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湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


湖南省怀化三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则首项 a1 和公差 d 的值分别为() A.1,3 B.﹣3,4 C.1,4 D.1,2 2. (5 分)“a=1”是“(a

﹣1) (a﹣2)=0”成立的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. (5 分)已知 x,y 满足 A.﹣1 B. 1

,则 z=x﹣y 的最大值是() C. 2 D.﹣2

4. (5 分)下列求导运算正确的是() A. C. (cosx)′=sinx D. B.

5. (5 分)设双曲线 A.4 B. 3
2

的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为() C. 2 D.1 ,则 a﹣b 值是() C.10 ,则△ ABC 是() B. 等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 D.14

6. (5 分)若不等式 ax +bx+2>0 的解集 A.﹣10 B.﹣14

7. (5 分)在△ ABC 中,若 A.等腰三角形 C. 直角三角形
4

8. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3 在区间上的最大值为() A.11 B. 8 C.12

D.0

9. (5 分)设 F1,F2 为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P 满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心 率的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.若 ai,j=2006,则 i、j 的值分别为()

A.64,53

B.63,53

C.63,54

D.64,54

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填空在答题卡上) 11. (5 分)命题“?x∈R,x +x≤0”的否定是. 12. (5 分)曲线 y=x ﹣3x +1 在点(1,﹣1)处的切线方程为. 13. (5 分)在△ ABC 中,若 ,则最大角的余弦值等于.
3 2 2

14. (5 分)已知数列{an}满足 an=

+1(n≥2) ,若 a7=

,则 a5=.

15. (5 分)抛物线 y =2x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1,到直线 3x﹣4y+9=0 的距离 为 d2,则 d1+d2 的最小值为.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,16-18 每题 12 分,19-21 每题 13 分,共 75 分.请将详细解答 过程写在答题卡上) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= (1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC 的面积. 17. (12 分) 已知 p: 关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负数根 q: 关于 x 的方程 4x +4 (m﹣2)x+1=0 无实根;如果复合命题“ p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 m 的取值范围. 18. (12 分)已知 x>0,y>0,且 lg2 +lg8 =lg4,求 z=
x y 2 2

,cosA= ,b=



的最小值.

19. (13 分)设椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 F 且倾斜角为

+

=1 (a>b>0)的离心率为

,若左焦点为 F(﹣1,0)

的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求弦长|AB|.

20. (13 分)已知函数 x=1 时取得极值. (1)求 b 的值; (2)求 f(x)的单调减区间. 21. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x﹣y+1=0 上. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an 和 bn; (2)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn,并求 Tn 的最小值.



,数列{bn}中,

湖南省怀化三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则首项 a1 和公差 d 的值分别为() A.1,3 B.﹣3,4 C.1,4 D.1,2 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式及其首项 a1 和公差 d 的意义即可得出. 解答: 解:∵等差数列{an}中,an=4n﹣3, ∴a1=4×1﹣3=1,a2=4×2﹣3=5. ∴公差 d=a2﹣a1=5﹣1=4. ∴首项 a1 和公差 d 的值分别为 1,4. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数 列的通项公式及其首项 a1 和公差 d 的求法,属于基础题. 2. (5 分)“a=1”是“(a﹣1) (a﹣2)=0”成立的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 判断出“a=1”成立能推出“(a﹣1) (a﹣2)=0”成立,反之“(a﹣1) (a﹣2)=0”成立, 推不出“a=1”一定成立,利用充要条件的有关定义得到选项. 解答: 解:若“a=1”成立则有“(a﹣1) (a﹣2)=0”成立, 反之若“(a﹣1) (a﹣2)=0”成立,得到 a=1 或 a=2,推不出“a=1”一定成立, 所以“a=1”是“(a﹣1) (a﹣2)=0”成立的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件,应该先化简各个命题,然后前后 相互推一下,利用充要条件的有关定义进行判断,属于基础题.

3. (5 分)已知 x,y 满足 A.﹣1 B. 1

,则 z=x﹣y 的最大值是() C. 2 D.﹣2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出可行域,平移直线 y=x 可知当直线经过点 A(1,0)时,目标函数取最大值, 代值计算可得. 解答: 解:作出约束条件 所对应的可行域(如图阴影) ,

变形目标函数可得 y=x﹣z,平移直线 y=x 可知当直线经过点 A(1,0)时, 目标函数取最大值,代值可得 z=x﹣y 的最大值为 1﹣0=1, 故选:B

点评: 本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题. 4. (5 分)下列求导运算正确的是()

A. C.

(cosx)′=sinx D.

