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高考数学总复习经典测试题解析版4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用


4.4 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及应用
一、选择题 π? ? 1.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数的图像 3? ? ( ) π ?π ? A.关于点? ,0?对称 B.关于直线 x= 对称 4 ?3 ? π ?π ? C.关于点? ,0?对称 D.关于直线 x= 对称 3 ?4 ? π? ? ?π ? 解析 由已知,ω =2,所以 f(x)=sin?2x+ ?,因为 f? ?=0,所以函数图像 3? ? ?3? ?π ? 关于点? ,0?中心对称,故选 A. 3 ? ? 答案 A 2.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图像,只要将函数 y ? cos 2 x 的图像( A. 向左平 移 1 个单位 C. 向左平移
1 2



B. 向右平移 1 个单位 D.向右平移

1 个单位 2 1 1 x ? ), 所以将 y ? cos 2x 向左 平移 个单位 , 故 解析 因为 y ? cos(2x ? 1) ? cos(2( 2 2

个单位

选 C. 答案 C 3.若函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R(其中 ω >0,|φ |< π ,且 f(0)= 3,则( 1 π A.ω = ,φ = 2 6 C.ω =2,φ = 解析 由 T= ∴sin φ = 答案 D π 6 ). 1 π B.ω = ,φ = 2 3 D.ω =2,φ = π 3 π )的最小正周期是 2

2π =π ,∴ω =2.由 f(0)= 3? 2sin φ = 3, ω

3 π π ,又|φ |< ,∴φ = . 2 2 3

4. 将函数 y=f(x)·sin x 的图像向右平移

π 个单位后, 再作关于 x 轴对称变换, 4 ). D.2cos x

得到函数 y=1-2sin2x 的图像,则 f(x)可以是( A.sin x B.cos x C.2sin x

解析 运用逆变换方法:作 y=1-2sin2x=cos 2x 的图像关于 x 轴的对称图像 π? π ? 得 y=-cos 2x=-sin 2?x+ ?的图像,再向左平移 个单位得 y=f(x)·sin 4? 4 ?

x=-sin 2?x+ ?=sin 2x=2sin xcos x 的图像.∴f(x)=2cos x.
答案 D 5 . 电 流 强 度 I( 安 ) 随 时 间 t( 秒 ) 变 化 的 函 数 I = Asin(ω t + φ )(A>0 , ω >0,0<φ < ( ) B.5 安 D.10 安 π 1 ) 的图像如图所示,则当 t = 秒时,电流强度是 2 100

? ?

π? 2?

A.-5 安 C.5 3安

T 4 1 1 解析:由函数图像知 A=10, = - = . 2 300 300 100
∴T= 1 2π = ,∴ω =100π .∴I=10sin(100π t+φ ). 50 ω

1 ? 1 ? ? ? ,10?在图像上,∴10=10sin ?100π × +φ ? 又∵点? 300 ?300 ? ? ? π? π π π ? ∴ +φ = ,∴φ = ,∴I=10sin ?100π t+ ?. 6? 3 2 6 ? 当 t= 1 π? 1 ? + ?=-5. 时,I=10sin ?100π × 100 6 ? 100 ?

答案:A 6.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R,其中 ω >0,-π <φ ≤π .若 f(x) 的最小正周期为 6π ,且当 x= π 时,f(x)取得最大值,则( 2 ).

A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数

C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 1 π 解析 ∵f(x)的最小正周期为 6π ,∴ω = ,∵当 x= 时,f(x)有最大值,∴ 3 2 1 π π π π × +φ = +2kπ (k∈Z), φ = +2kπ (k∈Z), ∵-π <φ ≤π , ∴φ = . 3 2 2 3 3 ?x π ? ∴f(x)=2sin? + ?,由此函数图像易得,在区间[-2π ,0]上是增函数,而 ?3 3 ? 在区间[-3π ,-π ]或[3π ,5π ]上均不是单调的,在区间[4π ,6π ]上是单 调增函数. 答案 A 7.设函数 f(x)=cos ω x(ω >0),将 y=f(x)的图像向右平移 所得的图像与原图像重合,则 ω 的最小值等于( 1 A. 3 B.3 C.6 ). D.9 π? π ? 个单位长度后得到的是 f?x- ? 3? 3 ? π 个单位长度后, 3

解析 依题意得,将 y=f(x)的图像向右平移 π? ωπ ? ? ? ? =cos ω ?x- ?=cos?ω x- 3 3 ? ? ? ?

