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南通市通州区2012届高三数学最后一卷


南通市通州区 2012 届高三数学最后一卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上.
? 1 ? 1.设集合 A ? ? x | ? 2 ? , B ? x | 2x ? 1 ,则 A ? B ? ? x ?

?

?





5 的共轭复数是 ▲ . 1 ? 2i n? ? ? , n ? Z ? ,若从 A 中任取一个元素作为直线 l 的倾斜角,则直线 l 的斜率小于零的概率是 3.已知集合 A ? ?? | ? ? 9 ? ?
2.复数 4.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要条件是 ① a ? b ? 1 ; ② a ? b ? 1 ; ③ a 2 ? b 2 ; ④ a 3 ? b3 5.设函数 f ( x) ? ▲ . (填写序号)





1 ,则 f (a) ? f (c) ? ? 1 ,若 a, b, c 成等差数列(公差不为零) x?b
▲ .





6.执行如图所示的程序框图,输出 n ? 开 始 S ? 0, T ? 0, n ? 2
T ?S

Y y
输出 n 结 束

N

S ? S ?5
T ?T ? n n?n?2

第 6 题

O

第 8 题

K 图

L

x
▲ .

图 7.定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? ? 0 恒成立,且 f ? 4? ? 1 ,若 f ( x ? y ) ≤1 ,则 x2 ? y 2 的最小值是 8.设偶函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的部分图象如图所示, ?KLM 为等 M

1 腰直角三角形, ?KML ? 90? , KL ? 1 ,则 f ( ) 的值为 6





9.若两圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 4by ? 1 ? 4b2 ? 0 恰有三条公切线,其中 a, b ? R, ab ? 0 ,则 ▲ .

4 1 ? 的最小值为 a 2 b2

10.如图,在直角梯形 ABCD 中, BC ? DC , AE ? DC , M , N 分别是 AD , BE 的中点,将三角形 ADE 沿 AE 折起.下列说法正确的 是 ▲ (填上所有正确的序号) .
C

①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内) ,都有 MN // 平面DEC ; E D ②不论 D 折至何位置,都有 MN ? AE ; ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内) , 都有 MN // AB ; ④在折起的过程中,一定存在某个位置,使 EC ? AD .

M

?

N

?

A

B

? x 2 ? ax ? 1, x ? 1 11.已知函数 f ? x ? ? ? 2 在 R 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 ?ax ? x ? 1, x ? 1





12.设 F1 , F2 是双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 4
1

,且 PF ?OP ? OF ? ? F P ? 0 ( O 为坐标原点)
2 2

??? ? ???? ? ???? ?

? ? PF2 ,则 ? 的值为





13.在 ?ABC 中, AB ? 3 AC , AD 是 ?A 的平分线,且 AD ? mAC ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

14.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 0 ? q ? 为 ▲ .

1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数列中的某一项,则公比 q 的取值集合 2

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 sin B ? sin C ? sin A? cos B ? cos C ? . (1)判断 ?ABC 的形状; (2)若角 A 所对的边 a ? 1 ,试求 ?ABC 内切圆半径的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图,已知 ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 90? , AD // BC, AD ? 2, AB ? BC ? 1 ,
PA ? 平面ABCD .

P

(1)证明: PC ? CD ; (2)若 E 是 PA 的中点,证明: BE // 平面PCD ; (3)若 PA ? 3 ,求三棱锥 B ? PCD 的体积.

E
A D

B

C

第 16 题图

17. (本小题满分 14 分) 诺贝尔奖发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成 6 份,奖励在 6 项(物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发 放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总额,以 便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为 r ? 6.24% .资料显示:2002 年诺贝 尔奖发奖后基金总额约为 19800 万美元.设 f (x) 表示为第 x ( x ? N )年诺贝尔奖发奖
*

后的基金总额(2002 年记为 f ?1? ). (1)用 f ?1? 表示 f ? 2 ? 与 f ? 3? ,并根据所求结果归纳出函数 f (x) 的表达式. (2)试根据 f (x) 的表达式判断网上一则新闻 “2012 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”是否为真,并说明理由. (参考数据: 1.0624 ? 1.83 , 1.0312 ? 1.36 )
10 10

18. (本小题满分 16 分) 已知点 A ? 3,1? 是圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个 a 2 b2

公共点,若 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P ? 4, 4 ? ,且直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;

??? ? ???? (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x . (1)求函数 g ? x ? ? f ? x ? 1? ? x 的最大值; (2)若 ?x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ax ? x2 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 x1 ? x2 ? 0 ,求证:
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 x2 . 2 x ? x2
2 1

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } , {bn } 满足: bn ? an?1 ? an ? n ? N *? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn?1bn?1 ? bn ? n ? 2? ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ①记 cn ? a6n ?1 ? n ? 1? ,求证:数列 ?cn ? 为等差数列;
?a ? ②若数列 ? n ? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满足的条件. ?n?

