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【解析版】广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题


2013 年广东省韶关市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 分) (5 (2013?韶关三模)已知复数 z=1+i,则 =( A.﹣2i B.2i ) D.1+i

C.1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 分

析: 把复数 z 代入 ,化简即可. 解答: 解: =

故选 C. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题. 2. 分) (5 (2006?福建) 已知全集 U=R, A={x||x﹣1|>2}, 且 B={x|x ﹣6x+8<0}, (CUA) B 等于 则 ∩ ( A.(2,3) B.[2,3] C.(2,3] D.(﹣2,3]
2



考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 先解绝对值不等式求出集合 A,再求出其补集,解一元二次不等式解出集合 B,然后利用集合交集 的定义求出即可. 解答: 解:A={x|x>3 或 x<﹣1},CUA={x|﹣1≤x≤3} B={x|2<x<4}, ∴ UA)∩ (C B=(2,3], 故答案为 C. 点评: 本题主要考查了集合的运算,属于以不等式为依托,求集合的交集、补集的基础题,也是高考常会 考的题型. 3. 分) (5 (2013?韶关三模)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 ( A. B. C.2 D.4
2 2



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 根据题意,求出长半轴和短半轴的长度,利用长轴长是短轴长的两倍,解方程求出 m 的值. 解答: 解:椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴ , 故选 A. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,用待定系数法求参数 m 的值. 4. 分) (5 (2013?韶关三模)△ ABC 中,∠ A= A. B. ,BC=3,AB= C. ,则∠ C=( ) D. 或

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理和题设中,BC,AB 和 A 的值,进而求得 sinC 的值,则 C 可求. 解答: 解:由正弦定理 ,即 ,

∴ sinC= ∴

. (C= 时,三角形内角和大于 π,不合题意舍去) .

故选 B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理可用于两种情况的解三角形问题:一是已知两角,和任 意一角,求得其它两边和一角;二是已知两边和其中一边对角,求其他的边和角. 5. 分) (5 (2013?韶关三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S5=55,则过点 P(n,an)和 * Q(n+2,an+2) (n∈N )的直线的斜率是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点: 等差数列的通项公式;直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: 先根据等差数列的求和公式和 S2=10,S5=55,求得 d.进求的 an,进而根据直线的斜率 而得出答案. 解答: 解:由题意知 解得 a1=3,d=4



∴ 直线的斜率为

=4

故答案选 A 点评: 本题主要考查等差数列的性质.属基础题. 6. 分) (5 (2013?韶关三模)已知:函数 f(x)的定义域为[﹣2,+∞) ,且 f(4)=f(﹣2)=1,f′ (x)为

f (x) 的导函数, 函数 y=f′ (x) 的图象如图所示, 则

, 所围成的平面区域的面积是 (



A.2

B.4

C.5

D.8

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;函数的单调性与导数的关系. 专题: 数形结合. 分析: 利用导函数的图象判断出函数的单调性;利用函数的单调性化简不等式 f(2a+b)≤1;画出不等式组 表示的平面区域;利用三角形的面积公式求出区域的面积. 解答: 解:由导函数的图象得到 f(x)在[﹣2,0]递减;在[0,+∞)递增 ∵ f(4)=f(﹣2)=1 ∴ f(2a+b)≤1?﹣2≤2a+b≤4 ?



表示的平面区域如下

所以平面区域的面积为 故选 B 点评: 本题考查函数的单调性与导函数符号的关系、考查利用函数的单调性求抽象不等式、考查如何画不 等式组表示的平面区域.

7. 分) (5 (2013?韶关三模)一台机床有 的时间加工零件 A,其余时间加工零件 B,加工零件 A 时,停 机的概率为 A. ,加工零件 B 时,停机的概率是 ,则这台机床停机的概率为( B. C. ) D.

