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2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)


黑龙江省大庆铁人中学 2015-2016 学年高二上学期第一次月考数学试题
第 I 卷(选择题)
1. 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该 地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样 方法中,最合理的抽样方法是( A.简单随机抽 【答案】C 【解析】 试题

分析:该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,所以应选择分层抽样.故 C 正确. 考点:统计抽样. 2. 有 40 件产品,编号从 1 到 40,先从中抽取 4 件检验,用系统抽样方法确定所抽的编号可能为 ( A.5,10,15,20 【答案】B 【解析】 试题分析:从 40 件中抽取 4 件,采用系统抽样时应分成 4 段,每段间隔为 10.故 B 正确. 考点:系统抽样. 3、关于频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是( A.频率分布折线图与总体密度曲线无关 ) B.2,12,22,32 C.2,14,26,38 D.5,8,31,36 ) ) C.按学段分层抽样 D.系统抽样

B.按性别分层抽样

B. 频率分布折线图就是总体密度曲线

C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线 D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限的接近总体密度曲线, 【答案】D 【解析】 试题分析:因为如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于一条 光滑曲线,这条曲线就是总体密度曲线.故 D 正确. 考点:频率分布折线图,总体密度曲线. 4. 某射击小组有 20 个人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图的统计图,则这组数据的众数和中位 数分别是( )

A.7,7 B.8,7.5 【答案】C 【解析】

C.7,7.5

D.8,6

试题分析:最高矩形的数据为 7,所以众数为 7.20 人中数据由小到大排列第 10 个的数据为 7,第 11 个的数 据为 8,所以中位数为

7?8 ? 7.5 .故 C 正确. 2


考点:1 条形图;2 众数,中位数. 5. 用“更相减损术”求 98 和 63 的最大公约数,要做减法的次数是( A . 3次 【答案】B 【解析】 试题分析:98 ? 63 ? 35, 63 ? 35 ? 28,35 ? 28 ? 7, 28 ? 7 ? 21, 21 ? 7 ? 14,14 ? 7 ? 7 .所以 98 和 63 的最大 公约数为 7.所做减法次数为 6.故 D 正确. 考点:更相减损术求最大公约数. 6. 算法如果执行下面的程序框图,输入 n=6,m=4,那么输出的 p 于( ) B. 4 次 C. 5次 D. 6 次

A . 720 【答案】B 【解析】

B. 360

C.

240

D. 120

试题分析:根据框图的循环结构依次为:

k ? 1, p ? 1? ? 6 ? 4 ? 1? ? 3 ; k ? 1 ? 1 ? 2, p ? 3 ? ? 6 ? 4 ? 2 ? ? 12 ; k ? 2 ? 1 ? 3, p ? 12 ? ? 6 ? 4 ? 3? ? 60 ; k ? 3 ? 1 ? 4, p ? 60 ? ? 6 ? 4 ? 4 ? ? 360 ,跳出循环,输出 p ? 360 .
故 B 正确. 考点:算法. 7. 如图所示的程序框图运行的结果是( )

A. 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:根据框图的循环结构可知当跳出循环时应输出:

A?

1 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2012 ? 2013

1 2012 1 ? ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 .故 C 正确. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 1? 2013 2013 ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? 2012 2013 ?
考点:1 算法;2 裂项相消法求数列的和. 8. 如图所示的程序框图,若输出的 S 是 30,则①可以为()

A.n≤2? 【答案】C 【解析】

B.n≤3?

C.n≤4?

D.n≤5?

试题分析:根据框图的循环结构依次为: S ? 0 ? 2 ? 2, n ? 1 ? 1 ? 2 ; S ? 2 ? 2 ? 6, n ? 2 ? 1 ? 3 ;
1 2

S ? 6 ? 23 ? 14, n ? 3 ? 1 ? 4 ; S ? 14 ? 24 ? 30, n ? 4 ? 1 ? 5 ,此时跳出循环, 所以①应为 n ? 4? .故 C 正
确. 考点:算法. 9. 下列程序执行后输出的结果是( )

A.-1 【答案】D 【解析】

B.0

C.2

D.1

试题分析:根据程序可知依次: S ? 0 ? 5 ? 5, n ? 5 ? 1 ? 4 ; S ? 5 ? 4 ? 9, n ? 4 ? 1 ? 3 ;

S ? 9 ? 3 ? 12, n ? 3 ? 1 ? 2 ; S ? 12 ? 2 ? 14, n ? 2 ? 1 ? 1 ,此时跳出循环,输出 n ? 1 .故 D 正确.
考点:算法.

10. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 【答案】C

)

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

考点:互斥事件,对立事件. 11.已知两圆的方程是 x +y =1 和 x +y -6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( A.相 【答案】C 【解析】 试题分析: 将 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 9 ? 0 变形为 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 16 ,可知其圆心为 ? 3, 4 ? ,半径为 R ? 4 .
2 2
2 2
2 2 2 2



B.相交

C.外切

D.内切

2 2 圆 x ? y ? 1 的圆心为 ? 0, 0 ? ,半径为 r ? 1 .两圆心距为 3 ? 4 ? 5 ? R ? r ,所以两圆外切.故 C 正确.

2

2

考点:两圆的位置关系. 12.方程 4-x =k(x-2)+3 有两个不等实根,则 k 的取值范围为(
2

)

? 5 3? A.? , ? ?12 4?
【答案】A 【解析】

?3 ? B.? ,+∞? ?4 ?

5? ? C.?-∞, ? 12 ? ?

? 5 3? D.? , ? ?12 4?

试题分析:方程 4 ? x ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不等实根等价于函数 y ?
2

4 ? x 2 的图像与直线

y ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不同的交点.
函数 y ?

4 ? x 2 的图像是以 ? 0, 0 ? 为圆心 2 为半径的半圆,(位于 x 轴及 x 轴上方的部分).

直线 y ? k ? x ? 2 ? ? 3 斜率为 k 且恒过定点 M ? 2,3? .

如图所示,当直线与半圆相切时圆心到直线的距离 d ?

0 ? 0 ? 3 ? 2k k ?1
2

? 2 ,解得 k ?

5 . 12

当直线过点 A ? ?2, 0 ? 时, k ? k MA ? 由数形结合可知函数 y ?

3?0 3 ? . 2 ? ? ?2 ? 4

4 ? x 2 的图像与直线 y ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不同的交点即方程
5 3 ? k ? .故 A 正确. 12 4

4 ? x 2 ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不等实根时

考点:1 方程的根;2 转化思想;3 数形结合思想.

第 II 卷(非选择题) 二.填空题(共 4 小题,每题 5 分)
13. 某射手射击一次击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.3,0.3,0.2,那么他射击一次不够 8 环的概率 是 .

【答案】0.2 【解析】 试题分析:所求概率 P ? 1 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.2 . 考点:概率的性质. 14. 用秦九韶算法求多项式 f(x)=12+35x-8x +79x +6x +5x +3x 的值,当 x=-4 时,v4 的值为 【答案】220 【解析】 试题分析:根据秦九韶算法将多项式改写成如下形式:
2 3 4 5 6

f ? x ? ? 12 ? x 35 ? x ?8 ? x 79 ? x ? 6 ? x ? 5 ? 3 x ? ?

?

?

?

??? ,

按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x ? ?4 时的值:

v0 ? 3; v1 ? 3 ? ? ?4 ? ? 5 ? ?7; v2 ? ?7 ? ? ?4 ? ? 6 ? 34 ; v3 ? 34 ? ? ?4 ? ? 79 ? ?57; v4 ? ?57 ? ? ?4 ? ? 8 ? 220 .
考点:秦九韶算法. 15. 将二进制数 11010 ( 2 ) 化为八进制数为 【答案】32 【解析】 试题分析:将二进制数 11010 ( 2 ) 化为十进制数为 1? 24 ? 1? 23 ? 0 ? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 ? 26 ,
(8)



26 ? 8 ? 3 ? 2;3 ? 8 ? 0 ? 3 .所以 26 化为八进制为 32?8? .
考点:进位制. 16. 如果执行下面的程序框图,输入 n=251,m=15,那么输出的结果是

【答案】1 【解析】

试题分析:当输入 n ? 251, m ? 15 时 m ? n 不成立,则有 m ? 251, n ? 15 , ? m ? 16n ? 11 , ? r ? 11 ? 0 . 所以进入循环体得 m ? 15, n ? 11 ,此时 m ? n ? 4 , ? r ? 4 ? 0 ,再次进入循环体得 m ? 11, n ? 4 ,此时

m ? 2n ? 3,? r ? 3 ? 0 ,仍进入循环体得 m ? 4, n ? 3 ,此时 m ? n ? 1 , ? r ? 1 ? 0 .接着进入循环体得
m ? 3, n ? 1 ,此时 m ? 3n ? 0 , ? r ? 0 ,输出 n ? 1 .
考点:程序框图.

