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高三数学第一轮复习课时作业(31)数列的综合应用


课时作业(三十一)

第 31 讲

数列的综合应用

时间:45 分钟

分值:100 分

基础热身 2 1.2012·惠州调研 “lgx,lgy,lgz 成等差数列”是“y =xz”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.2011·德州二模 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-18,S13=-52,等比数列{bn}中,b5=a5, b7=a7,那么 b15 的值为( ) A.64 B.-64 C.128 D.-128 3.2011·珠海综测 设正项等比数列{an},{lgan}成等差数列,公差 d=lg3,且{lgan}的前三项和为 6lg3, 则数列{an}的通项公式为( ) n n-1 A.nlg3 B.3 C.3n D.3 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为( ) 1 1 A.2 B.3 C. D. 2 3 能力提升 5.2011·忻州联考 成等比数列的三个数 a+8,a+2,a-2 分别为等差数列的第 1、4、6 项,则这个等 差数列前 n 项和的最大值为( ) A.120 B.90 C.80 D.60 3 5 * 6.2011·南平质检 已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x),x∈R,且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N )的 2 2 前 20 项的和为( ) A.305 B.315 C.325 D.335 7.2011·大连双基检测 已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 Sn,若 a1>1,a4>3, 1 99 S3≤9,设 bn= ,则使 b1+b2+?+bn< 成立的最大 n 值为( ) nan 100 A.97 B.98 C.99 D.100

图 K31-1 8.2011 年,我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图 K31-1, 在区域{(x,y)|x≥0,y≥0}内植树,第一棵树在点 A1(0,1),第二棵树在点 B1(1,1),第三棵树在点 C1(1,0), 第四棵树在点 C2(2,0), 接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树, 那么第 2011 棵树所在的点的坐标是( ) A.(13,44) B.(12,44) C.(13,43) D.(14,43) 9.2011·陕西卷 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米, 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树 苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.①和? B.⑨和⑩ C.⑨和? D.⑩和? 2x-1 f(n+1) 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,f(x)= ,an=log2 ,则 S2011=________. x+1 f(n)

11. 2011·菏泽二模 已知 an=2n-1(n∈N+), 把数列{an}的各项排成如图 K31-2 所示的三角数阵, S(m, 记 n)表示该数阵中第 m 行中从左到右的第 n 个数,则 S(10,6)对应数阵中的数是________. 1 5 9 11 13 15 17 19 ?? 图 K31-2 7 3

图 K31-3 12.2011·丰台二模 如图 K31-3 所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1,以 A 为圆心,AD 长为半径画弧, 交 BA 的延长线于 P1,然后以 B 为圆心,BP1 长为半径画弧,交 CB 的延长线于 P2,再以 C 为圆心,CP2 长为半径 画弧,交 DC 的延长线于 P3,再以 D 为圆心,DP3 长为半径画弧,交 AD 的延长线于 P4,再以 A 为圆心,AP4 长为 半径画弧,?,如此继续下去,画出的第 8 道弧的半径是________,画出第 n 道弧时,这 n 道弧的弧长之和为 ________. 13.2011·绍兴质检 已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,数列{xn}是一个公差为 2 的等差数列,满 足 f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则 x2011 的值等于________. 14.(10 分)2011·江门调研 某旅游景点 2010 年利润为 100 万元,因市场竞争,若不开发新项目,预测 从 2011 年起每年利润比上一年减少 4 万元.2011 年初,该景点一次性投入 90 万元开发新项目,预测在未扣除 1 开发所投入资金的情况下,第 n 年(n 为正整数,2011 年为第 1 年)的利润为 100?1+ n?万元. ? 3? (1)设从 2011 年起的前 n 年,该景点不开发新项目的累计利润为 An 万元,开发新项目的累计利润为 Bn 万元 (须扣除开发所投入资金),求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,该景点从第几年开始,开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润?