B.

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 导数的概念及应用. 利用求导公式对四个选项分别分析,选择正确答案. 解:对于 A, (cosx)′=﹣sinx;A 错误; )′=0;B 错误; ;C 错误;

对于 B, (sin 对于 C,

对于 D,

;D 正确;

故选 D. 点评: 本题考查了求导公式的运用;对于根式形式的求导,一般化为幂的形式再求导.

5. (5 分)设双曲线 A.4 B. 3

的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为() C. 2 D.1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意, 解答: 解:由题意, ,即可求出 a 的值. ,

∴a=2, 故选:C. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.属基础题.
2

6. (5 分)若不等式 ax +bx+2>0 的解集 A.﹣10 B.﹣14 C.10

,则 a﹣b 值是() D.14

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据不等式的解集得到方程的解为 案. , 进而求出 a 与 b 的数值, 即可得到答

解答: 解:由题意可得:不等式 ax +bx+2>0 的解集 所以方程 ax +bx+2=0 的解为
2

2





所以 a﹣2b+8=0 且 a+3b+18=0, 所以 a=﹣12,b=﹣2, 所以 a﹣b 值是﹣10. 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系,并且结合正 确的运算. 7. (5 分)在△ ABC 中,若 A.等腰三角形 C. 直角三角形 ,则△ ABC 是() B. 等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形

考点: 正弦定理;三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理化简已知等式,变形后利用二倍角的正弦函数公式化简,得到 A 与 B 相等或互余,即可判断出三角形 ABC 的形状. 解答: 解:由正弦定理得: = = ,

∴sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A= sin2B, ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,即 A=B 或 A+B=90°, 则△ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选 D 点评: 此题考查了正弦定理,以及三角形形状的判断,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 8. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3 在区间上的最大值为() A.11 B. 8 C.12
4

D.0

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先对函数进行求导,然后判断函数在上的单调性,进而确定最值. 4 解答: 解:∵y=x ﹣4x+3, 3 ∴y′=4x ﹣4 3 4 当 y′=4x ﹣4≥0,即 x≥1 时,函数 y=x ﹣4x+3 单调递增, ∴在区间上,当 x=2 时函数取到最大值 11, 3 4 当 y′=4x ﹣4<0,即 x<1 时,函数 y=x ﹣4x+3 单调递减 ∴在上,当 x=﹣1 时函数取到最大值 8. 4 ∴函数 y=x ﹣4x+3 在区间上的最大值为 11. 故选:A.

点评: 本题主要考查利用导数求函数的最值的问题.属基础题. 9. (5 分)设 F1,F2 为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P 满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心 率的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,再利用余弦定理化简整理得 cos∠PF1F2= ﹣1,进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围,进而确定

cos∠PF1F2 的最小值,求得 a 和 b 的关系,进而求得 a 和 c 的关系,确定椭圆离心率的取值范 围. 解答: 解:F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,c>0,设 P(x1,y1) , 则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a﹣ex1. 在△ PF1F2 中,由余弦定理得 cos120°= = ,

解得 x1 =

2



∵x1 ∈(0,a ],∴0≤ ∴e= ≥ .

2

2

<a ,即 4c ﹣3a ≥0.且 e <1

2

2

2

2

故椭圆离心率的取范围是 e∈



故选 A. 点评: 本题主要考查了椭圆的应用.当 P 点在短轴的端点时∠F1PF2 值最大,这个结论可以 记住它.在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题. 10. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.若 ai,j=2006,则 i、j 的值分别为()

A.64,53

B.63,53

C.63,54

D.64,54

考点: 归纳推理. 专题: 规律型;等差数列与等比数列. 分析: 第一行有一个数,第二行有两个数…,第 n 行有 n 个数字,这样每一行的数字个数组 成一个等差数列,表示出等差数列的前项和,使得和大于或等于 2006,解出不等式,做出 n 的值,在满足条件的数字附近检验,得到结果. 解答: 解:由题意可知,第一行有一个数,第二行有两个数,第三行有三个数,…, 第 62 行有 62 个数,第 63 行有 63 个数,第 n 行有 n 个数字, 这样每一行的数 字个数组成一个等差数列, ∴前 n 项的和是 ∴ ≥2006, ,

∴(n+64) (n﹣63)≥0 ∴n≥63 或 n≤﹣64(舍去) 当 n=63 时, =2016 (1+62)+53=2006.