三.解答题: (共 5 小题,每题 14 分)
17. 某移动公司对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次是否愿意使用 4G 网络的社会调查,若愿意使 用的称为“4G 族”,否则称为“非 4G 族”,得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]

频数 200 300 200 150 a 50

4G 族在本组所占比例 0.6 0.65 0.5 0.4 0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图并求 n、a 的值; (2)用频率分布直方图估计“4G 族”年龄的中位数,和平均数(不用写过程只写数据) (3)从年龄段在[40,50)的“4G 族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加 4G 网络体验活动,求年龄段分别在 [40,45) 、[45,50)中抽取的人数. 【答案】 (1)n ? 1000, a ? 100 ; (2) 中位数: 35 平均数:36.5 ; (3)? 40, 45 ? 岁中应抽取 4 人, 岁中应抽取 2 人.

? 45,50 ?

【解析】 试题分析: (1)根据公式 频率=

频数 及频率和为 1.可得第二组的频率.从而可得第二组的小矩形的高.再 总数

根据 频率=

频数 可分别求得 n, a .(2)根据中位数使频率分布直方图左右两侧的面积相等可求得中位数, 总数

平均数为每组中点的横坐标乘以本组的频率之和. (3) ? 40, 45 ? 岁中“4G 族”人数为

150 ? 0.4 ? 60 . ? 45,50 ? 岁中“4G 族”人数 100 ? 0.3 ? 30 .根据分层抽样是按比例抽取从而可得各组抽取
的人数. 试题解析:解: (1)根据题意,第二组的频率 1 ? ? 0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01? ? 5 ? 0.3 , ∴对应小矩形的高为

0.3 ? 0.06 , 5

补全频率分布直方图如图所示;

第一组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,? n ?

200 ? 1000 , 0.2

第五组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 ,? a ? 1000 ? 0.1 ? 100 ; (2)中位数:35 平均数: 36.5 (3) ? 40, 45 ? 岁中应抽取 4 人( 6 ?

60 ? 4 ), 60 ? 30

? 45,50 ? 岁中应抽取 2 人( 6 ?

30 ? 2 ). 60 ? 30

考点:1 频率分布直方图;2 分层抽样. 18. 甲,乙两台机床在相同的技术条件下同时生产一种零件,现在从中抽测 6 个,尺寸(单位:mm)如下 甲机床:10.2 乙机床:11.0 10.1 10.4 9.8 9.6 10.3 10.1 9.7 8.9 9.9 10.0

(1)用茎叶图表示甲,乙两台机床的尺寸

(2)分别计算上面两个样本的平均数和方差。如果图纸规定零件的尺寸为 10mm,由计算结果判断用哪台机 床加工这种零件较合适? 【答案】 (1)详见解析; (2)平均数均为 10;

s

2 甲

?

7 127 2 ;选择甲机床较合适. , s乙 ? 150 300

考点:1 茎叶图;2 平均数,方差. 19.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格:

其中 i=1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图;

(2)求回归直线方程.(结果保留到小数点后两位) -- ?xiyi-n x y ^ 参考公式 b=
i=1
2 i-n x ?x2

n

n



i=1

(3)预测进店人数为 80 人时,商品销售的件数.(结果保留整数) 【答案】(1)详见解析; (2) ? y ? 0.78 x ? 4.07 【解析】 (3)58 件

?, a ? .从而可得回归方程. (3)将 试题分析:(1)建系,描点即可. (2)根据公式先求 x, y ,再求根据公式计算 b

?

?

x ? 80 代入方程即可得所求.
试题解析:(1)散点图如图:

(2) ? x ? 25, y ?

?

?

7 7 108 ? 15.43, ? xi yi ? 3245, ? xi 2 ? 5075 7 i ?1 i ?1

?? ?b

? x y ? 7x ? y ?x
i ?1 i ?1 7 i i 2 i

7

?7 x

??

