解 答 的 问题 其 实 出在 将 角 动 量 的 守恒 与否 与 速 度  变 化 与 否 视 为 一 种 单 一 的 必 然关 系 . 一般而言 , 物 体 相 对 参  考 点 的角 动 量 大 小 取 决 于 相 对参 考 点 物 体 质 量 的分 布 情 况  和速度( 大小及方 向) 的 分 布情 况 等 两 方 面 的 因素 . 因此 , 相  对选 定 的 参 考 点 , 物 体 角 动 量 变 化 时 物 体 的 速 度 不 一 定 变  化, 物 体 的角 动 量 不 变 时 物 体 的 速 度 也不 一 定 就不 变 化 , 而  且 即使 速 度 变 化 也 不 一 定 就 是 速 度 的 大 小 变 化 ; 而 相 对 同 


2 对原参考解答的分析 
显然 , 参 考 解 答 是将 减 速 运 动 过 程 中 的木 块 始 终 视 为  大 小 不 可忽 略 的刚 体 的 . 在此前 提下 , 参 考解答 首先认 为,   作用 于木 块 的重 力 和 支 持力 对 参 考 点 0 的 力 矩 不 为 零 , 因  而木 块 对 参 考 点 。 的 角 动 量 不 守 恒 ; 进而认 为 , 在 木 块 的  角动 量 不 守 恒 时 , 这 与 木 块 速 度 大 小 变 化 的 客 观 事 实 不 矛 
盾. 学 生 之 所 以 推 出 木 块 不 减 速 而 做 匀 速 运 动 的 错 误 结 

参 照 系 中 的不 同 参 考 点 , 物 体 的 角 动 量 一 般 可 能是 不 同 

的, 但 物 体 的 速度 却 绝 不 因 同 一参 照 系 中 的 参 考 点 的 不 同   而发 生 变 化 . 所 以说 , 将 角动 量 守 恒 与 否 和 速 度 大 小 的 变 化  与 否 视 为 构 成 矛盾 冲 突 的 两 个方 面 的观 点 是 欠 妥 的 .   还 须 指 出 的是 , 参 考 解 答 仅 仅 将 运 动 中 的木 块 视 为大  小 不 能 忽 略 的 刚体 也 是 欠 妥 的 . 原 题 并 未 用 文 字 明确 说 明  运动 初始 时木 块 的大 小 相 对 其 距 所 选 定 的参 考 点 0 的距  离是 不 可 忽 略 的 , 所 以 在考 察 木 块 以后 的直 线 平 动 时 , 学 生  忽 略 其 大 小 视 其 为 质 点 也 是 可 能并 且 是 允 许 的 .而 当 木 块 
被 合 理 地 视 为 一 定条 件 下 的 质 点 时 , 支持力、 重 力 将 在 一条   竖直线上 , 作 用 于 木 块 上 的各 外 力 的 合力 矩 为零 , 木 块 的 角  动量守恒 , 且 由 于 作 为 质 点 的 木 块 的 速 度 矢 量 过 参 考 点 

论, 是 因为 未 注 意 到 作用 于木 块 的对 参 考 点 。 的 合力 矩 不 
为零 .  

从 参考 解 答 的文 字 表 述 来 看 , 其 分 析 论 证 中 包 含 着 这 
样 的观 点 : 即认 为 角 动 量 守 恒 与 否 和 速 度 大 小 变 化 与 否 是 

可 以构 成 矛 盾 冲 突 的 两个 事 实— — 在 物 体 角 动 量 不 守 恒 而 
速 度 大 小 变 化 时二 者 不 构 成 矛 盾 ; 在 物 体 角 动 量 守 恒 而 速  度 大 小 变 化 时 或 者角 动 量 不 守 恒 而 速 度 大 小 不变 时二 者 便  构 成 矛 盾 .笔 者 认 为 这 样 的 观点 是 欠 妥 的 .   为 了说 明 问题 , 不 妨 设 想 将 相 对 地 面 静 止 的参 考 点 。  

由地 面 向上 平 移 至 与 木 块 质 心 C 的 等 高 处 ( 如 图 2所 示 ) .  
此 时, 木 块 对参 考 点 0 的角 动 量 便 由原 来 的 不 为 零 变 成 现 

o, 其角动量将始终为零. 而木块事 实上却做 减速运动 . 这  时显 然 就 无 法用 木 块 角 动 量 守 恒 与 否 和 木 块 速 度 大小 变 化  与否 能 不 能 构 成 矛 盾 来 分 析 论 证 学 生 的推 理 错 误 了 . 实 际  上, 作 为 质 点 的 木 块 相 对 地 面 上 的参 考 点 。 的角 动 量 为 L   =r ×P, 由 于 r与 P 的 夹 角 口 三 三 三 0 , 所 以 木 块 的 角 动 量 的 大  小 L =r r n v s i n a  ̄O , 而无论  实际变化 与 否. 由 此 也 不 可  能 断定 速 度 的 大小  必 然 是 不 变 的 .前 述 两 种设 想 中 的角  动 量 与 速度 大小 的关 系其 实 也 属 这 种 情 况 . 一般说来 , 当做  