∴a63,53=(1+2+3+…+62)+53=

故 i、j 的值分别为:63;53, 故选:B 点评: 本题考查数列的性质和应用,本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列, 后面的问题按照等差数列来解题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填空在答题卡上) 2 2 11. (5 分)命题“?x∈R,x +x≤0”的否定是?x∈R,x +x>0. 考点 : 命题的否定. 专题: 常规题型. 分析: 根据命题“?x∈R, x +x≤0”是特称命题, 其否定为全称命题, 将“存在”改为“任意”, “≤“改 为“>”即可得答案. 2 解答: 解:∵命题“?x∈R,x +x≤0”是特称命题 2 ∴命题的否定为:?x∈R,x +x>0 2 故答案为:?x∈R,x +x>0. 点评: 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<” 了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题 的否定是全称命题,“存在”对应“任意”. 12. (5 分)曲线 y=x ﹣3x +1 在点(1,﹣1)处的切线方程为 y=﹣3x+2. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题.
3 2 2

分析: 求出函数 y=x ﹣3x +1 在 x=1 处的导数值, 这个导数值即函数图象在该点处的切线的 斜率,然后根据直线的点斜式方程求解即可. 解答: 解:由曲线 y=x ﹣3x +1, 2 所以 y′=3x ﹣6x, 3 2 2 曲线 y=x ﹣3x +1 在点(1,﹣1)处的切线的斜率为:y′|x=1=3(1) ﹣6=﹣3. 此处的切线方程为:y+1=﹣3(x﹣1) ,即 y=﹣3x+2. 故答案为:y=﹣3x+2. 点评: 本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程, 考查计算能力. 13. (5 分)在△ ABC 中,若
3 2

3

2

,则最大角的余弦值等于﹣ .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据已知比值设出 a,b,c,利用大边对大角得到 C 为最大角,利用余弦定理表示出 cosC,将设出的三边长代入求出 cosC 的值即可. 解答: 解:根据题意设 a=k,b=2k,c= k, ∴最大角为 C, 利用余弦定理得:cosC= = =﹣ ,

则最大角的余弦值为﹣ . 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

14. (5 分)已知数列{an}满足 an=

+1(n≥2) ,若 a7=

,则 a5= .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 ,解得 a6= ,再由 +1,能求出 a5= .

解答: 解:∵数列{an}满足 an=

+1(n≥2) ,a7=





,解得 a6=





+1,

解得 a5= . 故答案为: . 点评: 本题考查数列的第 5 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数列的递推公 式的合理运用. 15. (5 分)抛物线 y =2x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1,到直线 3x﹣4y+9=0 的距离 为 d2,则 d1+d2 的最小值为 .
2

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由抛物线的定义可得 d1+d2 的最小值为抛物线的焦点( ,0)到直线 3x﹣4y+9=0 的 距离,由点到直线的距离公式计算可得. 2 解答: 解:∵抛物线 y =2x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1, ∴点 P 到抛物线焦点( ,0)的距离为 d1, 又点 P 到直线 3x﹣4y+9=0 的距离为 d2, ∴d1+d2 的最小值为点( ,0)到直线 3x﹣4y+9=0 的距离,

由点到直线的距离公式可得

=

故答案为:



点评: 本题考查点到直线的距离公式,涉及抛物线的定义,转化是解决问题的关键,属基 础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,16-18 每题 12 分,19-21 每题 13 分,共 75 分.请将详细解答 过程写在答题卡上) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= (1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)首先根据同角三角函数的关系求出 sinA 的值,然后由 sinC=sin(A+B)利用两 角和与差展开,并将值代入即可; ,cosA= ,b= ,

(2)根据正弦定理求出 a 的值,然后 由三角形的面积公式即可得出结果. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴ , …(6 分)

(2)由正弦定理得



…(12 分)

点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键. 17. (12 分) 已知 p: 关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的负数根 q: 关于 x 的方程 4x +4 (m﹣2)x+1=0 无实根;如果复合命题“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 先求出两个命题参数所满足的范围,再根据“p 或 q”为真,p 且 q”为假判断出两命题 的真假情况,然后求出实数 m 的取值范围.
2 2