15.(13 分)2011·合肥一中月考 已知直线 l 的方程为 3x-2y-1=0,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an, Sn)在直线 l 上. (1)求数列{an}的通项公式; n(2Sn+1) bn (2)bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 f(n)= (n∈N+)的最大值. an Tn+24

难点突破 16.(12 分)2011·荆州质检

某市为了解决交通拥堵问题,一方面改建道路、加强管理,一方面控制汽车

总量增长,交管部门拟从 2012 年 1 月起,在一段时间内,对新车上牌采用摇号(类似于抽签)的方法进行控制, 制定如下方案:①每月进行一次摇号,从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中,摇出当月上牌 的用户,摇到号的用户不再参加以后的摇号;②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号,不必也不 能重复申请,预计 2012 年 1 月申请车牌的用户有 10a 个,以后每个月又有 a 个新用户申请车牌.计划 2012 年 * 1 月发放车牌 a 个,以后每月发放车牌数比上月增加 5%.以 2012 年 1 月为第一个月,设前 n(n∈N )个月申请车 16 牌用户的总数为 an,前 n 个月发放车牌的总数为 bn,使得 an>bn 成立的最大正整数为 n0.(参考数据:1.05 = 17 18 2.18,1.05 =2.29,1.05 =2.41) (1)求 an、bn 关于 n 的表达式,直接写出 n0 的值,说明 n0 的实际意义; * (2)当 n≤n0,n∈N 时,设第 n 个月中签率为 yn,求证:中签率 yn 随着 n 的增加而增大. ?第n个月中签率= 第n个月发放车牌数 ? 第n个月参加摇号的用户数? ?

课时作业(三十一) 【基础热身】 2 2 1.A 解析 若 lgx,lgy,lgz 成等差数列,则 2lgy=lgx+lgz,即 lgy =lgxz,则 y =xz, 2 若 y =xz,当 x,z 都取负数时,lgx,lgz 无意义. 2.B 解析 设等差数列{an}的公差为 d,则

?S =9a +9×8d=-18, 2 ? 13×12 ?S =13a + 2 d=-52,
9 1 13 1 2

解得?

? ?a1=2, ? ?d=-1,

∴b5=a5=a1+4d=-2,b7=a7=a1+6d=-4, 设等比数列{bn}的公比为 q,则 q = =2,

b7 b5

b15=b7q8=-4×24=-64. 3.B 解析 依题意有 3lga1+3lg3=6lg3,即 a1=3. 设等比数列{an}的公比为 q,则 a2 q= ,lgq=lga2-lga1=d=lg3,解得 q=3, a1 n-1 n 所以 an=3×3 =3 .
1 2 解析 设公比为 q,又 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q ),解得{an}的公比 q= . 3 【能力提升】 5.B 解析 由 a+8,a+2,a-2 成等比数列,得 2 (a+2) =(a+8)(a-2),解得 a=10, 设等差数列为{an},公差为 d,则 a1=18,a4=12,a6=8, ∴2d=a6-a4=-4,d=-2, 则这个等差数列前 n 项和为 n(n-1) Sn=18n+ ×(-2) 2 19 2 192 2 =-n +19n=-?n- ? + , ? 2? 4 ∴当 n=10 或 n=9 时,Sn 有最大值 90. 3 3 5 20×19 6. 解析 由已知 f(x+1)-f(x)= , D 则数列{f(n)}是等差数列, 公差为 , 其前 20 项和为 20× + 2 2 2 2 4.D 3 × =335. 2 7.B 解析 由 a4>3,S3≤9,得 a1+3d>3,且 3a1+3d≤9, ∴3-a1<3d≤9-3a1,2a1<6,则 a1<3,即 1<a1<3. ∵首项 a1 及公差 d 都是整数, ∴a1=2,1<3d≤3,则 d=1, ∴等差数列{an}的通项公式为 an=2+(n-1)×1=n+1, 1 1 1 则 b n= = - , n(n+1) n n+1 1 1 1 1 1 ? 1 b1+b2+?+bn=?1- ?+? - ?+?+? - =1- , 2? ?2 3? n n+1? n+1 ? ? 1 99 由 1- < ,得 n<99,即 n 的最大值为 98. n+1 100 8.A 解析 OA1B1C1 设为第一个正方形,种植 3 棵树,依次下去,第二个正方形种植 5 棵树,第三个正方形 43×42 种植 7 棵树,前 43 个正方形共有 43×3+ ×2=1935 棵树,2011-1935=76,76-44=32,45-32=13, 2 因此第 2011 棵树在(13,44)点处. 9.D 解析 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边,则每个人所走的路程和最小,一共 20 个坑,

