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2016理科高考压轴大题突破练(二)


姓名:________ 高考压轴大题突破练

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(二)直线与圆锥曲线(2)
x2 y2 1.已知 B 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,F 是椭圆右焦点,且 a b 3? BF⊥x 轴,B? ?1,2?. (1)求椭圆 E 的方程;

(2)设 A1 和 A2 是长轴的两个端点,直线 l 垂直于 A1A2 的延长线于点 D,|OD|=4,P 是 l 上异 → → 于点 D 的任意一点.直线 A1P 交椭圆 E 于 M(不同于 A1,A2),设 λ=A2M· A2P,求 λ 的取值 范围.

p 2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=- (p>0).若抛物线 C:y2=2px 上的点到直线 2 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若以抛物线 C 上任意一点 M 为切点的直线 l 与直线 l2 交于点 N, 试问在 x 轴上是否存在定

点 Q,使点 Q 在以 MN 为直径的圆上?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

x2 y2 3 3.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; (2)过点(10,0)作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点在直线 y=x-1 上,求 l 的 方程.

x2 y2 2 4.(2015· 四川)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭 a b 2 圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2. (1)求椭圆 E 的方程; |QA| (2)在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q, 使得 = |QB| |PA| 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. |PB|

答案精析
高考压轴大题突破练

(二)直线与圆锥曲线(2)
1.解 (1)依题意得半焦距 c=1,设左焦点为 F′, 3 ∴|FF′|=2c=2,又∵|BF|= ,BF⊥x 轴, 2 5 ∴在 Rt△BFF′中,|BF′|= BF2+FF′2= , 2 ∵2a=|BF|+|BF′|=4,∴a=2. ∴b2=a2-c2=22-12=3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知,A1(-2,0),A2(2,0). 设 M(x0,y0). 3 2 ∵M 在椭圆 E 上,∴y2 0= (4-x0). 4 6y0 由 P,M,A1 三点共线可得 P?4,x +2?. ? ? 0 6y0 → → ∴A2M=(x0-2,y0),A2P=?2,x +2?.

?

0

?

5 → → ∴A2M· A2P=2(x0-2)+ = (2-x0), x0+2 2 → → ∵-2<x0<2,∴λ=A2M· A2P∈(0,10). 2.解 (1)当直线 l1 与抛物线无公共点时, p 由题意知 l2 为抛物线 C 的准线,抛物线焦点坐标为 F( ,0). 2 由抛物线定义知,抛物线 C 上的点到直线 l2 的距离等于其到焦点 F 的距离, 所以抛物线 C 上的点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值转化为焦点 F 到直线 l1 的距离, |2p+6| 所以 2= ,则 p=2. 5
? ?4x-3y+6=0, 当直线 l1 与抛物线 C 有公共点时,联立? 2 消去 x,得 2y2-3py+6p=0, 由 Δ1 ?y =2px, ?

6y2 0

=9p2-48p≥0 且 p>0,

16 得 p≥ . 3 p 8 此时抛物线上的点到直线 l2 的最短距离为 ≥ >2,不满足题意. 2 3 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)设 M(x0,y0),由题意知直线 l 斜率存在,设为 k,且 k≠0, 所以直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0),
2 代入 y2=4x,消去 x,得 ky2-4y+4y0-ky0 =0.

2 由 Δ2=16-4k(4y0-ky2 0)=0,得 k= , y0 2 所以直线 l 的方程为 y-y0= (x-x0), y0 y2 0-4 令 x=-1,由 y2 = 4 x ,得 N ( - 1 , ). 0 0 2y0 设 Q(x1,0), y2 0-4 → → 则QM=(x0-x1,y0),QN=(-1-x1, ), 2y0 → → 由题意知QM· QN=0, y2 0-4 即(x0-x1)(-1-x1)+ =0, 2
2 把 y2 0=4x0 代入上式,得(1-x1)x0+x1+x1-2=0.

因为对任意的 x0 等式恒成立,
? ?1-x1=0, 所以? 2 ?x1+x1-2=0, ?

解得 x1=1. 所以在 x 轴上存在定点 Q(1,0),使点 Q 在以 MN 为直径的圆上. 3.解 (1)由椭圆过点(0,4),知 b=4. a2-42 9 c 3 又 e= = ,所以 2 = , a 5 a 25 解得 a=5. x2 y2 所以 C 的方程为 + =1. 25 16 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(a,a-1),
2 2 x1 y1 x2 y2 2 2 则 + =1, + =1. 25 16 25 16

两式相减并变形,



?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, 25 16

因为 x1+x2=2a,y1+y2=2(a-1), y1-y2 a-1 =kAB= , x1-x2 a-10 2a 2?a-1? a-1 所以 + · =0. 25 16 a-10 5 解得 a= 或 a=5. 41 当 a=5 时,点 M(5,4)在椭圆外部,不符合要求, 5 -1 41 4 所以 kAB= = . 5 45 -10 41 4 故直线 l 的方程为 y= (x-10),即 4x-45y-40=0. 45 4.解 (1)由已知,点( 2,1)在椭圆 E 上,

? 因此?a -b =c , c 2 = , ?a 2
2 2 2

2 1 + =1, a2 b2

解得 a=2,b= 2, x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2 (2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点, |QC| |PC| 如果存在定点 Q 满足条件,则有 = =1, |QD| |PD| 即|QC|=|QD|, 所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为(0,y0). 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点,则 M,N 的坐标分别为(0, 2), (0,- 2), 由 |y0- 2| 2-1 |QM| |PM| = ,有 = , |QN| |PN| |y0+ 2| 2+1

解得 y0=1,或 y0=2, 所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只可能为(0,2), |QA| |PA| 下面证明:对任意直线 l,均有 = , |QB| |PB|

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立, 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), x y ? ? 4 + 2 =1, 联立? ? ?y=kx+1, 得(2k2+1)x2+4kx-2=0, 其判别式 Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 4k 所以 x1+x2=- 2 , 2k +1 2 x1x2=- 2 , 2k +1 1 1 x1+x2 因此 + = =2k, x1 x2 x1x2 易知,点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(-x2,y2), y1-2 kx1-1 1 又 kQA= = =k- , x1 x1 x1 y2-2 kx2-1 1 1 kQB′= = =-k+ =k- , x2 x1 -x2 -x2 所以 kQA=kQB′,即 Q,A,B′三点共线, |QA| |QA| |x1| |PA| 所以 = = = , |QB| |QB′| |x2| |PB| |QA| |PA| 故存在与 P 不同的定点 Q(0,2),使得 = 恒成立. |QB| |PB|
2 2


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