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湖北省孝感高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


孝感高中 2016—2017 学年度高二下学期期中考试 数学(理)试题
考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合的) 1.命 题“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是( )
2

A. ?x ? R, x ? x ? 0


2

B. ?x ? R, x ? x ? 0
2

C. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” 球”

2

D. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 B .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑

2

2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 球” 3. 把 23 化成二进制数是( A.10111 ) C.10101

D. “至少有一个黑球”与“都是红

B.00110

D.11101

4. 对某同学的 6 次物理测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如 图所示,给出关于该同学物理成绩的以下说法:①中位数为 84; ②众数为 85;③平均数为 85; ④极差为 12.其中,正确说法的序号是 ( A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 5.设随机变量 X ? B ? 2, P ? ,随机变量 Y ? B ? 3, P ? ,若 P ? X ? 1? ? A. 2
5

)

5 ,则 D ? 3Y ? 1? ?( ) 9

B. 3

C. 6

D. 7

2 5 6. 设 ? 2 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a5 x ,那么

a0 ? a2 ? a4 的值为( ) a1 ? a 3
D. ?1

A. ?

122 121

B. ?

61 60

C. ?

244 241

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个共同的焦点 F ,两曲线的一 a 2 b2


个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为(

1

A. 3

B.2

C. 6

D.3 )

8.运行如图所示的程序框图,则输出的所有实数对 ? x, y ? 所对应的点都在函数( A.

f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的图象上
4 3

B. f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 的图象上 C. f ( x) ? x 的图象上 D. f ( x) ? 2 x ?1 的图象上 9.如图,将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 O 顺时针旋转 30 后, 构成一个斜坐标平面 xOy .在此斜坐标平面 xOy 中,点
?

P( x , y )的 坐标定义如下:过点 P 作两坐标轴的平行线,分别交两轴于 M 、 N 两点,则

M 在 Ox 轴上表示的数为 x , N 在 Oy 轴上表示的数为 y .那么以原点 O 为圆心的单位圆
在此斜坐标系下的方程为( A. x ? y ? xy ?1 ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2


N

y
P ( x, y )

B. x ? y ? xy ? 1 ? 0 C. x ? y ? xy ?1 ? 0 D. x ? y ? xy ? 1 ? 0
O
j

M

x

10. 甲乙两人各自在 300 米长的直线形跑道上跑步, 则在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50 米的概率是多少( A. ) . B.

1 15 11 C. D. 6 36 36 11.如果一个 n 位十进制数 a1a2 a3 ? an 的数位上的数字满足“小大小大 ? 小大”的顺序,即 满足: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? ,我们称这种数为“波浪数”;从 1,2,3,4,5 组成的 数字不重复的五位数中任取一个五位数 abcde,这个数为“波 浪数”的个数是( )
A.16 B.18 C.10 D.8

1 3

12.如图所示,圆 O 与离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 T : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相切于点 M (0,1) ,过点 a b 2

M 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,与两曲线分别交于点 A,C 与点 B,D
(均不重合). 若 P 为椭圆上任意一点,记点 P 到两直线的距离分别 为 d1 , d 2 ,则 d1 ? d 2 的最大值是( )
2 2

2

A.4

B.5

C.

16 3

D.

25 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上) 13.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用“五局三胜制”,即五局中先胜三局为赢,若每场比赛 甲获胜的概率是

2 1 ,乙获胜的概率是 ,则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________. 3 3

14. (1 ? x )6 (1 ? x )4 的展开式中 x 的系数是________. 15.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价 格进行试销,得 到如右数据: 单价 x (元) 销量 y (件) 归直线左下方的概率为 16.已知椭圆 . 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

? ? ?20 x ? a ? .若在这些样本点中任取一点,则它在回 由表中数据,求得线性回归方程为 y

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,若 a2 b2 ?? ? ? AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围 为 . ?6 4?

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题, 如果不放回地依次抽取 2 道题. 求: (1)第 1 次抽到理科题的概 率; (2)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到文科题的概率 18. (本小题满分 12 分)已知命题 p : “存在 x ? R,2 x 2 ? ( m ? 1) x ? 线 C1 :

x2 y2 ? ?1 m 2 2m ? 8

表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s : “曲线 线”. (1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.
4 5 19. (本小题满分 12 分)已知: An ? 40Cn , 设 f ( x) ? ( x ?

1 ? 0 ”,命题 q :“曲 2 x2 y2 C2 : ? ?1 m ? t m ? t ?1
表示双曲

(1 )求 n 的值;

(2) f ? x ? 的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可 ) ; ......
3

1 n ) . 3 x

(3)求 f ? x ? 的展开式中系数最大的项. 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点为 M . (1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点,求直线 l 的方程; (2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,求 ?OAB 的面积. 21. (本小题满分 12 分)为了调查学生晚上学习时间利用问题,某校从高二年级 1000 名学生(其 中走读生 450 名,住宿生 550 名)中,采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷调查,根据问 卷取得了这 n 名同学每天晚上学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组① ?0,30? ,

? p ? 0? 的焦点为 F ?1,0? ,抛物线 E : x2 ? 2 py

180,210? ,⑧ ?210,240? , ② ?30,60? , ③ ?60,90? , ④ ?90,120? , ⑤ ?120,150?, ⑥ ?150,180?, ⑦?
得到频率分布直方图如下,已知抽取的学生中晚上学习时间少于 60 分钟的人数为 5 人: (1)求 n 的值并补全下列频率分布直方图; (2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的 n 名学生,完成下列 2? 2 列联表: 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 据此资料,你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关? (3) 若在第①组、 第②组、 第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因, 记抽到“学 习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X ,求 X 的分布列及期望 ; 下面临界值表供参考. 10 利用时间 不充分 总计

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

参考公式: K ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,且点 P(1, ) 在 2 2 a b

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 椭圆 C 上, O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

( 2)设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围;
4

(3)过椭圆 C1 :

4 x2 y2 ? ? 1 上异于其顶点的任一点 P ,作圆 O : x 2 ? y 2 ? 的两条切 2 5 a 3 b2 ? 3

线,切点分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) ,若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m 、

n ,证明:

1 1 ? 2 为定值. 2 3m n

5

孝感高中 2016—2017 学年度高二下学期期中考试 数学(理)试题参考答案 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 A 10 D 11 A 12 C

13.

8 27 1 3

14.

-3

15.

16. [

2 , 3 ? 1] 2

17. 解: (1)

????5 ????5

(2)

18.解: ?????????? 2

?????????? 4

?????????? 6 ??8

??10

??????????????12

6

19. 解:

??2

??7 ??8

??10

?????????12

20.解: ??6 (2) ??8 ??12

21.解:

7

????????4

k2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
??8

3 2 C5 C5 1 ? 5 C10 12

22.解: (1)由题意得: c ? 1 所以 a ? b ? 1
2 2

8

????3 (2)

????5

????7

????8 (3)

????9

????10

9


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