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与中学物理竞赛有关的静力学知识及试题


与中学物理竞赛有关的静力学知识及试题 知识准备 1、重力:由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力。重力是地球对物体的万有引力在 垂直当地水平面的一个分力, 尤有引力的另一个指向地轴的分力为物化随同地球自转提供向 心力。 一个物体的各部分受到地球对它的重力可以认为集中在一点, 这一等效的作用点叫做物 体的重心。 重心不一定在物体上, 也不一定在物体的几何中心上。 求物体的重心有许多方

法: (1)如果物体是一个平面,可以用悬持法确定物体的重心。如果物体由几个部分组成,且每 一个部分的重心容易求得,则由下面的公式求得整个物体的重心。其方法是:(1)先建立一 个 直 角 坐 标 系 , 各 部 分 的 质 量 分 别 为 : m1 、 m2 、 m3 、 … … , 它 们 的 坐 标 分 别 为

? x1, y1, z1 ? , ? x2 , y2 , z2 ? ,
? ? m x ? m2 x2 ? ? xc ? 1 1 m1 ? m2 ? ? ? ? m1 y1 ? m2 y2 ? ? ? yc ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? z ? m1 z1 ? m2 z2 ? ? c m1 ? m2 ? ? ?

, ? xn , yn , zn ? ,则物体的重心(或质心)坐标为为:
mx ? mn xn ? i i ? ? mn m my ? mn yn ? i i ? ? mn m mz ? mn zn ? i i ? ? mn m

2、弹力:A、发生弹性形变的物体,会对迫使它形变的物体产生力的作用,这种力叫 弹力。弹力的方向:刚体间的弹力与接触面垂直(即沿接触面的法线方向) ,且由接触面指 向受力物体所在的一方;B、柔软的绳索对其他物体的作用力,沿绳且指向绳的收缩方向。 在弹性限度以内,弹性体的产生的弹力与弹性形变成正比(胡克定律) ,即 F=kx,式中的 k 为弹性体的劲度系数。(由弹性体的自身性质决定)。C、能发生明显形迹变的弹性体,在外
1

界条件突然变化时,弹力的大小和方向不能产生瞬时突变。而无明显形变的弹性体,它产生 的弹力的大小和方向能发生瞬时突变。 3、摩擦力:当一个在另一个物体的表面上有相对运动或有相对运动趋势时,会产生阻 碍两物体间的相对运动(或阻碍相对运动趋势)的力,叫滑动摩擦力(或叫做静摩擦力)。 (1)静摩擦力:产生条件:接触、接触面处有弹性形变、接触面粗糙,接触面间存在相 对运动趋势。静摩擦力的方向总是和接触面相切,并且跟相对运动趋势方向相反,其大小和 相对运动趋势方的强弱有关,运动趋势越强,静摩擦力越大,但不得超过最大静摩擦力(即 物体间刚好开始滑动时受到的摩擦力),如果最大静摩擦力用 fm 表示,静摩擦力的大小满足

0 ? f ? f m 。实验表明最大静摩擦力与接触面间的正压力 N 成正比,与接触面的粗糙程度、
材料性质、和接触面上有无润滑剂有关。 f m ? ?0 N ,其中 ?0 叫静摩擦因数。 (2)滑动摩擦力:两外接触面粗糙的物体相互接触且有相对运动时,两物体间可能存在 滑动摩擦力, 其方向和物体间的相对运动方向相反。 实验研究表明: 其大小 f ? ? N ,其中 N 为正压力, ? 为动摩擦因数。一般情况下 ? 略小于 ?0 。但在中学阶段解题时,常将其视为 相等。 (3)摩擦角,如果一个角 ? 的正切值等于摩擦因数 ? ,即

R

N

? ? tan ? ,则这个角 ? 称为摩擦角。对动摩擦因数 ? ,称为
滑动摩擦角,记为 ? ;对静摩擦因数 ?0 ,称为静摩擦角,记 为 ?0 ;如图一所示,接触面的正压力 N 与摩擦力 f 的合力 R 称为全反力。N 和 f 总是互相垂直的,对滑动摩擦力,全反力 R 与 N 的夹角 ? 满足 tan ? ? 静摩擦角 f 图一 θ

f ? ? ,图中的 ? 角等于摩擦角 ? ,即 ? ? ? 。 N

?0 : 对 于 最 大 静 摩 擦 力 , 对 于 静 摩 擦 力 总 有 f ? f m , 因 此 ,

tan ??