解答: 解:当 P 为真时,有
2



即 m >0 且﹣m<0,解得 m>2(4 分) 2 当 q 为真时,有△ =16(m﹣2) ﹣16<0 得,1<m<3 (6 分) 由题意:“P 或 Q”真,“P 且 Q”为假等价于 (1)P 真 q 假: 得 m≥3 (8 分)

(2)q 真 P 假:

,得 1<m≤2(11 分)

综合(1) (2)m 的取值范围是{m|1<m≤2 或 m≥3}(12 分) 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,解题的关键是对两个命题时行化简,以及正确理 解“p 或 q”为真,p 且 q”为假的意义.本题易因为对此关系判断不准出错. 18. (12 分)已知 x>0,y>0,且 lg2 +lg8 =lg4,求 z=
x y

的最小值.

考点: 专题: 分析: 解答: 则

基本不等式在最值问题中的应用;对数的运算性质;基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用对数运算法则求出 x+3y=2,然后利用基本不等式求解 z 的最小值即可. x y 解:由 lg2 +lg8 =lg4 可得 xlg2+3ylg2=2lg2∴x+3y=2

“=”在 z=

即 的最小值:2+ .

时成立.

点评: 本题考查基本不等式的应用,对数的运算法则,考查计算能力.

19. (13 分)设椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 F 且倾斜角为

+

=1 (a>b>0)的离心率为

,若左焦点为 F(﹣1,0)

的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求 弦长|AB|.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用已知条件求出椭圆的几何量,即可求椭圆 C 的方程; (2)写出过点 F 且倾斜角为 的直线 l 的方程,与椭圆 C 联立,通过韦达定理利用弦长公式

求解弦长|AB|. 解答: 解: (1)∵左焦点为 F(﹣1,0)∴c=1 又∵ ,∴

∴椭圆 C 的方程为 (2)直线 l 的方程 为 y=x+1 由 消去 y,得 9x +10x﹣15=0
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴

点评: 本题考 查椭圆方程的求法,直线与椭圆的相交的性质,弦长公式的应用,考查计算 能力.

20. (13 分)已知函数 x=1 时取得极值. (1)求 b 的值; (2)求 f(x)的单调减区间.



考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)依题意,得 f′(x)=ax ﹣(a+1)x+b 由于 x=1 为函数的一个极值点,则 f′(1) =0,得 b=1. (2)由(1)得;f′(x)=ax ﹣(a+1)x+1,①当 0<a<1 时, 令 f′(x)<0,解不等式求出即可. 解答: 解: (1)依题意,得 f′(x)=ax ﹣(a+1)x+b 由于 x=1 为函数的一个极值点, 则 f′(1)=0, 解得 b=1. (2)由(1)得;f′(x)=ax ﹣(a+1)x+1, ①当 0<a<1 时, 令 f′(x)<0, ∴不等式的解集为 ②当 a>1 时, 令 f′(x)<0, ∴不等式的解集为 ; , ; ,
2 2 2 2

,②当 a>1 时,



综上,当 0<a<1 时,f(x)的单调减区间为(1, ) ; 当 a>1 时,f(x)的单调减区间为( ,1) . 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题.

21. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= b1=1,点 P(bn,bn+1)在直线 x﹣y+1=0 上. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an 和 bn; (2)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn,并求 Tn 的最小值.

,数列{bn}中,

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和;数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用已知条件求出数列{an}首项,判断是等比数列,即可求出通项公式,利用 P(bn,bn+1)在直线 x﹣y+1=0 上,图象数列 是等差数列,即可求解{bn}的通项公式 bn; (2)化简 cn=an?bn,利用错位相减法直接数列{cn}的前 n 项和 Tn,通过单调性即可求 Tn 的最 小值. 解答: 解: (1)∵Sn= a1=3; ,当 n=1 时 S1=a1= ,解得

当 n≥2 时 又 a2=3a1=9,所以 ;…(4 分)

,得



∵点 P(bn,bn+1)在直线 x﹣y+1=0 上,∴bn﹣bn+1+1=0, 即 bn+1﹣bn=1,所以数列{bn}是等差数列,又 b1=1 可得 bn=n.…(6 分) ( 2)∵ ∴ , 两式相减得 , , ,





因此:

…. (11 分)

∵Tn 单调递增∴当 n=1 时{Tn}最小值为 3…(13 分) 点评: 本题考查等比数列与等差数列的综合应用,数列求和的方法错位相减法的应用,基 本知识的考查.


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