2

? ? y ? bx ? ?4.07 , ? 0.78 ,? a

y ? 0.78 x ? 4.07 . 所以回归直线方程为 ? y ? 0.78 ? 80 ? 4.07 ? 58 . (3)进店人数为 80 人时,商品销售的件数为 ?
考点:线性回归方程. 20. 已知圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上,半径为 ,且圆 C 经过点 P(5,4)

(1)求圆 C 的标准方程; (2)求过点 A(1,0)且与圆 C 相切的切线方程. 【答案】 (1) ? x ? 4 ? ? ? y ? 5 ? ? 2 ;(2) y ? x ? 1 ,或 y ?
2 2

23 23 x? . 7 7

【解析】 试题分析: (1)根据半径为 2 设圆的标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 2 ,根据圆心在直线 y ? x ? 1 上可得
2 2

a, b 的一个方程,再将点 P ? 5, 4 ? 代入圆的方程得 a, b 的另一个方程,解方程组可求得 a, b .(2)由题意分析
可知所求切线的斜率存在,则可设出切线方程,根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径可求得直 线的斜率,从而可得直线方程. 试题解析:解: (1)设圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 2 ,点 C 在直线 y ? x ? 1 上,则有 b ? a ? 1
2 2

圆 C 经过点 P ? 5, 4 ? 即: ? 5 ? a ? ? ? 4 ? b ? ? 2 ,
2 2

解得: a ? 4, b ? 5 ,圆 C : ? x ? 4 ? ? ? y ? 5 ? ? 2 .
2 2

(2)设直线 l 斜率为 k ,则直线 l 方程为 y ? k ? x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心 ? 4,5 ? 到已知直线 l 的距离等于半径 2 , 即:

4k ? 5 ? k 1? k
2

? 2

,解得 k ? 1 或 k ?

23 . 7

所求切线方程是 y ? x ? 1 ,或 y ?

23 23 x? . 7 7

考点:1 圆的方程;2 直线与圆相切. 21. 已知圆 C:x +y ﹣6x﹣4y+4=0,直线 l1 被圆所截得的弦的中点为 P(5,3) . ①求直线 l1 的方程.②若直线 l2:x+y+b=0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. ③是否存在常数 b,使得直线 l2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上?若存在,求出 b 的值;若不存在, 说明理由. 【答案】① 2 x ? y ? 13 ? 0 ;②存在, b ? ? 【解析】 试题分析:①圆心与弦的中点的连线与弦垂直,可求得弦所在直线的斜率,再根据此直线过弦的中点,由点斜 式可求得此直线方程. ②假设存在符合题意的 b .由直线 l2 与圆相交可知圆心到直线的而距离小于圆的半径,
2 2

25 . 3

可得 b 的范围. 设直线 l2 被圆 C 解得的弦的中点为 M ? x0 , y0 ? .根据直线 l2 与 CM 垂直可得关于 x0 , y0 的 一个方程, 点 M ? x0 , y0 ? 在直线 l2 上可得 x0 , y0 的另一个方程.解方程组可将 x0 , y0 用 b 表示.再将其代入 直线 l1 方程即可求得 b .若在所得 b 的范围说明存在,否则说明不存在. 试题解析:解: ①∵圆 C 的方程化标准方程为: ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 9 ,
2 2

∴圆心 C ? 3, 2 ? ,半径 r ? 3 .设直线 l1 的斜率为则 k ,则 k ? ?

1 1 ? ? ? ?2 . 1 k PC 2

∴直线 l1 的方程为: y ? 3 ? ?2 ? x ? 5 ? 即 2 x ? y ? 13 ? 0 . ②∵圆的半径 r ? 3 ,∴要使直线 l2 与圆 C 相交则须有:

3? 2?b 2

? 3,

∴ 5 ? 3 2 于是 b 的取值范围是: ?3 2 ? 5 ? b ? 3 2 ? 5 . ③设直线 l2 被圆 C 解得的弦的中点为 M ? x0 , y0 ? ,则直线 l2 与 CM 垂直,于是有: 整理可得: x0 ? y0 ? 1 ? 0 .又∵点 M ? x0 , y0 ? 在直线 l2 上, ∴ x0 ? y0 ? b ? 0

y0 ? 2 ? 1, x0 ? 3

1? b ? x0 ? ? ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 1? b ? 2 ∴由 ? 解得: ? 代入直线 l1 的方程得: 1 ? b ? ? 13 ? 0 , 1 ? b 2 ? x0 ? y0 ? b ? 0 ?y ? ? 0 ? ? 2
∴b ? ?

25 ? ?3 2 ? 5,3 2 ? 5 , 3

?

?

故存在满足条件的常数 b . 考点:直线和圆相交.


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