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2012.2.3.1变量间的相关关系


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2.3.1变量间的相关关系

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一.变量间关系

1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种 数量形式.对于两个变量, 如果当一个变量的取值 一定时,另一个变量的取值被唯一确定,则这两 个变量之间的关系就是一个函数关系.
2. 在中学校园里,有这样一种说法: “如果你的 数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大 问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数 学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和 物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间 的关系是函数关系吗?

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(一) :变量之间的相关关系

思考 1:考察下列问题中两个变量之间的关系, 想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数 关系吗?
(1)商品销售收入与广告支出经费;
(2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄.

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(一) :变量之间的相关关系
思考 2:上述两个变量之间的关系是一种非确定 性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义 如何?

自变量取值一定时,因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相 关关系.

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二:函数关系与相关关系之间的区别与联系.

1. 函数关系中的两个变量间是一种确定性 关系;相关关系是一种非确定性关系.
2. 函数关系是一种因果关系而相关关系不 一定是因果关系,也可能是伴随关系.
3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系, 在一定条件下可以互相转化.

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例 1 在下列两个变量的关系中,哪些是相 关关系? ①正方形边长与面积之间的关系; ②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

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练习 1 已知下列变量,它们之间的关系是函数关系 的有 ① ,是相关关系的有 ② ③ .
①已知二次函数 y=ax +bx+c, 其中 a、 c 是已知 常数,取 b 为自变量,因变量是这个函数的 2 判别式△=b -4ac; ②光照时间和果树亩产量; ③每亩施用肥料量和粮食产量.
2

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三:散点图

【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研 究中,研究人员获得了一组样本数据:
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群 脂肪含量的样本平均数.

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年龄 脂肪 年龄 脂肪

23 9.5 53 29.6

27 17.8 54 30.2

39 21.2 56 31.4

41 25.9 57 30.8

45 27.5 58 33.5

49 26.3 60 35.2

50 28.2 61 34.6

思考 1:观察上表中的数据,大体上看,随着 年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化?
思考 2: 以 x 轴表示年龄, y 轴表示脂肪含量, 你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图 形吗?

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脂肪含量

40 35
30 25 20 15 10 5 0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

年龄

上图叫做散点图,
在平面直角坐标系中,表示具有相关关 系的两个变量的一组数据图形,称为散点图.

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脂肪含量

40 35
30 25 20 15 10 5 0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

年龄

在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右 上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我 们将它称为正相关.

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负相关: 一个变量随另一个变量的变大而 变小, 散点图中的点散布在从左上角到右下角 的区域.

你能列举一些生活中的变量成正相关或负相 关的实例吗?

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例 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 和房屋的面积的数据:
房屋面积 61 70 115 110 80 135 105 m2 销售价格 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (万元)

画出数据对应的散点图,并指出销售价格 与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.

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售价 35 30 25 20 15 10 5 面积 50 正相关 100 150

0

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练习2. 今有一组试验数据如下表所示:现准 备用下列函数中的一个近似地表示这些数据 满足的规律,其中最接近的一个是( C )

x y
2

1.99 3.0 1.5 4.04

4.0 7.5

5.1 6.12 12 18.01

A. y=log2x

B. y=2x
D. y=2x-2

x ?1 C. y ? 2

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