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 加工零件 A 停机的概率是 ,加工零件 B 停机的概率是(1﹣ )× ,由此能求出这台机床停 机的概率. 解答: 解:加工零件 A 停机的概率是 = ,

加工零件 B 停机的概率是(1﹣ )× = 所以这台机床停机的概率是 = .



故选 A. 点评: 本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等 价转化. 8. 分) (5 (2013?韶关三模)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f + (x)的图象恰好通过 n(n∈N )个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数.有下列函数: ① f(x)=sin2x; ② g(x)=x ; ③ ;
3

④ φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是( ) ②④ ③ A.①③ B.①④

④ C.①

D.④

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据新定义的“一阶整点函数”的要求,对于四个函数一一加以分析,它们的图象是否通过一个整点, 从而选出答案即可. 解答: 解:对于函数 f(x)=sin2x,它只通过一个整点(0,0) ,故它是一阶整点函数; 3 3 3 对于函数 g(x)=x ,当 x∈Z 时,一定有 g(x)=x ∈Z,即函数 g(x)=x 通过无数个整点,它不 是一阶整点函数; 对于函数 h(x)= ,当 x=0,﹣1,﹣2,时,h(x)都是整数,故函数 h(x)通过无数个

整点,它不是一阶整点函数; 对于函数 φ(x)=lnx,它只通过一个整点(1,0) ,故它是一阶整点函数. 故选:C. 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题,解决本题的关键是对于新定义的概念的理解, 即什么叫做:“一阶整点函数”. 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)第 13 至 15 题,从 3 题中选答 2 题,多选按前 2 题记分 9. 分) (5 (2013?韶关三模)若奇函数 f(x)的定义域为[p,q],则 p+q= 0 . 考点: 函数奇偶性的性质;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由奇函数 f(x)的定义域[p,q]关于原点对称,可得答案. 解答: 解:因为奇函数 f(x)的定义域[p,q]关于原点对称, 故有 p=﹣q,即 p+q=0 故答案为:0 点评: 本题考查函数的奇偶性和定义域,属基础题. 10. 分) (5 (2013?韶关三模)计算 6 .

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 由定积分的定义,令 F'(x)=2x﹣1,则 F(x)=x2﹣x,由公式求出积分值. 2 解答: 解:由导数的运算法则知当 F(x)=x ﹣x 时,F'(x)=2x﹣1 由定积分的定义 得 ∫0 (2x﹣1)dx=F(3)﹣F(0)=9﹣3=6 故答案为 6 点评: 本题考点是定积分,此类题高中要求较低,能根据公式求值即可.
3

11. 分) (5 (2013?韶关三模)已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类 似的结论是 正四面体内切球半径是高的 .

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 连接球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,正四面体的体积,就是四 个三棱锥的体积的和,求解即可. 解答: 解:球心到正四面体一个面的距离即球的半径 r,连接球心与正四面体的四个顶点. 把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,所以 4× S×r= ×S×h,r= h

(其中 S 为正四面体一个面的面积,h 为正四面体的高) 故答案为:正四面体内切球半径是高的 .

点评: 本题考查类比推理,解题的关键是明确类比的方法,明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法. 12. 分) (5 (2013?韶关三模)如图是用二分法求方程 x ﹣16x+1=0 在[﹣2,2]的近似解的程序框图,要求 解的精确度为 0.0001,则(*)处应填的内容是 f(a)?f(m)<0 或 f(b)?f(m)>0 .
4

考点: 选择结构. 专题: 规律型. 4 分析: 由已知得该程序的作用是用二分法求方程 x ﹣16x+1=0 在[﹣2,2]的近似解,通过(*)框的作用是 判断零在在二分区间后的哪个区间上,根据零存在定理,及判断框的“是”、“否”指向,不难得到该框 是判断 a,m 的函数值是否异号,从而决定是否继续循环的语句. 4 解答: 解:由已知得该程序的作用是用二分法求方程 x ﹣16x+1=0 在[﹣2,2]的近似解, (*)框的作用是判断零在在二分区间后的哪个区间上, 根据零存在定理,及判断框的“是”、“否”指向, 不难得到该框是判断 a,m 的函数值是否异号 故(*)框填:f(a)?f(m)<0 或 f(b)?f(m)>0; 故答案为:f(a)?f(m)<0 或 f(b)?f(m)>0. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要 的考试题型,这种题考试的重点有:① 分支的条件② 循环的条件③ 变量的赋值④ 变量的输出.其中前两 点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.

