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3.1.1直线的倾斜角与斜率


§3.1.1 直线的倾斜角与斜率 引标:我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线,那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗?如图,过一点 P 可作无数多条直线 a,b,c,…易见,答案是否定的, 这些直线有什么联系呢? 示标:正确理解直线的倾斜角和斜率的概念;理解直线倾斜角的唯一性;理解直线斜率 的存在性;斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式。 学标 (一) 自主学习、知识盘点 1.直线倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 叫 做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定 ? ? 0? 倾斜角 ? 的取值范围是什么?当直线 l 与 x 轴重合时? 2.直线的斜率 一条直线的倾斜角 ? ( ? ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示, 即由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 ? 一定存在, 但是斜率 k 不一定存在. 例如 ? = 45°时 k = tan45°= 1 (1)当直线 l 与 x 轴平行或重合时,k 为多少?(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,k 还存在 吗? 3.直线的斜率公式: k ?
y2 ? y1 x2 ? x1

对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1)当 x1 = x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 ? = 90°,直线 与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关,即 y1、y2 和 x1、x2 在公式中的前后次序可以同时交 换,但分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4)当 y1 = y2 时,斜率 k = 0,直线的倾斜角 ? = 0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (二) 合作探讨、师生互动 例 1 已知 A (3,2),B (–4,1),C (0,–1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它 们的倾斜角是钝角还是锐角.

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例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,–1,2 及–3 的直线 a, b,c,1.

诊标 课堂测试 求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4); (2)(–3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5); (4)(3,–2),(6,–2)

补标(总结提炼、拓展延伸) 已知点 P (? 3,1) 点 Q 在 y 轴上,直线 PQ 的倾斜角为 120°,则求 Q 点的坐标。

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