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北京市2012届高三统计、概率、随机变量及其分布1(必修3、选修2-3)


十四、统计、概率、随机变量及其分布(必修 3、选修 2-3) 1.(2012 年丰台二模理 12)某地区恩格尔系数 y (%) 与年份 x 的统计数据如下表: 年份 x 恩格尔系数 y(%) 2004 47 2005 45.5 2006 43.5 2007 41

? ? 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且可得回归方程为 y ? bx ? 4055.2

5 ,据此模型可预测
2012 年该地区的恩格尔系数(%)为______. 答案:31.25。 2.(2012 年东城二模理 2)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六组数据 的频率之比为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 :1 ,且前三组数据的频数之和等于 27 ,则 n 的值为( B ) A. 70 B. 60 C. 50 D. 40 3.(2012 年海淀二模理 9)在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面 积大于等于 答案:

1 的概率是_________. 4

1 。 2

4.(2012 年西城二模理 5)右图是 1 , 2 两组各 7 名同学 体重(单位: kg )数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平 均数依次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( C ) (注:标准差 s ?
1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数) n

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

5.(2012 年丰台二模理 5)盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球,从中随 机取 出一个记下颜色后放回, 当红球取到 2 次时停止取球. 那么取球次数恰为 3 次的概率是 B ) ( A.

18 125

B.

36 125

C.

44 125

D.

81 125

6.(2012 年西城二模理 6)已知函数 f ( x) ? kx ? 1 ,其中实数 k 随机选自区间 [?2,1] .对

?x ?[0,1] , f ( x) ? 0 的概率是( C )
A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

7.(2012 年西城二模理 7)某大楼共有 12 层,有 11 人在第 1 层上了电梯,他们分别要去第 2 至第 12 层,每层 1 人.因特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都 要步行到达所去的楼层.假设这 10 位乘客的初始“不满意度”均为 0 ,乘客每向下步行1 层

第1页

的“不满意度”增量为 1 ,每向上步行 1 层的“不满意度”增量为 2 , 10 人的“不满意度” 之和记为 S ,则 S 的最小值是( C ) A. 42 B. 41 C. 40 D. 39

8.(2012 年西城二模理 17)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其 中每道题的概率都是

3 ,乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机 5

抽出 3 道题进行测试,答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分 才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概 率. 解: (Ⅰ)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15, 0,15,30 .??????1 分

P( X ? ?15) ?

C3 1 5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 0) ?

2 C5 C1 5 5 ? ; 3 C10 12

2 C1 C5 5 5 P( X ? 15) ? 3 ? ; C10 12

C3 1 P( X ? 30) ? 35 ? . C10 12
0 5 12
15 5 12 30 1 12

??????5 分

乙得分的分布列如下:

X
P

?15 1 12

??????6 分

EX ?

1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? . 12 12 12 12 2

??????7 分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选为事件 B . 则 P( A) ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ?
2 2 3

3 5

2 5

3 5

81 , 125

??????10 分

P( B) ?

5 1 1 ? ? . 12 12 2

??????11 分

故甲乙两人至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ?

44 1 103 ? ? . ??13 分 125 2 125

9.(2012 年朝阳二模理 16)一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球.(Ⅰ)求取出的 3 个球颜色 相同且编号是三个连续整数的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率; (Ⅲ)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望. 解: (Ⅰ)设“取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 A,则

第2页

P( A) ?

3? 2 5 ? . 3 C9 84
5 .[ 84

答:取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数,且颜色相同的概率为 (Ⅱ)设“取出的 3 个球中恰有两个球编号相同”为事件 B,则
1 1 C4C7 28 1 P( B) ? 3 ? ? . C9 84 3

答:取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为 (Ⅲ)X 的取值为 2,3,4,5.

1 . 3

??8 分

P( X ? 2) ?

1 2 2 1 C2C2 ? C2 C2 1 C1C 2 ? C 2C1 4 ? , P( X ? 3) ? 2 4 3 2 4 ? , 3 C9 21 C9 21 1 C1 C82 1 P( X ? 5) ? 3 ? . C9 3

1 2 2 1 C2C6 ? C2 C6 3 P( X ? 4) ? ? , 3 C9 7

?11 分

所以 X 的分布列为 X P X 的数学期望 EX ? 2 ? 2 3 4 5

1 21

4 21

3 7

1 3
??13 分

1 4 3 1 85 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? . 21 21 7 3 21

10. (2012 年丰台二模理 16) 某商场举办促销抽奖活动, 奖券上印有数字 100, 60, 凡 80, 0. 顾客当天在该商场消费每超过 1000 元,即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张,商场即赠送与 . 奖券上所标数字等额的现金(单位:元) .设奖券上的数字为 ξ , ξ 的分布列如下表所示, 且 ξ 的数学期望 E ξ =22. ξ P 100 0.05 80 a 60 b 0 0.7

(Ⅰ)求 a,b 的值;(Ⅱ)若某顾客当天在商场消费 2500 元,求该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率. 解:(Ⅰ)依题意, E? ? 100 ? 0.05 ? 80a ? 60b ? 0 ? 0.7 ? 22 , 所以 80a ? 60b ? 17 . 因为 0.05 ? a ? b ? 0.7 ? 1 , 由 ? 所以 a ? b ? 0.25 . ???7 分

?80a ? 60b ? 17, ?a ? 0.1, 可得 ? ?a ? b ? 0.25, ?b ? 0.15.