13. 分) (5 (2013?韶关三模)设 M、N 分别是曲线 ρ+2sinθ=0 和 N 的最小距离是 .

上的动点,则 M、

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先将原极坐标方程 ρ+2sinθ=0 和 行求解即可. 解答: 解:将原极坐标方程 ρ+2sinθ=0,化为:

化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进

ρ +2ρsinθ=0, 2 2 化成直角坐标方程为:x +y +2y=0, 2 2 即 x +(y+1) =1. 将原极坐标方程 ,化为:

2

ρsinθ+ρcosθ=1, 化成直角坐标方程为:x+y﹣1=0, 则 M、N 的最小距离=圆心到直线的距离﹣半径 = = .

故填: . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 利用直角坐标与极坐标间的关系, 即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ =x +y ,进行代换即得. 14. 分) (5 (2013?韶关三模) (几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 是△ ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,CD=2 ,AB=BC=3.则 BD 的长 4 ,AC 的长 .
2 2 2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由已知 CD 是过点 C 圆的切线,根据切割线定理及已知中 CD=2 ,AB=3,易求出 BD 的长,进而 求出 AD 的长,由弦切角定理可得:∠ DCB=∠ A,又由∠ 是△ D DCB 与△ DAC 的公共 角,我们易得∴DCB∽DAC 根据三角形相似对应边成比例,我们即可求出 AC 的长. △ △ 解答: 解:∵ 是过点 C 圆的切线 CD DBA 为圆的割线 由切割线定理得: CD =DB?DA 由 CD=2 ,AB=3 解得 BD=4 由弦切角定理可得:∠ DCB=∠ A,又由∠ D D=∠ ∴DCB∽DAC △ △ ∴ BC?DA=AC?DC 由 BC=3,DA=7,CD=2 AC= 故答案为:4, 点评: 本题考查的知识点是切割线定理,弦切角定理,三角形相似的判定与性质,要求线段的长,我们一 般要要先分析已知线段与未知线段的位置关系,再选择恰当的定理或性质进行解答.
+ 2 2 2

,得

15. (2013?韶关三模)已知 x,y∈R ,且

,则 x +y =

1 .

考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 令 x=sinA,y=sinB,然后根据同角三角函数的基本关系得出 cosA= 由两角和与差公式得出 sin(A+B)=1,再求得 A= 解答: 解:令 x=sinA,y=sinB,其中 A,B∈[0, ∴ cosA= ∵ cosB= , ]

和 cosB=

,从而

﹣B,最后代入即可得出结果.

∴ sinAcosB+sinBcosA=1 即 sin(A+B)=1 ∴ A+B= ,A= ﹣B

sinA=sin(
2 2 2

﹣B)=cosB
2 2

∴ +y =sin A+sin B=sin ( x

﹣B)+sin B=cos B+sin B=1

2

2

2

故答案为:1. 点评: 此题考查了两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系,熟练掌握公式是解题的关键,属于中档 题. 三、解答题 16. (12 分) (2013?韶关三模)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整 数)分成六段[40,50) ,[50,60) ,…,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回 答下列问题: (Ⅰ )求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ 估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 ) 表) ; (Ⅲ 从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求这两名学生的成绩均不低于 80 分的概率. )

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;等可能事件的概率. 专题: 图表型. 分析: (I)利用频率分布直方图中的各组的频率和等于 1,求出第四小组的频率,求出纵坐标,补全这个 频率分布直方图即可. (II)求出 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和;利用组中值估算抽样学生的平均 值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值.