南通市通州区 2012 届高三数学最后一卷 参考答案及评分标准
一、填空题 1. ?x x ? 0? 8.
3 4

2. 1 ? 2i

3.

4 9

4.②

5.2

6.10

7.8

9.

13 9

10.①②④

? 1 ? 11. ? ? , 0 ? ? 2 ?

12.2

3 13. (0, ) 2

14. { 2 ? 1}

二、解答题 15.解:由已知等式利用正、余弦定理得

b ? c ? a(

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ), 2ac 2ab

…………………………3 分

整理得 ? b ? c ? ? b2 ? c2 ? a2 ? ? 0 ,? b 2 ? c 2 ? a 2 ,

所以, ?ABC 为直角三角形,且 ?A ? 90? . (2)由 ?ABC 为直角三角形, 知内切圆半径 r ?

…………………………6 分

b?c?a 1 1 ? (sin B ? sin C ? 1) ? (sin B ? cos B ? 1) , …………11 分 2 2 2

?sin B ? cos B ? 2 sin( B ? ) ? 2 ,? r ? 4

?

2 ?1 . 2

…………………………14 分

16. (1)证明:由已知易得 AC ? 2, CD ? 2 ,
? AC 2 ? CD2 ? AD2 ,??ACD ? 90? ,即 AC ? CD .

…………………………3 分

又? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD ,? PA ? CD , 由 PA ? AC ? A ,? CD ? 平面PAC ,
? PC ? 平面PAC ,? CD ? PC .

…………………………6 分

(2)证明:取 AD 的中点 F ,连接 BF , EF .
? AD ? 2, BC ? 1,? BC // FD, BC ? FD ,

P

? 四边形 BCDF 是平行四边形,即 BF // CD ,
? BF ? 平面PCD ,? BF // 平面PCD .………8 分

E
A F D

? E , F 分别是 PA, AD 的中点,? EF // PD ,
? EF ? 平面PCD ,? EF // 平面PCD .………10 分 ? EF ? BF ? F ,? 平面BEF // 平面PCD ,

B

C

? BE ? 平面BEF ,? BE // 平面PCD .………11 分

(3)解:由已知得 S?BCD ?

1 , 2
…………………………14 分

1 1 所以, VB ? PCD ? VP ? BCD ? ? PA ? S?BCD ? . 3 2

17.解: (1)由题意知: f (2) ? f (1) ? (1 ? 6.24%) ? 一般地: f (3) ? f (2) ? (1 ? 6.24%) ? ∴

1 ? f (1) ? 6.24% ? f (1) ? (1 ? 3.12%) , 2

1 ? f (2) ? 6.24% ? f (1) ? (1 ? 3.12%)2 ,…4 分 2 ?1 x? ( . ……………………………………7 分 f ( x )? 1 9 8 0 ? 0? ( 1 3 .x1 2 % ) N* )

(2)2011 年诺贝尔奖发奖后基金总额为:

f (10) ? 19800 ? (1 ? 3.12%)9 ? 26100 , …………………………………………10 分
2012 年度诺贝尔奖各项奖金额为 ?

1 1 ? f (10) ? 6.24% ? 136 万美元, ………12 分 6 2

与 150 万美元相比少了约 14 万美元. 答:新闻 “2012 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”不真,是假新闻. ……14 分 18.解: (1)点 A ? 3,1? 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 . 设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5.

…………………… 2 分

解得 k ? 当k ? 当k ?

11 1 或k ? . 2 2

…………………… 4 分

36 11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 11 2 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4. 2

? F1 ? ?4,0? , F2 ? 4,0? .

? 2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2.
x2 y 2 ? ? 1. ………………………8 分 18 2 ??? ? ???? (2) AP ? (1, 3) ,设 Q ? x, y ? , AQ ? ( x ? 3, y ? 1) ,

所以,椭圆 E 的方程为:

??? ? ???? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , 18 2

…………………… 10 分

而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴ ?3 ? xy ? 3 .

…………………… 12 分

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy 的取值范围是 ? 0,36? .
x ? 3 y 的取值范围是 ? ?6,6? .

