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炜昊教育2014年暑期高一数学讲1


炜昊教育 2014 年暑期高一数学讲义 (一)函数的奇偶性定义 1.偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定 ○ 是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 二 典型例题( 例 1.1、判断下列函数是否具有奇偶性。 (1) f ( x) ? x ? 4x
3

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x

(3) f ( x ) ? x ? 1 ;

(4) f ( x) ? x 2 , x ? (?1,1]

2.知 f(x)是实数集上的偶函数,且在区间 [0,+?) 上是增函数,则 f(-2),f(-? ),f(3) 的大小关系是( A. f(-? )>f(-2)>f(3) B. f(3)>f(-? )>f(-2) C. f(-2)>f(3)>f(-? ) D. f(-? )>f(3)>f(-2)



3.已知 f(x)是奇函数,定义域为{x|x ? R 且 x ? 0},又 f(x)在(0,+ ? )上是增函数,且 f(-1)=0,则满足 f(x)>0 的 x 取值范围是.多少?

.已知 f(x)=ax3+bx-4,其中 a,b 为常数,若 f(-2)=2,则 f(2)的值等于多少?

3 5 4.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则 f(- )与 f( )的大小关系是什么? 2 2

5, 若函数 f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是________

ax+b 1 2 6.已知函数 f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= ,求函数 f(x)的解析式. 2 5 1+x2

类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次方根的概念. n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根(throot) ,其中 n >1,且 n∈N ,当 n 为偶数时,a 的 n
n


次方根中,正数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示, n a 叫做根式.n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示, 其中 n 称为根指数,a 为被开方数. 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数时呢?
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个,为 a a为正数:? n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? a

? ?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数:? ? ?n为偶数, a的n次方根不存在.
零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清 n 为奇数和偶数 两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:

( n a )n ? a
3 如 3 (?3) ? 3

:n 为奇数, n an ? a

n 为偶数,

n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

?27 ? ?3, 4 (?8) 4 ?| ?8 |? 8

小结:当 n 为偶数时, n an 化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现错误: 例题:求下列各式的值 (1) (1)
3

( ?8)3

(2)

( ?10) 2

(3) (1) 7 (?2) 7

4

(? 3?

4

)

(4)

a (? b 2 ) (3) (3a ? 3) 4
4

课堂练习:1. 求出下列各式的值

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1)

2 2.若 a ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围 .

我们规定正数的分数指数幂的意义为:

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: a
? m n

m

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法, 练习:

1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 1. 计算: 的结果 4n8?2
2.计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(2) (m n )

1 4

?

3 8 8


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