(Ⅲ )先算出分数在“[70,80) ,[80,90) ,[90,100]”的人数是 18,15,3,利用组合知识得到从成 2 绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人有 C36 ,再利用分类计数原理求出这两名学生的成绩 均不低于 80 分的种数,最后利用概率公式计算即可. 解答: 解: )因为各组的频率和等于 1, (Ⅰ 故第四组的频率:f4=1﹣(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3…(2 分) , 频率分布直方图第四小组的纵坐标是: =0.03,

直方图如右所示 …(4 分) (Ⅱ )依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% …(6 分) 利用组中值估算抽样学生的平均分 45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6…(8 分) =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是 71(分) …(9 分) (Ⅲ )在“[70,80) ,[80,90) ,[90,100]”上的人数分别是 18,15,3. 所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人, 这两名学生的成绩均不低于 80(分)的概率 …(12 分)

点评: 本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等.在频率分布直方图中,数据的平均值等于各组的 中点乘以各组的频率之和;频率等于纵坐标乘以组距;属于基础题.

17. (12 分) (2013?韶关三模)已知 f(x)= (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 ,求函数 f(x)的零点.



考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: (1)利用两角和公式对函数解析式化简整理后.利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期. (2)f(x)=0,求得 cos(2x+ 解答: 解: (1)f(x)=cos2x﹣sin2x= 故 T= =π =0, )的值,进而利用 x 的范围,求得 x 的值.

(2)令 f(x)=0,

又∵ ∴ ∴ 解得 函数 f(x)的零点是 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,两角和公式的和二倍角公式的化简求值.考查了基础 知识的综合运用. 18. (14 分) (2013?韶关三模)如图,在三棱拄 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥ 侧面 BB1C1C,已知

(Ⅰ )求证:C1B⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )试在棱 CC1(不包含端点 C,C1)上确定一点 E 的位置,使得 EA⊥ 1; EB (Ⅲ 在(Ⅱ ) )的条件下,AB= ,求二面角 A﹣EB1﹣A1 的平面角的正切值.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I) 由已知中 AB⊥ 侧面 BB1C1C, 易得 AB⊥ 1, BC 又由

, BC1C 解△

得 C1B⊥ BC,进而根据线面垂直的判定定理,即可得到 C1B⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )由 EA⊥ 1,AB⊥ 1,我们易得 B1E⊥ EB EB 平面 ABE,BE⊥ 1E,设 CE=x,则 C1E=2﹣x,由余弦 B 定理,我们易判断 E 为 CC1 的中点时,EA⊥ 1 EB (III)取 EB1 的中点 D,A1E 的中点 F,BB1 的中点 N,AB1 的中点 M,连 DF,DN,MN,MF, 则 MNDF 为矩形,MD∥ AE,由 A1B1⊥ 1,BE⊥ 1 故∠ EB EB MDF 为所求二面角的平面角,解 Rt△ DFM 中,即可得到二面角 A﹣EB1﹣A1 的平面角的正切值. 解答: 证明: )因为 AB⊥ (Ⅰ 侧面 BB1C1C,故 AB⊥ 1 BC 在△ 1C 中, BC 由余弦定理有 故有 BC +BC1 =CC1 ∴ 1B⊥ C BC 而 BC∩ AB=B 且 AB,BC?平面 ABC ∴ 1B⊥ C 平面 ABC
2 2 2

(Ⅱ )由 EA⊥ 1,AB⊥ 1,AB∩ EB EB AE=A,AB,AE?平面 ABE 从而 B1E⊥ 平面 ABE 且 BE?平面 ABE 故 BE⊥ 1E B 2 2 不妨设 CE=x,则 C1E=2﹣x,则 BE =1+x ﹣x 又∵
2