在 的始 终 为 零 , 摩擦力、 重力 、 支持 力 对 0 的 合 力 矩 相 应 地  由原 来 的不 为零 变成 现 在 的为 零 , 而 木 块 却 仍 做 减 速 直 线 
运 动 — — 其 运 动性 质 绝 不 会 因 参 考 点 0 的 位 置 改 变 而 改 

变. 按照参考解答 的观 点 , 此 时木块 角动量 守恒 的事实 与 
其 做减 速 运 动 的 事 实 便 构 成 了矛 盾 .在 这 种 情 况 下 , 该 学 

生 如果 根 据 木 块 的 角 动 量 守 恒 , 推 出 木 块 将 不 减 速 而 做 匀  速运动 , 我们 将 如何 去 论 证 学 生 的 推 理 错误 呢 ?  


直线平 动的物体 的质心速度过研究转动的参( 下转封三)  

5 8 一 

3 水 流 时 间 的 计 算  假 设 上 面 的水 面 与 大 气 连 通 且 没 有 粘 滞 性 , 仅 靠 自身  重 力 自 由流 出 . 水经 阀 门 流 出 时 , 水 面 的 坐标 是 流 水 时 间 的  函数 . 设 阀 门是 截 面 积 为  的圆孔 , 某 时 刻 圆孔 处 水 的 流 

_ 0  =  
4 结 束 语 

詈 为 水 流 尽 所 用 的 时 间 .  
,  
一   q 

从式( 1 ) 看 出, 系统重心坐标 的最小值与 圆球形薄壳容 
器 的质 量 跟 水 的 总 质 量 的 比 值 有 关 , 对 于 不 同 的 — 
鄂 —  

速为 V B , 水面的高度为  , 经d £时间后 水面 下降 d  , 圆孔 
流 出水 的 体 积 微 分 d V B= S B v B d t . 在 水 面处 , 同 一 时 间 内  流水体积的微分是 d V = 一丌 r   d y ( 水 流 出 时 体 积 增 量 为 负 
值) , 根 据 流 体连 续 性 原 理 , S B v B d t =一   . 结 合 伯 努 利 

系统 重 心 坐 标 的 最 小 值 不 同 , 从 打开阀门开始 , 到 水 流 到 系 
统 重 心最 低 时 所 用 的 时 间 也 不 同 .  

方 程 求 出  =  

, 再利用 r =Rs i n 0 , c o s 0 =  

得 

在 求 系统 重 心 坐标 最 小值 时, 按 照 传 统 的 办 法 是 将  系 统对 c o s O求 导 数 , 找 出驻 点 , 再 求极 值 . 本 题 这 样 做 势  必 产 生 高 次方 程 , 高 次 方 程 非 常难 解 . 与 其 解 复 杂 的 高 次 方  程, 还 不 如 借 助 计 算 机 用 逼近 法 【 拄 J 来寻找答案 .  
[ 注] 关于数学上用逼近法求极值 的进 一步解释 : 因 ms O ∈[ 一  
1 , +1 ] , 故取 c o s O=一1 , 一0 . 8 , 一0 . 6 , 一0 . 4 , 一0 . 2 , 0 , 0 . 2 , 0 . 4。  
0 . 6, 0 . 8, 1 分别代人式 ( 1 ) 计算  , 用 手 持 计 算 机 可 以 很 方 便 的  计 算 出 结果 . 再从 此 系 统 最 小 的那 个 值 对 应 的 c o s O两 侧 分 别 取 一 个 

d  : 一

也 : 一 — 互 盈 : 一 — n R 2 [ 1 - (  ̄ -


) 2 ] d y  

B  
=  

sB   2 g y  

S B   0   2 g y  

(  薹一2 R y -  ̄ ) d y.  



D B   V   g 

两 边 积 分 得 

( 号   专 一 警   c ?  

值代人式 ( 1 ) 计算  系 统, 比较 其大小 . 循 环进行 , 很 快就 找到最小 
的 此  ‰, 如 用 电脑 编 程 计 算 就 更 快 捷 . 逼 近 法 求 极 值 适 用 于 已知 

根 据  
在 取 

函数 在 某 个 区 间 内有 一 个 确 定 的极 值 的情 形 .   = 2 R , 确 定 c =   詈 . 所 以   参 考文 献 :   ( 号   { 一 警   吾 ) +   詈 . ( 2 )   孙翔峰 . 《 创新方案) 高考 总复 习 ? 物理. 北京 : 人 民 日报出版社 ,  
2 0 0 6. 3  

0 ? l的情 况 下 , 系 统 重 心最 低 时 ≈  

2  
3  

吉永 录. 小 孔 泄 流 时间 问题 . 物理教学 , 1 9 8 4 ( 3 ) : 4 2 —4 3   肖士 旬 . 理 论 力 学 简 明教 程 . 北京 : 人民教育 出版社 , 1 9 8 0 . 9 1—  
9 2  

g P   3  

0 . 5 8 1   O R, 由式 ( 2 ) 得水流时间为 

≈  
1 6 z r R 
? 

