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隐函数微分法
1. 由方程F ( x, y) ? 0确定的隐函数.
设方程 F ( x, y) ? 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内确定 一个具有连续导数的隐函数 y ? y( x ), 则对于 y( x )

F ( x, y( x )) ? 0, dy 两边对 x 求导, 得 Fx ? Fy ? 0, dx 若 F y ? 0, 有 Fx dy ?dx Fy
定义域中的所有 x , 有

y dy ln x ? y ? arctan , 求 例1 已知 . x dx y 2 2 解 令 F ( x , y ) ? ln x ? y - arctan , x
2 2



1 2x Fx ( x, y) ? 2 2 2x ?y
y- x Fy ( x , y ) ? 2 , 2 x ?y

x? y ? y ? - 2?? 2 , 2 ? 2 ? y? ? x ? x ? y 1? ? ? ?x? Fx dy x? y ? ??. y- x dx Fy
1

2. 由方程F ( x, y, z) ? 0确定的二元隐函数.
设方程 F ( x, y, z ) ? 0 确定二元隐函数 z ? z ( x, y ), 则在恒等式

F ( x, y, z ( x, y )) ? 0 的两端 分别对 x 和对 y 求偏导, 由链式法则得

?F ?F ?z ?F ?F ?z ? ? 0, ? ? 0, ?y ?z ?y ?x ?z ?x 若 Fz ? 0, 有 Fx ?z Fy ?z ?- , ?- . ?x Fz ?y Fz

x ? y - z ? e z 确定函数 z ? z ( x, y ), 例2 设方程 ?z ?z 求 , . ?x ?y 解 令 F ( x, y, z ) ? x ? y - z - e z , 则 F ? 1, x
Fy ? 1, Fz ? -1 - e ,
z

Fx ?z 1 ?? , z ?x Fz 1 ? e

Fy ?z 1 ?? , z ?y Fz 1 ? e

小结
隐函数的求导法则
(1) F ( x , y ) ? 0
( 2) F ( x , y , z ) ? 0

一、填空题:
2 2

练习题

y 1、设ln x ? y ? arctan ,则 x dy ? ___________________________. dx x z 2、设z ? y ,则 ?z ? ___________________________, ?x ?z ? ___________________________. ?y 2 sin( x ? 2 y - 3 z ) ? x ? 2 y - 3 z , 二、设 ?z ?z ? 1. 证明: ? ?x ?y


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