(Ⅱ)依题意,该顾客在商场消费 2500 元,可以可以抽奖 2 次. 奖金数不少于 160 元的抽法只能是 100 元和 100 元; 100 元和 80 元; 100 元和 60 元;80 元和 80 元四种情况. 设“该顾客获得奖金数不少于 160 元”为事件 A,

第3页

则 P( A) ? 0.05 ? 0.05 ? 2 ? 0.05 ? 0.1 ? 2 ? 0.05 ? 0.15 ? 0.1? 0.1 ? 0.0375 . 答:该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率为 0.0375. ??13 分

11.(2012 年昌平二模理 16)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是:每位选手可 以选择在 A 区射击 3 次或选择在 B 区射击 2 次, A 区每射中一次得 3 分, 在 射不中得 0 分; 在 B 区每射中一次得 2 分,射不中得 0 分. 已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次射中移动靶的概 率分别是

1 和 p(0 ? p ? 1) .(Ⅰ) 若选手甲在 A 区射击, 求选手甲至少得 3 分的概率; (Ⅱ) 4

我们把在 A、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准,如果选手甲最终选择 了在 B 区射击,求 p 的取值范围. 解: (Ⅰ)设“选手甲在 A 区射击得 0 分”为事件 M,“选手甲在 A 区射击至少得 3 分”为事 件 N,则事件 M 与事件 N 为对立事件,

1 0 1 27 ) ? (1 ? ) 3 ? 4 4 64 27 37 P( N ) ? 1 ? P( M ) ? 1 ? ? 64 64
0 P( M ) ? C3 ? (

??2 分 ??4 分

(Ⅱ) 设选手甲在 A 区射击的得分为 ? ,则 ? 的可能取值为 0,3,6,9.

1 27 1 2 27 1 1 P(? ? 0) ? (1 - ) 3 ? ; P (? ? 3) ? C 3 ? ? (1 ? ) ? ; 4 64 4 4 64 1 1 9 1 3 1 P(? ? 6) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ; P(? ? 9) ? ( ) ? 4 4 64 4 64
所以 ? 的分布列为

27 27 9 1 9 ? 3? ? 6? ? 9? ? 64 64 64 64 4 设选手甲在 B 区射击的得分为? ,则? 的可能取值为 0,2,4. ? E? ? 0 ?

P(? ? 0) ? (1- p) 2 ; P(? ? 2) ? C1 ? p ? (1 ? p) ? 2 p(1 ? p) ; P(? ? 4) ? p 2 2
所以? 的分布列为

?
P

0

2

4

(1 ? p) 2

2 p(1 ? p)

p2

? E? ? 0 ? ( 1 ? p )2 ? 2 ? 2 p( 1 ? p ) ? 4 ? p 2 ? 4 p
根据题意, 有

E? ? E?

? 4p ?

9 9 ,? ? p ? 1 ?13 分 4 16

12. (2012 年东城二模理 16) 某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时 2 元 (不 足 1 小时的部分按 1 小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车 的概率分别为 , ;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都

1 1 4 2

1 1 2 4

第4页

不会超过三小时.(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付的 租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? . 解: (Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为 2 , 4 , 6 元. ???2 分 都付 2 元的概率为 P ? 1

1 1 1 ? ? ; 4 2 8 1 1 1 都付 4 元的概率为 P2 ? ? ? ; 2 4 8 1 1 1 都付 6 元的概率为 P3 ? ? ? ; 4 4 16
故所付费用相同的概率为 P ? P ? P2 ? P3 ? 1

1 1 1 5 ? ? ? . ??6 分 8 8 16 16
??8 分

(Ⅱ)依题意, ? 的可能取值为 4 , 6 , 8 , 10 , 12 .

1 P (? ? 4) ? ; 8 1 1 1 1 1 1 5 P(? ? 8) ? ? ? ? ? ? ? ; 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 P(? ? 12) ? ? ? . 4 4 16
故 ? 的分布列为

1 1 1 1 5 P(? ? 6) ? ? ? ? ? ; 4 4 2 2 16 1 1 1 1 3 P(? ? 10) ? ? ? ? ? ; 4 4 2 4 16

?
P

4

6

8

10

12

1 8

5 16

5 16

3 16

1 16
????11 分 ?13 分

所求数学期望 E? ? 4 ?

1 5 5 3 1 15 ? 6 ? ? 8 ? ? 10 ? ? 12 ? ? . 8 16 16 16 16 2

13.(2012 年海淀二模理 17)某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个 项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 P 11 a 12 0.4 17 b

且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格 根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整, 两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格 调整的概率分别为 p(0< p <1)和 1?p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数 X(次) 与 X2 的关系如下表所示: X(次) X2(万元) (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 X2 的分布列; 0 4.12 1 11.76 2 20.40

第5页

(Ⅲ)若 E(X1)< E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意得:

?a ? 0.4 ? b ? 1, ? ?11a ? 12 ? 0.4 ? 17b ? 12.
解得: a = 0.5, b = 0.1 . (Ⅱ)X2 的可能取值为 4.12,11.76, 20.40 . ????3 分

P ? X 2 ? 4.12? ? (1? p) ?1? (1? p)? ? p(1? p) ,
P ? X 2 ? 11.76? ? p ?1 ? (1 ? p)? ? (1 ? p)(1 ? p) ? p2 ? (1 ? p)2 ,

P ? X 2 ? 20.40? ? p(1 ? p) .
所以 X2 的分布列为: X2 P 4.12 p (1?p)
2

11.76
2

20.40

p +(1?p) p (1?p) ??????????????9 分

2 2 (Ⅲ)由(Ⅱ)可得: E ? X 2 ? ? 4.12 p (1 ? p ) ? 11.76 ? p ? (1 ? p ) ? ? 20.40 p (1 ? p ) ? ?

? ? p2 ? p ? 11.76 . ??????11 分
因为 E(X1)< E(X2), 所以 12 < - p2 + p + 11.76 . 所以 0.4 < p < 0.6 . 当选择投资 B 项目时, p 的取值范围是 ?0.4,0.6? .?13 分

第6页


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