则 B1E =1+x +x
2

2

2

在 Rt△ BEB1 中有 x +x+1+x ﹣x+1=4 从而 x=±1(舍负) 故 E 为 CC1 的中点时,EA⊥ 1 EB (Ⅲ )取 EB1 的中点 D,A1E 的中点 F,BB1 的中点 N,AB1 的中点 M

连 DF 则 DF∥ 1B1,连 DN 则 DN∥ A BE,连 MN 则 MN∥ 1B1 A 连 MF 则 MF∥ BE,且 MNDF 为矩形,MD∥ AE 又∵ 1B1⊥ 1,BE⊥ 1 故∠ A EB EB MDF 为所求二面角的平面角 在 Rt△ DFM 中,



点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法,其 中熟练掌握空间直线与平面的平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答此类问题的关键. 19. (14 分) (2013?韶关三模)在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F(1,0) ,直线 l:x=﹣1,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥ FP,PQ⊥ l. (1)求动点 Q 的轨迹的方程; (2)记 Q 的轨迹的方程为 E,过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB、CD,设 AB、CD 的中点分别为 M,N.求证:直线 MN 必过定点 R(3,0) . 考点: 轨迹方程;恒过定点的直线;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由已知条件知,点 R 是线段 FP 的中点,RQ 是线段 FP 的垂直平分线,点 Q 的轨迹 E 是以 F

为焦点,l 为准线的抛物线,写出抛物线标准方程. (2)设出直线 AB 的方程,把 A、B 坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点 M 的坐标,同理 可得 N 的坐标,求出直线 MN 的斜率,得到直线 MN 的方程并化简,可看出直线 MN 过定点. 解答: 解: )依题意知,直线 l 的方程为:x=﹣1,设直线 l 与 x 轴交于点 K(﹣1,0) (Ⅰ ,由 OK 平行于直 线 l 可得, OR 是△ FPK 的中位线,故点 R 是线段 FP 的中点. 又 RQ⊥ FP,∴ 是线段 FP 的垂直平分线.∴ RQ |PQ|是点 Q 到直线 l 的距离. ∵ Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ 点 |PQ|=|QF|. 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:y =4x(x>0) . (Ⅱ )设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,M(xM,yM) ,N(xN,yN) ,直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) 则 (1)﹣(2)得 ,即 , .
2

代入方程 y=k(x﹣1) ,解得

. 所以点 M 的坐标为

同理可得:N 的坐标为(2k +1,﹣2k) .

2

直线 MN 的斜率为



方程为;

,整理得 y(1﹣k )=k(x﹣3) ,

2

显然,不论 k 为何值, (3,0)均满足方程,所以直线 MN 恒过定点 R(3,0) . 点评: 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,直线过定点问题,属 于难题. 20. 分) (14 (2013?韶关三模) 已知数列{an}中, ,





(Ⅰ )求证:k=1; (Ⅱ )设 (Ⅲ )求证:不等式 ,f(x)是数列{g(x)}的前 n 项和,求 f(x)的解析式; 对 n∈N+恒成立.

考点: 数列递推式;函数解析式的求解及常用方法;数列的求和;不等式的证明. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用 中 n=2,及 a1=1,得到 a3a1=a2a1 ,即

;再利用

,得到



即可证明.

(II)利用“累成求积”即可得到 g(x) ,再利用“错位相减法”及等差数列与等比数列的前 n 项和公式 即可得出 f(x) ;

(III)利用(2)中 f(x)的表达式,取 x=2,则

=(n﹣1)?2 +1,

n

又 解答: (I)证明:∵

,利用数学归纳法证明:不等式

对 n∈N+恒成立.







又∵

则 a3a1=a2a1

,即

,又

,∴2=2k. a

∴ k+1=2k,解得 k=1. (2)∵ ,∴ =n?(n﹣1)…2?1=n!