??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是 ? ?12,0? .

…………………… 16 分

(注:本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决) 19.解: (1) g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? ?1? ,则 g ? ? x ? ?

1 ?x .…………2 分 ?1 ? x ?1 x ?1

当 x ? ? ?1,0 ? 时, g ? ? x ? ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? ?1,0? 上单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减, 所以, g ? x ? 在 x ? 0 处取得最大值,且最大值为 0.
ln x ? a? ? ? x (2)由条件得 ? 在 x ? 0 上恒成立. ?a ? x ? 1 ? x ?

………………………4 分

………………………6 分

设 h ? x? ?

ln x 1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? . x x2

1 当 x ? ?1, e ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? e, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,所以, h ? x ? ? . e 1 要使 f ? x ? ? ax 恒成立,必须 a ? . e
另一方面,当 x ? 0 时, x ? ………………………8 分

1 ? 2 ,要使 ax ? x 2 ? 1 恒成立,必须 a ? 2 . x ?1 ? 所以,满足条件的 a 的取值范围是 ? , 2 ? . ………………………10 分 ?e ?
(3)当 x1 ? x2 ? 0 时,不等式
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

x 2 1 ?2 2 x2 x x2 ? 2 等价于 ln 1 ? .……12 分 2 x1 2 x1 ? x2 x2 ( ) ?1 x2

t 2 ? 1 ? t ? 1? x 2t ? 2 ? 0, 令 t ? 1 ,设 ? ? t ? ? ln t ? 2 t ? 1? ,则 ? ? ? t ? ? ? 2 x2 t ?1 t t2 ?1
2

?

?

?

?

? ? ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,? ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 ,

所以,原不等式成立. 20.解: (1)当 n ? 2 时,有

……………………………16 分

an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ?
又 a1 ? 1 也满足上式,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (2)①因为对任意的 n ? N * ,有 bn ? 6 ?

n2 n ? ? 1. 2 2

n2 n ? ? 1 .……………4 分 2 2

bn ? 5 b 1 ? ? n ?1 ? bn , bn ? 4 bn ? 3 bn ? 2

所以, cn?1 ? cn ? a6n?5 ? a6n?1 ? b6n?1 ? b6n ? b6n?1 ? b6n?2 ? b6n?3 ? b6n?4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 所以,数列 ?cn ? 为等差数列. ②设 cn ? a6n?i ? n ? N *? (其中 i 为常数且 i ??1,2,3,4,5,6? ,

1 1 ? ? 7, 2 2

…………………… 8 分

所以, cn?1 ? cn ? a6n?6?i ? a6n ?i ? b6n?i ? b6n?i ?1 ? b6n?i ? 2 ? b6n?i ?3 ? b6n?i ? 4 ? b6n?i ?5 ? 7 , 即数列 ?a6n?i ? 均为以 7 为公差的等差数列. …………………… 10 分

7 7 7 i ? 6k ? ? ai ? i ai ? i a6 k ? i ai ? 7k 6 ? 7 6 6 . ? ? ? ? 设 fk ? 6k ? i i ? 6k i ? 6k 6 i ? 6k

(其中 n ? 6k ? i, k ? 0, i 为 ?1, 2,3, 4,5,6? 中一个常数)

a 7 7 当 ai ? i 时,对任意的 n ? 6 k ? i ,有 n ? ; …………………… 12 分 6 n 6 7 7 ai ? i ai ? i ?6 7 6 6 ? ?a ? 7i? 当 ai ? i 时, f k ?1 ? f k ? . ? ? i ? 6 ? k ? 1? ? i 6k ? i ? 6 ?? 6 6 k ? 1 ? ? i? ? ? ? ? 6k ? i ?

7 ?a ? (Ⅰ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递减数列; 6 ? 6k ? i ? 7 ?a ? (Ⅱ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递增数列. 6 ? 6k ? i ?
?7 ? ?4? ?1 ? ? 1? ? 1? ?1 ? ?7 4 1 1 1? 综上所述,集合 B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , ? , ? ? . ? 6 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3? ? 6 ? ? 2 ? ? 6 3 2 3 6 ? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? n ? 中必有某数重复出现无数次; ?n? ?a ? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? 6 k ? i ? ? i ? 1, 2,3, 4,5, 6 ? 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多出现一次,所以数列 ? n ? 任意一项 ?n? ? 6k ? i ?

的值均未在该数列中重复出现无数次.…… 16 分


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