[ 号 ( 0 . 5 S l 0 R ) { 一  ̄ f ( 0 . 5 8 1 0 R )  

樊 映川 . 高 等数学讲 义下册 . 北京: 人 民教育出版 社。 1 9 8 0 . 1 3 8   4  


1 4 0  

( 收稿 日期 : 2 0 1 0—0 1 —0 7 )  
角动量将守恒 . 由于 木 块 的角 动 量 方 向不 变 , 所 以其 大 小 L  

( 上接 第 5 8页 ) 考点时 , 其角 动量便 恒为零 , 这 是 角 动 量 守 
恒 的特 殊 情 况 . 这 时 是 根 本 不 可 能 据 此 判 断 物 体 速 度 大 小 

=r c mv s i n O =h c mv必 然 不 变 , 由于角 动量 大 小表 达式 中  
的“ h c m” 不为零且 是不变 的, 所 以 木 块 的 速 度 大 小  将 不  变. 这一 推 理 过 程 表 明 , 并 非 简 单 地 仅 仅 根 据 角 动 量 守 恒 便  可 以必 然 地 推 断 出 木块 的速 度 大 小 不 变 的 结 果 .  

是否变化 的. 而 当直 线 运 动 物 体 的 质 心 速 度 不 过 研 究 转 动  的参 考 点 时 , 方 可根 据 其 角 动 量 守 恒 与 否 和 其 他 条 件 相 结   合 来 判 断 物 体 的速 度 大 小 变 化 与 否 .  
事实上 , 对题 中 木块 的 运 动 ,   若 将 木 块 视 为 大 小 不 可 忽 略 的 刚 

3 新的参考解答 : 学 生 的 两 种 可 能 的 错 误  根 据 以上 分 析 可 知 原 题 中的 学 生 所 犯 的错 误 应 分 两 种  情况看待 .   图4   ( 1 ) 如 果 该 学 生 将 木 块 视 为 一 定 条 件 下 大 小 不 可 忽 略  的刚体 , 则存 在的错误是 : 疏 忽 了重 力 、 支 持 力 的不 为 零 的  合力矩 , 而误 认 为 木 块 的 角 动 量 守 恒 ( 这正 是参 考解 答 所 指  出的) ,因而 导 出 了不 符 合 实 际 的 结论 .  

体的话 , 如图 4 , 通 过 简 单 的 分 析  计 算 可 知 直 线 平 动 的木 块 相 对 地  

面上 的参 考点 0 的角动 量 为 L=r c   x   mv u   J , 其 方 向始终 
垂 直 纸 面 向里 ( 必 须 假 定 木 块 质 心 C 的 速 度 v处 在 直 线 

O C所在 的竖 直 平面 内才有 这 一结 论 ) , 其 大小 则 为 L =  
r c mv s i n O =h c mv .由于 木 块 所 受 合 外 力 矩 不 为 零 , 所 以其   角动量是变化 的, 由 于木 块 的 角动 量 方 向不 变 , 所 以其 大 小 

( 2 ) 如果该学生 将木 块视为一 定条件 下大小 可忽 略的  质点 , 则认 为木块角动量守恒 ( 始 终为零 ) 是正确 的, 而存 在 
的错 误 则 是 : 根据 木块的角动量始终为零 , 得 出其 速 度 大 小 


必然发生变化 , 由于木 块角 动量大 小表 达式 中 的“ h c m” 是 
不变 的 , 所 以其 速 度 大 小  将 发 生 变 化 . 这 一 推 理 过 程 表 

定不 变的推理不具 有必然 性 , 因 而 导 出 了 不 符 合 实 际 的 

明了 , 并 非 简 单 地 仅 仅 根 据 角 动 量 不 守 恒 便 可 以 必 然 地 推  断 出木 块 的 速 度 大 小 变 化 的 结 果 . 相反 , 被 视 为 刚 体 的 木 块  其 所 受 合 外 力 矩假 若 为零 的 话 ( 比如 , 在 地 面 光 滑摩 擦 力 为 

结论 .  

参考文献 :  
1 舒幼生 . 力学 . 北 京 :北 京 大 学 出 版 社 , 2 0 0 5 . 1 5 3  

零, 重力和支持力作用在一条竖直线上 的时候) , 则木块 的 

( 收稿 日期 : 2 0 1 0—0 1 —1 8 )  


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