为偶数,在中间的有两个坑为 10 和 11 号坑. 1341 2n-1 2n-1 10.log2 +1 解析 由已知,得 f(n)= ,log2f(n)=log2 , 671 n+1 n+1 f(n+1) ∴an=log2 =log2f(n+1)-log2f(n), f(n) ∴Sn=a1+a2+?+an =log2f(2)-log2f(1)+log2f(3)-log2f(2)+?+log2f(n+1)-log2f(n) =log2f(n+1)-log2f(1), 2×2011+1 1 1341 则 S2011=log2 -log2 =log2 +1. 2012+1 2 671 11.101 解析 观察知每一行的第一个数构成数列:1,3,7,13,21,?,相邻两项构成递推关系:a(m+1,1)= a(m,1)+2m,所以 a(10,1)=a(9,1)+18=a(8,1)+16+18=a(7,1)+14+34=a(6,1)+12+48=a(5,1)+10+60=a(4,1)+8+70= 13+78=91,即第 10 行的第一个数为 91,所以第 10 行第 6 个数为 101. n(n+1)π 12.8 解析 从第一道弧开始,半径依次为 1,2,3,4,?,并且从第二道弧开始,每一道弧的 4 π π π π 半径比前一道弧的半径大 1,所以第 8 道弧的半径为 8.弧长依次为 ×1, ×2, ×3,?, ×n,所以弧 2 2 2 2 π n(n+1)π 长之和为 ×(1+2+3+?+n)= . 2 4 13.4 003 解析 设 x8=m,则 x9=m+2,x10=m+4,x11=m+6,且 x8+x11=x9+x10, ∴f(m)+f(m+2)+f(m+4)+f(m+6)=0, 且 f(m)<f(m+2)<f(m+4)<f(m+6), ∴f(m)<0,f(m+6)>0. 若 m 与 m+6 关于原点不对称,则 m+2 与 m+4 也关于原点不对称, ∵f(x)是奇函数,即 f(-x)=-f(x), ∴f(m)+f(m+2)+f(m+4)+f(m+6)≠0,矛盾, ∴m 与 m+6 关于原点对称,则 m+2 与 m+4 关于原点对称, 则 m=-3,x8=-3,x2011=x8+(2011-8)×2=4003. 14.解答 (1)依题意,An 是首项为 100-4=96,公差为-4 的等差数列的前 n 项和, n(n-1) 2 所以 An=96n+ ×(-4)=98n-2n ; 2 1 1- n 3 ? 1 ? 1 100 数列?100?1+ n??的前 n 项和为 100n+ × =100n+50?1- n?, 3 1 ? 3 ?? ? 3? ? 1- 3 1 50 Bn=100n+50?1- n?-90=100n-40- n . 3? 3 ? 50 50 2 2 * (2)由(1)得,Bn-An=?100n-40- n ?-(98n-2n )=2n+2n -40- n ,Bn-An 是数集 N 上的单调递增数列, 3? 3 ? 50 观察并计算知 B4-A4=- <0,B5-A5>0,所以从第 5 年开始,开发新项目的累计利润超过不开发新项目的 81 累计利润. 15.解答 (1)由题意知 3an-2Sn-1=0,① 则 3an+1-2Sn+1-1=0,② ②-①得 an+1=3an, 所以数列{an}是公比为 3 的等比数列. 由 3a1-2S1-1=0,得 a1=1, n-1 所以 an=3 . n(2Sn+1) (2)由①知,2Sn=3an-1,所以 bn= =3n,

an

n(a1+an) 3n +3n Tn= = .
2 2

2

bn 3n f(n)= = Tn+24 3n2+3n
2



+24

2n = n2+n+16

n+

2 16

n

2 ≤ . 9 +1

16 当且仅当 n= ,即 n=4 时,等号成立.

n

2 所以 f(n)的最大值为 f(4)= . 9 【难点突破】 16.解答 (1)an=10a+(n-1)a=(n+9)a,bn=

a(1-1.05n)
1-1.05

=20a(1.05 -1),

n

由 an>bn 得,n0=17, 说明第 17 个月以后,该项政策可以取消,不需要摇号就可以直接上牌. 1 (2)证明:当 n=1 时,y1= , 10 n-1 bn-bn-1 1.05 * 当 1<n≤17,n∈N 时,yn= = , an-bn-1 n+29-20·1.05n-1 n-1 1.05 * ∴yn= (n∈N ,n≤17), n+29-20·1.05n-1 * 当 2≤n≤17,n∈N 时, 1 1 n+29 (n-1)+29 n+29-1.05(n+28) -0.05n-0.40 - = - = = <0, n-2 n-1 n-1 yn yn-1 1.05n-1 1.05 1.05 1.05 1 1 ∴ < ,

yn yn-1 n∈N*,n≤17 时,an>bn,∴an-an-1>bn-bn-1>0, ∴0<yn<1, ∴yn>yn-1, 所以 y1<y2<?<y17,即 yn 随着 n 的增加而增大.


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