f f ? m ? ?s ? t a ?n s ,这时图中 ? 角小于等于静摩擦角 ?s ,则表明两人个物体保 N N
2

持相对静止。 4、物体的平衡及平衡条件 一个物体既可以做平动,也可以做转动。如果一个物体保持静止,或做匀速直线运动或 匀速转动,我们就说物体处于平衡状态,作用在物体上的力必须满足平衡条件。 (1) 共点力作用下保持静止或做匀速直线运动, 那么物体就处于平衡状态。 实验研究表

?? Fx ? 0 ? 明在共点力作用下物体的平衡条件是合力等于零: ? F ? 0 ?? Fy ? 0 , ? ?? Fz ? 0
如果物体在三力作用下处于平衡状态, 一般可以由任意两个力的合力与第三个力等大反 向来解(可利用的数学知识:直角三角函数、勾股定理、正统定理和相似三角形对应元素成 比例等数学知识求解。

?? Fx ? 0 ? 5、有固定转动轴的物体的平衡条件为: ?? Fy ? 0 ? ?? M z ? 0(对任意的Z 轴)
应用物体的一般平衡条件时须注意 : (1) 此条件成立的条件是物体所受的所有外力均在同一平面内。(2)当所有力对某一点 的力矩代数和为零时,对任一点的力矩代数和都等于零。因此方程 ? M=0 对任 意一个转动轴都成立。(3)取不同转动轴时建立方程时,要注意分析一个力对该 轴的力臂以及物体的转动方向;同一个力对不同的转动轴,产生的力矩的正、 负和力臂的大小均可能不同。 (4)依次取不同的转轴可以列出多个力矩平衡方程, 但对处于平衡的物体而言,独立的方程只有三个,只能解出三个末知数。通常 情况下列二个力矩平衡方程是没有必要的, 但在某些情况下会使解题非常方便。 在 列 两 个 以 上 的 力 矩 方 程 时 注 意 : 如 列

? O、O? 的连线不可与 x ? Fx =0, ? Mz ? 0(对O轴), ? M? z =0(对O 轴) ,则
3

? ? 0 ,? M z ?? ? 0 ,? M z ?? ? 0 ,则 O、 O ?、 O? 三 轴垂直; 如列 ? Fx ? 0 ,? M z
者不在同一直线上。 6、力偶 两个大小相等方向相反而不在同一直线上的力,叫做力偶。力偶的合力等于零,因此力偶的 作用是使物体只发生转动而不发生平动。如图,力偶的两个力对任一点 O 的力矩代数和是

M=FL+F ? d-L? ? Fd 。其中 d 是力偶的两个力之间的距离,叫力偶臂。力偶的一个力和力
偶臂的乘积 Fd 叫做力偶矩。 题一(2003 交大提前招生题):有一半径为 0.2m 的圆柱绕竖直轴 oo ? 以 9rad/s 的角速 度 ?0 匀速转动,今用水平力 F 把质量为 m 为 1kg 的物体 A 压在圆柱体的侧面,由于受挡 板上竖直的光滑的槽的作 用,物体 A 在水平方向上不 O 能随圆柱体转动,而以 2.4m/s 的速率 v0 匀速下滑, 如图二所示,若物体 A 与圆 柱体间的动摩擦因数 挡 板 F mg O

?0

f

?0 r
R

N1

A

v0

v

? ? 0 . 2,试求水平推力 5 F
的大小(g=10m/s2).

o?
图二 图三

解:如图二所示,在垂直柱面的方向上有 N=F ,物体相对圆柱面的速度为 V ,则
2 v ? v0 ? ??r ? ? 2.42 ? ? 9 ? 0.2? m / s ? 3m / s ,物体所受的滑动摩擦力的方向跟相 2 2

