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高中数学第十五章知识点总结(精华版) 复数


高中数学第十五章 复数 考试内容: 复数的概念. 复数的加法和减法. 复数的乘法和除法. 数系的扩充. 考试要求: (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. (2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、 除法运算. (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.

§ 复 数 知 识 要点 15.
1. ⑴复数的单位为 i,它的平方等于-1,即 i 2 ? ? 1 . ⑵复数及其相关概念: ① 复数—形如 a + bi 的数(其中 a , b ? R ); ② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi,即 a; ③ 虚数—当 b ? 0 时的复数 a + bi; ④ 纯虚数—当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi,即 bi. ⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部,b 叫做虚部(注意 a,b 都是实数) ⑥ 复数集 C—全体复数的集合,一般用字母 C 表示. ⑶两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c 且 b ? d (其中, a , b , c , d , R )特别地 a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ?

.

⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小. 注:①若 z 1 , z 2 为复数,则 1 ? 若 z 1
2
?

? z2 ? 0

,则 z 1

? ?z2

.(×)[ z 1 , z 2 为复数,而不是实数]

若 z1

? z2

,则 z 1

? z2 ? 0

.(√)
2

②若
(a ? b)

a, b, c ? C

,则

(a ? b)

? (b ? c )

2

? (c ? a )

2

?0



a ?b ? c

的必要不充分条件.(当

2

?i

2


2

(b ? c )

2

? 1, ( c ? a )

? 0

时,上式成立)
? z1? z 2

2. ⑴复平面内的两点间距离公式: d

.
z 1 和 z 2 间的距离.

其中 z 1 , z 2 是复平面内的两点 z 1 和 z 2 所对应的复数, d 表示

由上可得:复平面内以 z 0 为圆心, r 为半径的圆的复数方程: ⑵曲线方程的复数形式: ① ②
z ? z 0 ? r 表示以 z 0 z ? z1 ? z ?z 2

z ? z 0 ? r ( r ? 0).

为圆心,r 为半径的圆的方程.

表示线段 z 1 z 2 的垂直平分线的方程.



z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2 a ( a ? 0 且 2 a ? z 1 z 2 )表示以 Z 1 , Z
? z1z 2

2

为焦点,长半轴长为 a 的椭圆的方程

(若 2 a ④

,此方程表示线段 Z 1 , Z 2 ).
2

z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2 a ( 0 ? 2 a ? z 1 z 2 ),表示以 Z 1 , Z
? z1z 2

为焦点,实半轴长为 a 的双曲线方程

(若 2 a

,此方程表示两条射线).

⑶绝对值不等式: 设 z 1 , z 2 是不等于零的复数,则 ① z1 ? z 2 ? z1? z 2 ? z1 ? z 2 . 左边取等号的条件是 z 2 ? ? z 1 ( ? ? R ,且 ? ② z1 ? z 2 ? z1? z 2 ? z1 ? z 2 . 左边取等号的条件是 z 2 ? ? z 1 ( ? ? R , ? 注: A 1 A 2
? 0),右边取等号的条件是 z 2 ? ? z 1 ( ? ? R , ? ? 0). ? 0) 右边取等号的条件是 z 2 ? ? z 1 ( ? ? R , ? ? 0). ,

? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ?1 A n ? A 1 A n

.

3. 共轭复数的性质:
z ? z
z ? z ? 2a

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2

,z? z

? 2b i

(z

?

a + bi)

z ? z ?| z | ?| z |

2

2

z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2
? z ? z ? 1 ? ? 1 ? z ? z2 ? 2 ?

z1 ?z 2 ? z1 ? z 2

(z2? 0 )

z

n

? (z)

n

注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方: z ②对任何 z , z 1 , z 2 ③ z ?z ? z
m n m?n
n

? ? z ? z? z ( n ? N z ?? ... ? ?
n

?

)

?C
m

及 m, n ?
n

N

?


n n n

,(z ) ?z

m ?n

, ( z1?z 2 ) ? z 1?z 2
? 1, i ? 1 若由
4

注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如 i 2 ?
1 2 4 2 1

i ? ( i ) ?1 2 ? 1 就会得到 ? 1 ? 1 的错误结论.

②在实数集成立的 | x |? 方法. ⑵常用的结论:

x

2

. 当 x 为虚数时, | x |?

x

2

,所以复数集内解方程不能采用两边平

i ? ? 1,i

2

4 n ?1

? i ,i

4n?2

? ? 1, i

4n?3

? ? i ,i

4n

?1

i ?i

n

n ?1

?i

n?2

?i

n?3

? 0, (n ? Z )
? ?i

(1 ? i ) ? ? 2 i ,

2

1? i 1? i

? i,

1? i 1? i


3

?
2



1
1


2


n


n ?1


??
n?2









? ? ?

1 2

?

3 2

i



则 . ? 5. ⑴复数 z 是实数及纯虚数的充要条件: ①z?R ? z ? z . ②若 z ? 0 , z 是纯虚数 ? z ? z ? 0 . ⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同 一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零. 注: | z |? | z | . 6. ⑴复数的三角形式: z ? r (cos ? ? i sin ? ) . 辐角主值: ? 适合于 0≤ ? < 2 ? 的值,记作 arg 注:① z 为零时, arg z 可取 [ 0 , 2? ) 内任意值. ②辐角是多值的,都相差 2 ? 的整数倍. ③设 a ?
R ,
?

? ? 1,? ? ? , ? ?

,1 ? ? ? ? ? 0 ,? ? ?

? 0(n ? Z )

z

.

则 arg

a ? 0 , arg( ? a ) ? ? , arg ai ?

?
2

, arg( ? ai ) ?

3 2

?

.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化:
a ? bi ? r (cos ? ? i sin ? )

,r

?

a

2

?b

2

, cos ?

?

a r

, sin ? ?

b r

.

⑶几类三角式的标准形式:
r (cos ? ? i sin ? ) ? r [cos( ?? ) ? i sin( ?? )]

? r (cos ? ? i sin ? ) ? r [cos( ? ? ? ) ? i sin( ? ? ? )]

r ( ? cos ? ? i sin ? ) ? r [cos( ? ? ? ) ? i sin( ? ? ? )]
r (sin ? ? i cos ? ) ? r [cos(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? )]

7. 复数集中解一元二次方程: 在复数集内解关于 x 的一元二次方程 ax 2
? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )
?b? 2a
| ? |i

时,应注意下述问题:
?

①当 a , b , c ? R 时,若 ? >0,则有二不等实数根 x 1, 2
x 1, 2 ? ? b 2a

?

;若 ? =0,则有二相等实数根

;若 ? <0,则有二相等复数根 x 1, 2

?

?b? 2a

( x 1, 2 为共轭复数).

②当 a , b , c 不全为实数时,不能用 ? 方程根的情况. ③不论 a , b , c 为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算:
r1 (cos ? 1 ? i sin ? 2 ) ? r 2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 ) ? r1 r 2 [cos( ? 1 ? ? 2 ) ? i sin( ? 1 ? ? 2 )]

r1 (cos ? 1 ? i sin ? 2 ) r 2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 )

?

r1 r2

[cos( ? 1 ? ? 2 ) ? i sin( ? 1 ? ? 2 )]

棣莫弗定理: [ r (cos ? ? i sin ? )]

n

? r (cos n ? ? i sin n ? )
n


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