ωπ ? ωπ ? ? ? ?,而 cos ω x=cos?2kπ +ω x- ?(k 的图像,故有 cos ω x=cos?ω x- 3 ? 3 ? ? ? ωπ ? ? ?=2kπ (k∈Z), ∈Z),故 ω x-?ω x- 3 ? ? 即 ω =6k(k∈Z),∵ω >0,因此 ω 的最小值是 6. 答案 C 二、填空题 π 4π ? ? 8. 将函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0, <φ <π ?的图像,向右最少平移 个单位 2 3 ? ? 2π 长度, 或向左最少平移 个单位长度,所得到的函数图像均关于原点中心对称, 3 则 ω =________. 解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的 一半,则有

2π 1 ? 2π ? -?- ?=2π ,故 T=4π ,即 =4π ,ω = . 3 2 3 ω 2 ? ? 1 答案 2

T 4π


π π? ? 9.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图像上的两个相邻的 2 2? ? 最高点和最低点的距离为 2 2,则 ω =________. 解析:由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2,而 f(x)max-f(x)min=2,由 勾股定理可得 = 2 π 答案: 2 π? ? 10. 已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图像的 6? ? π? ? 对称轴完全相同.若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? π? ? 解析 由题意知 ω =2,∴f(x)=3sin?2x- ?, 6? ? π? π ? π 5 ? ? ? 3 ? 当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , π ?,∴f(x)的取 值范围是?- ,3?. 2? 6 ? 6 6 ? ? ? 2 ? 答案 ? 3 ? ?- ,3? ? 2 ? π 时有最 9

T

2

2

-22=2,∴T=4,∴ω =



T



π . 2

11.在函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的一个周期内,当 x=

π? 1 4π 1 ? 大值 ,当 x = 时有最小值- ,若 φ ∈ ?0, ? ,则函数解析式 f(x) = 2? 2 9 2 ? ________. 1 π 1 4π 解析 首先易知 A= ,由于 x= 时 f(x)有最大值 ,当 x= 时 f(x)有最小 2 9 2 9 π π? 1 2π 1 ?4π π ? ? ? 1 ? - ?×2= 值- , 所以 T=? , ω =3.又 sin?3× +φ ?= , φ ∈?0, ?, 9? 9 2? 2 3 2 ? 9 ? ? 2 ? 解得 φ = π? π 1 ? ,故 f(x)= sin?3x+ ?. 6? 6 2 ?

答案

π? 1 ? sin?3x+ ? 6? 2 ?

? ? π π ?? 12. 设函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,φ ∈?- , ??的最小正周期为 π , 且其 2 ?? ? ? 2 图像关于直线 x= π 对称,则在下面四个结论中: 12

π? ?π ? ?π ? ? ①图像关于点? ,0?对称; ②图像关于点? ,0?对称; ③在?0, ?上是增函数; 4 3 6? ? ? ? ? ? ? π ? ④在?- ,0?上是增函数.以上正确结论的编号为________. 6 ? ? 解析 ∵y=sin(ω x+φ )最小正周期为 π , ∴ω = ∴2× 2π π =2,又其图像关于直线 x= 对称, π 12

π π π +φ =kπ + (k∈Z),∴φ =kπ + ,k∈Z. 12 2 3

π? π ? π π? ? 由 φ ∈?- , ?,得 φ = ,∴y=sin?2x+ ?. 2? 3? 3 ? 2 ? 令 2x+ π kπ π =kπ (k∈Z),得 x= - (k∈Z). 3 2 6

π? ? ?π ? ∴y=sin?2x+ ?关于点? ,0?对称.故②正确. 3 3 ? ? ? ? 令 2kπ - π π π ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z),得 2 3 2

kπ -

5π π ≤x≤kπ + (k∈Z). 12 12

π? ? ∴函数 y=sin?2x+ ?的单调递增区间为 3? ? 5π π? ? ?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12? ? ? π ? ∵?- ,0? 6 ? ? 答案 ②④ 三、解答题 13.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x. 5π π? ? ,kπ + ?(k∈Z).∴④正确. ?kπ - 12 12? ?

π 个单位长度,再将周期扩大一倍,得到函数 g(x) 12 的图像,求 g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. cos2x+1 解析 (1)依题意 f(x)= 3sin2x+2· 2 π? ? = 3sin2x+cos2x +1=2sin?2x+ ?+1, 6? ? π? π? π ? ? 将 f(x)的图像向右平移 个单位长度,得到函数 f1(x)=2sin?2?x- ?+ ?+1 12? 6 ? 12 ? ? =2sin2x+1 的图像, 该函数的周期为 π , 若将其周期变为 2π , 则得 g(x)=2sinx +1. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T=π , π π π 当 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数单调递增, 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 3 6 π π? ? ∴函数的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 6? ? ?x π ? ?x π ? 14.已知函数 f(x)=2 3·sin? + ?cos? + ?-sin(x+π ). ?2 4 ? ?2 4 ? (1)将 f(x)的 图像向右平移 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图像向右平移 π 个单位,得到函数 g(x)的图像,求函数 g(x)在 6