对运动速度 v 的方向相反,如图三所示, N1 为光滑槽的作用力。由物体的平衡条件得

f cos ? ? mg , 又 f ? ? N ,cos ? ? mg , 又 f ? ? N ,

co ? s?

v0 2 . 4 ? ? v 3

0 .8 , 故

F?N?

mg 1? 1 0 ? N ? 50 N 。 ? cos ? 0.25 ? 0.8
4

题二:一吊桥由六对钢管悬吊着,六根钢杆在桥面上分列成两排,其上端挂在两根钢缆 上,如图四所示为其一截面图,已知图中相邻两钢杆间距离为 9m,靠桥面中心的钢杆长度 为 2m( 即 AA? ? DD? ? 2m ) , F 450 C B A D E F

F 450

BB ? ? EE ? , CC ? ? PP? ,又已知两
端钢缆与水平 面成 450 角。 若钢杆自 重忽略不计,为使每根钢杆承受负荷 相同,试求每根钢杆长度各为多少 米?

C?

B?

A?
图四

D?

E?

F?

F 解:由对称性可知,AD 沿水平方向,设作 450 用于 C 点的外力为 F,则其竖直分量与水平分 量相等,均为 C

?2
T

2 F ,研究 ABC 段钢缆受力, 2

2 F 6
图五

由 水 平 方 向 平 衡 , 可 知 AD 中 张 力 大 小 为

2 F 。由整体分析, 2F sin 450 ? G桥 ,桥重 G桥 = 2F 。由整体分析,2Fsin450=G 桥, 2
而每根钢杆张力为

2 F。 6
2 ? F? 6 ? 1 BB? ? AA? , ? ? A?B? 2 ? 3 F? 2 ?

? ? ? 对 A 分析,设 AB 与水平 方向的夹角为 ?1 ,则 tan ?1 ? ? ? ?
解得 BB? ? AA? ? 3m ,即 BB? ? EE ? ? 5m 。

对 C 分析,如图四所示,设 BC 与水平方向的夹角为 ? 2 ,则 Fcos 450 ? T cos ?2 ,

F sin 450 ?

2 CC ? ? BB? 2F ? T sin ? 2 ,由以上两式得 tan ? 2 ? ? , CC ? ? BB? ? 6m 即 3 C ?B? 6

CC ? ? PP? ? 11m 。
5

题三:(2209 年清华处主招生题)如图六(a)所示,三根重均为 G、长均为 a 的相同均匀 木杆(其直径 d

a )对称地靠在一起,三木杆底端间十多位相距 a,求(1)A 杆端所受的作用

力的大小和方向;(2)若有重为 G 的人坐在三杆的顶端,则 A 杆顶端所受的作用力的大小和 方向如何?(设杆和地面韹摩擦系数为 ? =0.5 F F

2 a 3

N G f (C)

G 3

?

G

a 3
(b)

(a)

图六

解:由于(1)、(2)两问中情况完全对称,所以每杆顶端所受的作用力 F 应该在同一水平 面上,且互交成 1200 角。 (1) 如图六中(b)所示,由杆的力矩平衡: F 注意:杆与地面的夹角 ? ? 60
0

2 a G 2 ,解得: F ? a?G ? G 3 4 2 3 2 2

(2) 如图(C)所示,重为 G 的人坐在杆的顶端后, 每杆所受压力为

G ,由杆的力矩平衡: 3

F

2 G a a 5 a? ?G , F? 2G 3 3 3 12 2 3
4 2 G? G 。 因 为 3 3

注 意 : 这 地 面 对 杆 最 大 静 摩 擦 力 f m ? ? N ? 0.5 ?

f ?F?

