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秦九韶算法(1)


1.3 算法案例——

情境引入
问题1当x=5时,求多项式 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7的值
算法一:把5代入替换x,计算各项的值,然后 把它们加起来。
共做了1+2+3+4+5=10次乘法运算,5次加(减)法运算

算法二:先计算x2的值,然后依次计算x3=x2· x、 x4=x3· x、x5

=x4· x的值。
共做了4次乘法运算,5次加(减)法运算。

算法探究
问题2请同学们观察下面的算法, 探究任意多项式的求值问题? 求多项式2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值

=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 这种求多项式值的方法 3 2 =((2x -5x -4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 就是秦九韶算法. =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 用秦九韶算法只 v0=2 需要 v1=v0x-5=2×5-5=5 5次乘法运算和5 v2=v1x-4=5×5-4=21 次加(减)法运 v3=v2x+3=21×5+3=108 算,就可求一元5 v4=v3x-6=108×5-6=534 次多项式的数值 v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.

秦九韶
秦九韶(1208年-1261年)南宋 官员、数学家,与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家。
主要成就:1247年完成了数学名著《数书九章》,其中的 大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义 的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。 直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法 。 美国著名科学史家萨顿说过,秦九韶是“他那个民族, 他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之 一”。

算法探究
问题3:对于多项式

若 f ( x ) ? a n x ? a n ?1 x
n

n ?1

? ? ? a1 x ? a 0

试用前一问题的算法,求f(x0)的数值。

新知讲解 《数书九章》——秦九韶算法
f ( x ) ? a n x ? a n ?1 x
n n ?1

? ? ? a1 x ? a 0

? (? ( a n x ? a n ?1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a 0
v0 ? a n v1 ? a n x ? a n ?1 v 2 ? v1 x ? a n ? 2 v3 ? v 2 x ? a n ? 3
算法特征: (1)将 n次多项式f(x) 转化成 n个一次多项式 (2)变形:从外到内,依次提取; 求值:从内到外,逐层求值; 求解n次多项式的 值只需要计算n次 乘法和n次加法

v n ? v n ?1 x ? a 0

??

例: 已知一个5次多项式为
5 4 3

f ( x ) ? 4 x ? 2 x ? 3.5 x ? 2.6 x ? 1.7 x ? 0.8
2

用秦九韶算法求f(5)的值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成 f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v0= 4; v1= 4×5+2= 22; v2= 22×5+3.5=113.5; v3= 113.5×5-2.6= 564.9; v4= 564.9×5+1.7= 2826.2; v5= 2826.2×5-0.8= 14130.2. 所以f(5)=14130.2.

练习:
用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 3x 4 ? 2 x 3 ? x 2 ? 4 x ? 7 当x=2时 的值.

f ( x ) ? a n x ? a n ?1 x
n

n ?1

? ? ? a1 x ? a 0
开始 输入n,an,x V=an i=n-1 i=i-1 v=v· x+ai 输入ai 是

? (? ( a n x ? a n ?1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? a 1 ) x ? a 0

算法步骤
第一步:输入多项式次数n、 最高次项的系数an和x的值. 第二步:将v的值初始化为 an,将i的值初始化为n-1. 第三步:输入i次项的系数 an. 第四步:v=vx+ai, i=i-1. 第五步:判断i是否大于或 等于0,若是,则返回第三 步;否则,输出多项式的值 v。

i>=0?
否 输出v 结束

程序框图和程序
开始

输入n,an,x V=an i=n-1
i=i-1 v=v· x+ai 输入ai 是 i>=0? 否 输出v 结束

INPUT “n=”;n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=an i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END

课时小结
1、秦九韶算法求值的方法和步骤 从外到内,依次转化

从内到外,逐层计算
2、秦九韶算法的计算机程序


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