区间[0,π ]上的最大值和最小值. 解析 (1) 因 为 f(x) = ? ? ? ? π? ? 3 sin ?x+ ? + sin x = 2? ? π? ? 3 cos x + sin x =

? 3 1 2? cos x+ sin 2 ?2

x?=2sin?x+ 3 ?,

所以 f(x)的最小正周期为 2π . (2)∵将 f(x)的图像向右平移 π 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6

π? π? π? π? π ?? ? ? ∴g(x)=f?x- ?=2sin??x- ?+ ?=2sin?x+ ?.∵x∈[0, π ], ∴x+ ∈ 6? 3? 6? 6? 6 ? ? ?? ?π 7π ? ? , ?, 6 ? ?6 ∴当 x+ π? π π π ? = ,即 x= 时,sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? 6 2 3 ?

当 x+

π? π 7π 1 ? = ,即 x=π 时,sin?x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1. 6 6 6 2 ? ? 值域 问题主要步骤有: ω x+φ +h 或 y=A ωx

【点评】 解决三角函数的单调性及最值

第一步: 三角函数式的化简, 一般化成 y=A +φ +h 的形式.

第二步:根据 sin x、cos x 的单调性解决问题,将“ω x+φ ”看作一个整体, 转化为不等式问题. 第三步:根据已知 x 的范围,确定“ω x+φ ”的范围. 第四步:确定最大值或最小值. 第五步:明确规范表述结论. π? ? 15. 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,0<φ < ?的部分图像如图所示. 2? ?

(1)求 f(x)的解析式; π ?? ? ? ? π π? (2)设 g(x)=?f?x- ??2,求函数 g(x)在 x∈?- , ?上的最大值,并确定此 12?? 3? ? ? ? 6 时 x 的值.

T π 2π π 3 解析 (1)由题图知 A=2, = ,则 =4× ,∴ω = . 4 3 ω 3 2
?3 ? π ? ? ? π? ? π ? 又 f?- ?=2sin? ×?- ?+φ ?=2sin?- +φ ?=0, ? 6? ? 4 ? ?2 ? 6 ? ? π? π π π π π ? ∴sin?φ - ?=0,∵0<φ < ,∴- <φ - < ,∴φ - =0,即 φ 4? 2 4 4 4 4 ? π = , 4 π? ?3 ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?2 π? π? π? π? ?3? ? ?3 (2)由(1)可得 f?x- ?=2sin? ?x- ?+ ?=2sin? x+ ?, 12? 4 ? 12? 8? ? ?2 ?2?

π? ? 1-cos?3x+ ? 4? π ?? π? ? ? ? ? ∴g(x)=?f?x- ??2=4× =2-2cos?3x+ ?, 12 4? 2 ? ? ?? ? π π 5π ? π π? ∵x∈?- , ?,∴- ≤3x+ ≤ , 3? 4 4 4 ? 6 ∴当 3x+ π π =π ,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4

16.已知直线 y=2 与函数 f(x)=2sin2ω x+2 3sinω xcosω x-1(ω >0)的图像 的两个相邻交点之间的距离为 π . (1)求 f(x)的解析式,并求出 f(x)的单调递增区间; π (2)将函数 f(x)的图像向左平移 个单位长 度得到函数 g(x)的图像, 求函数 g(x) 4 的最大值及 g(x)取得最大值时 x 的取值集合. 解析 (1)f(x)=2sin2ω x+2 3sinω xcosω x-1 π? ? =1-cos2ω x+ 3sin2ω x-1=2sin?2ω x- ?, 6? ? 2π 由题意可知函数的最小正周期 T= =π (ω >0),所以 ω =1, 2ω π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?, 6? ? π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + 其中 k∈Z, 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,其中 k∈Z, 6 3 π π? ? 即 f(x)的递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? π? π? π? ? ? ? ? (2)g(x)=f?x+ ?=2sin?2?x+ ?- ?=2sin?2x+ ?, 4? 6? 4? 3? ? ? ? ? 则 g(x)的最大值为 2, π? π? ? ? 此时有 2sin?2x+ ?=2,即 sin?2x+ ?=1, 3? 3? ? ? π π π 即 2x+ =2kπ + ,其中 k∈Z,解得 x=kπ + ,k∈Z, 3 2 12 ? ? ? π 所以当 g(x)取得最大值时 x 的取值集合为?x?x=kπ + , k∈Z?. 12 ? ? ?


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