5 2 2G ? G ,所以坐人后三根杆仍保持平衡。 12 3

题四:一端放在地面上,另一端靠在竖直墙上的均匀梯子。梯与地面、墙的动摩擦因数 分别为 ? 1 、 ?2 ,求梯子平衡时与地面所成的最小夹角。 解:分析:梯子共受五个力作用:mg、N1、 f1 ? ?1 N1 、N2、 f 2 ? ?2 N2 五个力的作
6

用,如图七(甲图)所示,当 A、B 两处的摩擦力都达到滑动摩擦力时, ? 最小。根据一般物 体的平衡条件或摩擦角的 概念均可求解。 [ 方法一 ] 根据一般物 体的平衡条件: 在水平方向上: N1 θ A f1 甲 图七 O mg C N2 P R2 N2 O f2 B

f2 B

?1

N 1 R1 mg A f1

?2

C 乙

N2 ? ? N1

(1)

在竖直方向上:

mg ? N1 ? ?2 N2

(2)
1 l cos ? ? ?1 N1l cos ? ? N1l cos ? 2 (3)

以 B 为轴建立转动平衡方程: mg

联立(1)、(2)、(3)式解之得 ? ? arctan

1 ? ?1?2 ,此即梯子与地面的最小夹角。 2?1

[方法二]设 A、B 两处的全反力 R1、R2 方向与该处法线方向的夹角分别为 ?1、?2 ,那 么梯子受到的力 mg、R1 和 R2 不平行,必定交于一点 P,如图七(乙图)所示。 则有: tan ?1 ? ?1 ,

tan ?2 ? ?2 。由几何关系得:

tan ? ?

? 1 ? ?1?2 BC PH PE 1 1 1 ? ? ? cot ?1 ? tan ?2 ? ? 2? 2 2?1 2 2?1 AC 2 AH 2BE 2
1 ? ?1?2 2?1

所以梯子与地面所成的最小夹角为: ? min ? arctan

以上两种解法,方法一注重物理情景,方法二强调几何关系,最好都能掌握。 题五:一根均匀的细木杆长为 l0 ,重力为 G0,密度为 ?0 ,为使杆能保持竖直方位,稳 定地悬浮在密度为 ? 的某液体中(上端露出液面,应在杆的下端粘上一小铁块。求此铁块必 须满足的条件。该傀块可视为质点,如图八所示。 解:可先用极端法讨论铁块重力范围,G 不能太大,否则整个杆会沉至水底;G 也不能
7

太小,否则杆会倾斜,乃至于浮出水面。杆、铁 块为一系统,它受 G0、G 及 F 浮作用而平衡, F 浮作用在杆浸于液体部的中心位置, 即所谓 “浮 心” 。假设杆偏离竖直方向一个很小的角度 ? , 根据一般物体的平衡条件即可求解。 木杆全部浸入水中时所受的浮力为:

A θ

F浮

G0

B

G 图八

F ? ? gV ? ? g

G0 ? ? G0 ?0 g ?0

(1)

要使木杆上端露出水面, ,必须满足折条件是:

F ? G0 ? G

(2)

联立(1)、(2)两式得

? ? ? G ? ? ? 1 ? G0 ? ?0 ?
设浸入水中的木杆长为 l ,则这时木杆受到的浮力为:

F?
其中

l? l0 ?0

G0

(3)

F ? G0 ? G

(4)

假设这时木杆受到一个微波的扰动而偏离竖直方向 ? 角,如图八所示。以木杆上端 A 为转轴,当冷子管时针方向的力矩小于顺时针方向的力矩时,杆可回到竖直位置,属于稳定 平衡,因此: G0

1 l? ? l sin ? ? G0l0 sin ? ? F ? l0 ? ? sin ? 2 2? ?

(5)

联立(4)和(5)式得: G0l ? Gl ? G0l0 联立(3)、(4)两式得 l ?

(6)
(7)

?0 ?lG l0 ? 0 0 ? ? G0

8

将(7)式代入(6)式得: G ? ?

? ? ? ? 1 ? ? ? ? G0 0 ? ?

综上所述,满足题设条件的铁块重力应该是:

? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? G0 ? G ? ? ? ? ? G0 0 ? ?0 ? ? ?
小结:要注意体会本题所体现出来的思维方式,先定性,后定量。即先以极端法分析出 铁块的重力范围,尔后再作定量分析,再者根据解题需要设定必要的中间过渡参量,如 ? 、

l 等,在后面的解题过程中会自然消去。

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