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高中数学新课




题:

10.2 排列 (四)

教学目的: 1 切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题; 2.会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题; 3.进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多解 教学重点: “捆绑法”和“插入法”应用的条件和方法 教学难点: “捆绑法”和“插入法”应用的条件和方法 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法
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中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ?
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? mn 种不

同的方法

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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ?

? mn 种不同的方法

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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排
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m 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示

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5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)
m

(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n )

说明: (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个 少 1,最后一个因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列
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n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)
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2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘)

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6 阶乘的概念: n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个
n 全排列,这时 An ? n(n ?1)(n ? 2)

3 ? 2 ?1 ;把正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n

n 的阶乘 表示: n ! , 即 An ? n ! 规定 0! ? 1 .
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m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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二、讲解范例: 例 1 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱 节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
1 5 解法一: (从特殊位置考虑) A9 ; A9 ? 136080 5 6 解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A9 ;若不选: A9 ,
5 6 则共有 5 ? A9 ? A9 ? 136080 种; 6 5 解法三: (间接法) A 10 ? A 9 ? 136080

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例 2. 7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解: 先将甲、 乙两位同学 “捆绑” 在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 (同
6 学)一起进行全排列有 A6 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2
6 2 种方法.所以这样的排法一共有 A6 ? A2 ? 1440 种

2

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(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
5 3 解:方法同上,一共有 A5 =720 种 A3
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(3) 甲、 乙两同学必须相邻, 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个 元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元
2 素放在排头和排尾,有 A5 种方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法;
4

最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方法.所以这样的排法一共有

2

4 2 =960 种方法 A2 A52 A4

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解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个
5 元素,若丙站在排头或排尾有 2 A5 种方法, 6 5 2 所以,丙不能站在排头和排尾的排法有 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 ? 960种方法

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解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个
1 元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种

5 方法, 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5 种方法, 最后将甲、 乙两同学 “松 5 绑” ,所以,这样的排法一共有 A4 A5 A2 =960 种方法.
1 2

(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起 解:将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆 绑”在一起看成一个元素,时一共有 2 个元素,∴一共有排法种数:
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3 4 2 A3 A4 A2 ? 288 (种)

说明:对于相邻问题,常用“捆绑法” (先捆后松) . 例 3.7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
7 6 2 解法一: (排除法) A7 ? A6 ? A2 ? 3600; 5 解法二: (插空法)先将其余五个同学排好有 A5 种方法,此时他们留下六个 2 位置(就称为“空”吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A6 种 5 2 方法,所以一共有 A5 A6 ? 3600种方法.

(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有 A4 种方法,此时他们留下五个“空” ,再将
3 3 甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A5 种方法,所以一共有 A4 A5 =
4 4

1440 种. 说明:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑) .

例 4.5 男 5 女排成一排,按下列要求各有多少种排法: (1)男女相间; (2) 女生按指定顺序排列
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5 解: (1)先将男生排好,有 A5 种排法;再将 5 名女生插在男生之间的 6 个 5 “空挡” (包括两端)中,有 2 A5 种排法

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5 5 故本题的排法有 N ? 2 A5 ; ? A5 ? 28800 (种)
10 A10 5 ? A10 ? 30240 ; 5 A5

(2)方法 1: N ?

5 方法 2:设想有 10 个位置,先将男生排在其中的任意 5 个位置上,有 A10

种排法;余下的 5 个位置排女生,因为女生的位置已经指定,所以她们只有一 种排法
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5 故本题的结论为 N ? A 10 ?1 ? 30240 (种)

三、课堂练习: 1.停车场上有一排七个停车位,现有四辆汽车需要停放,若要使三个空位连在
5 一起,则停放方法数为( ) A5

2.五种不同商品在货架上排成一排,其中 A, B 两种必须连排,而 C , D 两种不 能连排,则不同的排法共有( )24 种 3.6 张同排连号的电影票,分给 3 名教师与 3 名学生,若要求师生相间而坐, 则不同的分法有 (
3 3 ) 2 A3 ? A3

4.某人射出 8 发子弹,命中 4 发,若命中的 4 发中仅有 3 发是连在一起的,那 么该人射出的 8 发,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有( ) D .20 种 5. 设 x,y ? N
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*

且 x ? y ? 4, 则在直角坐标系中满足条件的点 M ( x, y ) 共有 个

6 6.7 人站一排,甲不站排头,也不站排尾,不同的站法种数有 站排头,乙不站排尾,不同站法种数有 种 3600,3720
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种;甲不

7.一部电影在相邻 5 个城市轮流放映,每个城市都有 3 个放映点,如果规定必 须在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市,则不同的轮映次

序有

种(只列式,不计算) . A5 A3

5

? ?

3 5

8.一天课表中,6 节课要安排 3 门理科,3 门文科,要使文、理科间排,不同 的排课方法有 种;要使 3 门理科的数学与物理连排,化学不得与数学、物理 连排,不同的排课方法有 种 9.某商场中有 10 个展架排成一排,展示 10 台不同的电视机,其中甲厂 5 台, 乙厂 3 台,丙厂 2 台,若要求同厂的产品分别集中,且甲厂产品不放两端,则 不同的陈列方式有多少种? 10.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数,其中(1)三个偶 数字连在一起的四位数有多少个?(2)十位数字比个位数字大的有多少个? 11.在上题中,含有 2 和 3 并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个? 答案:1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7.
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8. 72, 144

5 3 2 9. 2 A5 A3 A2 ? 2880

10.⑴30;

⑵150 11. 66 种
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四、小结 :1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ①某些元素不能 在或必须排列在某一位置;②某些元素要求连排(即必须相邻) ;③某些元素要 求分离(即不能相邻) . 2.基本的解题方法:①有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特 殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法) ;②某些元素 要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考 虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法” ;③某些元素不相邻排列时, 可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法” ; ④在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的 解题途径,这是学好排列问题的根基 五、课后作业:
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六、板书设计(略) 七、课后记:
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