∵ ∴ x=1 时, 当

=nx

n﹣1


2 n﹣1

当 x≠1 时,f(x)=1+2x+3x +…+nx . 2 3 n﹣1 n 2 n﹣1 得 xf(x)=x+2x +3x +…+(n﹣1)x +nx 两式相减得(1﹣x)f(x)=1+x+x +…+x ﹣ nx =
n

∴ f(x)=

综上所述:



(3)利用(2)中 f(x)的表达式,取 x=2, 则 =(n﹣1)?2 +1,
n



,下面利用数学归纳法证明:不等式

对 n∈N+恒成立.

易验证当 n=1,2,3 时不等式恒成立; k k 假设 n=k(k≥3) ,不等式成立,即 3 >(k﹣1)2 +1 k+1 k k+1 k k+1 两边乘以 3 得:3 >3(k﹣1)2 +3=k?2 +1+3(k﹣1)2 ﹣k2 +2

又因为 3(k﹣1)2 ﹣k?2 +2=2 (3k﹣3﹣2k)+2=(k﹣3)2 +2>0 k+1 k+1 k k+1 k+1 所以 3 >k?2 +1+3(k﹣1)2 ﹣k2 +2>k?2 +1 即 n=k+1 时不等式成立. 故不等式恒成立. 点评: 本题综合考查了等差数列与等比数列的前 n 项和公式、 “累成求积”、 “错位相减法”, 及其数学归纳法, 需要较强的推理能力和计算能力. 21. (14 分) (2013?韶关三模)已知函数 f(x)=aln(1+e )﹣(a+1)x, (其中 a>0) ,点 A(x1,f(x1), ) B(x2,f(x2),C(x3,f(x3) ) )从左到右依次是函数 y=f(x)图象上三点,且 2x2=x1+x3. (Ⅰ )证明:函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数; (Ⅱ )求证:△ ABC 是钝角三角形; (Ⅲ )试问△ ABC 能否是等腰三角形?若能,求△ ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由. 考 利用导数研究函数的单调性;数量积表示两个向量的夹角;两点间距离公式的应用. 点 : 专 计算题;综合题;转化思想. 题 : x 分 )∵ (Ⅰ f(x)=aln(1+e )﹣(a+1)x,欲证函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调减函数,只须证明其导 析 f′ 数 (x)<0 即可; : )先设 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3) (Ⅱ ) ) )且 x1<x2<x3,欲证:△ ABC 是钝角三角 形,只须证明其中一个内角为钝角即可,结合向量的坐标运算,只须证明: (Ⅲ )假设△ ABC 为等腰三角形,则只能是 即得;
x

k

k+1

k

k

,再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计

算,如出现矛盾,则△ ABC 不可能为等腰三角形,如不矛盾,则△ ABC 能是等腰三角形. 解 x 解: )∵ 答 (Ⅰ f(x)=aln(1+e )﹣(a+1)x,∴ : 所以函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调减函数. 分) (3 (Ⅱ )证明:据题意 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3) ) ) )且 x1<x2<x3, 由(Ⅰ )知 f(x1)>f(x2)>f(x3) 2= ,x (4 分)

恒成立,

可得 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3) ) ) )三点不共线 (反证法:否则 ∴ ∴ ∵1﹣x2<0,x3﹣x2>0,f(x1)﹣f(x2)>0,f(x3)﹣f(x2)<0,∴ x 即△ ABC 是钝角三角形(8 分) (Ⅲ )假设△ ABC 为等腰三角形,则只能是 即: 1﹣x2) +[f(x1)﹣f(x2)] =(x3﹣x2) +[f(x3)﹣f(x2)] ∵2﹣x1=x3﹣x2∴ (x x [f(x1)﹣f(x2)] =[f
2 2 2 2 2

,得 x1=x3)

(6 分) ,∴

(x3)﹣f(x2)] 即 2f(x2)=f(x1)+f(x3)

2

① (11 分) 而事实上, 由于 ② ,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾.

所以△ ABC 不可能为等腰三角形. (13 分) 点 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、数量积表示两个向量的夹角、两点间距离公式的应用等基础 评 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. :


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