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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--平面向量


江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编

平面向量
1、(常州市 2013 届高三期末)已知向量 a , b 满足 a ? 2b ? ? 2, ?4 ? , 3a ? b ? ? ?8,16 ? , 则向量 a , b 的夹角的大小为

?

?

?

r />?

? ?

?

?





答案: p 2、(连云港市 2013 届高三期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆(x?1)2+(y?1)2=4,C ??? ??? ? ? 为圆心,点 P 为圆上任意一点,则 OP ? CP 的最大值为 ▲ . 答案:4+2 2; 3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底 边 BC ? 2 , AD ? DC , AE ?

??? ?

? ??? ???? ? 1 ??? 1 EB , 若 BD ? AC ? ? , 则 2 2

CE ? AB =
答案:0





4、(南通市 2013 届高三期末)在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3 , ??? ??? ? ? ??? ???? ??? ? ? ,则 BA ? BC = ▲ . ??? ? | AB ? AC |?| BC| | BC | 答案:

1 . 2

5 、 ( 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 市 2013 届 高 三 期 末 ) 如 图 , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 已 知
AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分别是边 AB, AC 上的点,且 AE ? m AB, AF ? n AC , 其中

m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的 中 点 分 别 为 M , N , 且
m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是



.

A E F
M
C

7 7

B

N
第 14 题图

? ? ? ? ? ? ? ? 6、 (苏州市 2013 届高三期末)已知向量 a ,b ,满足 a ? 1 ,(a ? b)? a ? 2b) ? 0 ,则 b 的 (
最小值为 .

1 2
7、(无锡市 2013 届高三期末)已知向量 a=(-2,2),b=(5,k).若|la+b|不超过 5,则 k 的取值范围是

8、 (扬州市 2013 届高三期末)已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 1, k ? ,若 a ? b ,则 k 等于 答案:2

▲ .

? ? ? ? 9、 (镇江市 2013 届高三期末)已知向量 a ? (1 ? 2 x,2) , b = ? 2, ?1? ,若 a ? b ,则实数 x ?
▲ .

答案:0 9 、 ( 镇 江 市 2013 届 高 三 期 末 ) 在 菱 形 ▲

ABCD 中 ,


AB ? 2 3 , ?B ?
答案:-12

? ??? ??? ? ? ???? ??? ???? ? 2? ??? , BC ? 3BE , DA ? 3DF ,则 EF ? AC ? 3

10、(连云港市 2013 届高三期末)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 ccosB+bcosC=3acosB. (1)求 cosB 的值; ? ? (2)若BA?BC=2,求 b 的最小值. 解:(1)因为 ccosB+bcosC=3acosB, 由正弦定理,得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB. ………………………………5 分

1 又 sin(B+C)=sinA?0,所以 cosB= . ……………………………7 分 3 ? ? (2)由BA?BC=2,得 accosB=2,所以 ac=6. ………………………9 分 2 由余弦定理,得 b2=a2+c2?2accosB?2ac? ac=8,当且仅当 a=c 时取等号, 3 故 b 的最小值为 2 2. 11 、 ( 泰 州 市 2013 ………………………………14 分 届 高 三 期 末 ) 已 知 向 量

a=(cos ?? ,cos( 10 ? ? )? ),b=( sin(10 ? ? )? ,sin ?? ), ? , ? ? R (1)求 a ? b 的值 (2)若 a ? b ,求 ? (3) ? ?

?2

?2

?

?

?
20

,求证: a ? b

? ?

解:(1)∵ a |= cos2λθ+cos2(10-λ)θ ,| b |= sin2(10-λ)θ+sin2λθ (算 1 个得 1 分) | | a |2+| b |2=2,………………………………………………………………4 分 (2)∵a ⊥b ,∴ ? cos ∴ sin((10- ? )

?

?

?

?

?

?

?· sin(10- ? ) ? +cos(10- ? ) ? · ? ? =0 sin

? + ? ? )=0,∴sin10 ? =0…………………………………………7 分

∴ ? =kπ,k∈ 10 Z,∴? = (3)∵? = =cos =cos

?
20

k? ,k∈ Z……………………………………..........9 分 10

, cos ? · sin · sin

sin sin[(10- ? ) ? ] ? · ? θ-cos(10- ? ) ? · -cos( -sin

?? ??

?? ??
20 20

?
2

20 20



??
20

)· sin(

?
2



??
20

)

??
20

· cos

??

20

=0,

∴a ∥ b ………………………………………………..…………………………….. 14 分 12、(无锡市 2013 届高三期末) 已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ) ,函数

?

?

??

?

1 2

?? ? ?? m f ( x) ? (m ? n) · 。
(Ⅰ )求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ )若不等式 f(x)-t=0 在 x ? [

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

13、(扬州市 2013 届高三期末)已知向量 m ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函数

1 2

f ( x) ? m ? m ? n ? 2 .
(Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a , b , c 成等比数列, 角 B 为锐角,且 f ( B ) ? 1 ,求

2

1 1 的值. ? tan A tan C

解:(Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) .……… 3 分 2 2 2 2 2 6

故 f ( x) max ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z ,

∴取最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (Ⅱ) f ( B ) ? sin(2 B ?

?
3

, k ? Z} .

………………… 7 分

?
6

) ? 1 ,? 0 ? B ?

?
2

,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

? 2B ?

?
6

?

?
2

,B ?

?
3

5? , 6



…………………………… 10 分

由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin( A ? C ) 1 2 3 . ……………………………………14 分 ? ? ? 2 sin B sin B 3
??? ???? ? 14、(镇江市 2013 届高三期末)已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .
(1)求 tan 2 A 的值; ??? ??? ? ? ? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S . 4 解:(1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c . ??? ???? ? 1 ? AB ? AC ? S ,? bc cos A ? bc sin A ,……2 分 2 2 tan A 4 1 ? ? .……5 分 ? cos A ? sin A , ? tan A ? 2 .……4 分 ? tan 2 A ? 2 3 2 1 ? tan A ??? ??? ? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 ,……6 分 ? tan A ? 2,0 ? A ? ,……7 分 2

? sin A ?

2 5 5 . ……9 分 , cos A ? 5 5

? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . ……11 分 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b? ? sin B ? 5 ,……13 分 sin C sin B sin C ?
1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ? 3 .……14 分 2 2 5

【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查 运算变形和求解能力.


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