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平面向量的概念及其线性运算


第四章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入

第一节 平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念 大小 ,又有_____ 方向 的量叫做向量. (1)定义:既有______ (2)表示方法: ①用字母表示:a,b,c; ②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示:如 AB,CD, 大小 ,箭头所指的方向表示 其中有向线段的长度表示

向量的_____ 方向 向量的_____.
??? ? ??? ? 长度 (3)模:向量的_____叫做向量的模,记作|a|,|b|或 AB , CD .

??? ? ??? ?

2.特殊向量
名称 零向量 说明 任意的 ,记作0 0 的向量,其方向是_______ 长度等于__

1个单位 的向量 单位向量 长度等于_________
平行向量 相同或相反 的非零向量,又叫共线向量, 方向___________ 规定:0与任一向量共线

相同 的向量 相等向量 长度相等且方向_____ 相反的向量 相反向量 长度相等且方向____

3.向量的加法与减法

(1)向量的加法:
①三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作
??? ? ??? ? ??? ? a+b 即_____= a+ b = a , = b , 则向量 AB BC AC 叫做a与b的和,记作____,

??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC, 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形

法则; ②平行四边形法则:以同一点O为起点的两个已知向量a,b为 邻边作□OACB,则以O为起点的对角线 OC 就是a与b的和,这种 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则;
??? ?

③向量加法的几何意义:如图所示.

(2)向量的减法: (-b) 即减去一个向量相当于加上这个 ①定义:定义a-b=a+_____,

相反向量 ; 向量的__________
②几何意义:如图, AB ? a,AD ? b, 则 DB ? __________. AB ? AD
??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

4.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数λ 与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的 数乘,记作λ a,它的长度与方向规定如下: ①|λ a|=|λ ||a|; 相同 ;当λ <0时,λ a与a的方向 ②当λ >0时,λ a与a的方向_____ 相反 ;当λ =0时,λ a=0. ______

(2)运算律:设λ ,μ 是两个实数,则 λ ( μ a) ①_________=( λ μ ) a; λ a+ μ a ; ②(λ +μ )a=_________ λ a+ λ b ③λ (a+b)=________. 5.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使

b= λ a _______.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”). (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向 量.( ) ) )

(2)两向量不能比较大小.(

(3)若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同或相反.( (4) AB ? BC ? CD ? AD. (
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

) )

(5)共线向量定理b=λ a中,当a=0时,则实数λ 不唯一.(

【解析】(1)错误.向量是可以自由平移的,而有向线段是有端 点的,端点不同,则有向线段不同.故向量与有向线段不同, 但向量可用有向线段来表示.故不正确. (2)正确.由于向量是具有大小和方向的量,因此无法比较大小 . 故正确. (3)错误.当a,b中有一个为0时,其方向是不确定的.故不正确.

(4)正确.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点

指向最后一个向量终点的向量,故正确.
(5)错误.当a=0且b=0时,则实数λ可为任意实数,故不唯一;

当a=0且b≠0时,λ不存在.故不正确.
答案:(1)〓 (2)√ (3)〓 (4)√ (5)〓

1.D是△ABC的边AB上的中点,则向量 CD 等于(
??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ? A ?-BC+ BA???????????????? B ?-BC- BA 2 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ? C ? BC- BA???????????????????? D ? BC+ BA 2 2

??? ?

)

【解析】选A.如图,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? CD=CB +BD=CB + BA=-BC + BA. 2 2

2.判断下列四个命题: ①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b; ③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数 是( (A)1 ) (B)2 (C)3 (D)4

【解析】选A.①中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一 定相同,故不一定相等;②中两向量的模相等,但方向不一定 相同,故这两向量不一定相等;③中两向量的模相等,但两向 量不一定共线;④中两向量相等,则模一定相等,故正确 .

3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的 是( )

??? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? A ? EF=OF+OE????????????? B? EF ? OF ? OE ??? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? C ? EF ? ?OF+OE?????????? D ? EF ? ?OF ? OE

【解析】选B. EF =EO +OF =OF -OE.

??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

4.如图,正六边形ABCDEF中, BA +CD +EF =(

??? ? ??? ? ???

)

?A?0 ??? ? ? B ? BE ???? ? C ? AD ??? ? D ? CF
【解析】选D. BA +CD +EF =CD ? DE +EF =CE +EF =CF.
??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ???

5.设a,b是两个不共线的向量,且向量a+λ b与2a-b共线,则λ =____.
1 =2k, 【解析】由题意知a+λb=k(2a-b),则有 ? ? ??=-k,

∴k= 1 , λ=- .

答案:- 1

2

1 2

2

考向 1

平面向量的有关概念

【典例1】(1)下列命题中: ①时间、速度、加速度都是向量; ②向量的模是一个正实数; ③所有的单位向量都相等; ④共线向量一定在同一直线上. 其中真命题的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)3

(2)下列命题中,不正确的是(
??? ? ??? ?

)

(A)向量 AB,CD 共线与向量 AB ∥ CD 意义相同 (B)向量 AB ? CD 则向量 BA ? DC , (C)若a=b,b=c,则a=c (D)若向量a,b满足|a|=|b|,则向量a与b的方向相同
??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(3)(2013?宜宾模拟)给出下列命题:
①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ③λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则a与b共线. 其中错误命题的序号为__________.

【思路点拨】(1)根据向量及其有关概念分析解题即可.
(2)根据向量共线、相等的定义逐一分析即可.

(3)根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论.

【规范解答】(1)选A.①中时间不是向量,不正确;②中向量
的模可以为0,故不正确;③中单位向量的模相等,但方向不 一定相同,故不正确;④中共线向量所在的直线可能平行,故 不正确.综上选A. (2)选D.向量的共线与向量的平行是同义的,故A正确;根据相 反向量的概念可得B正确;由向量相等的概念可知C正确;当两 向量的模相等时,方向不一定相同.故D不正确.

(3)①不正确,虽然终点相同,但两个向量也可能不共线,如 图,a,b即不共线;②不正确,向量不能比较大小;③不正确, 当λ=μ=0时,a与b可为任意向量,不一定共线.综上①②③都 不正确. 答案:①②③

【拓展提升】平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性 .

(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量 .解题时
不要把它与函数图象的平移混为一谈.

(3)

a a 是与a同向的单位向量, 是与a反向的单位向量. |a| ?|a|

【变式训练】(1)设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则 下列表示形式中正确的是( (A) e ? a
|a|

)

(B)a=|a|e (D)a=±|a|e

(C)a=-|a|e

a 【解析】选D.对于A,当a=0时, 没有意义,错误;对于B, |a|

C,D当a=0时,选项B,C,D都对; 当a≠0时,由a∥e可知,a与e同向或反向,选D.

(2)给出下列命题:
??? ? ??? ? ①若A,B,C,D是不共线的四点,则 AB =DC 是四边形ABCD为

平行四边形的充要条件; ②0?a=0; ③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是_______.

【解析】①正确;②一方面,数乘向量的结果为向量,而不是 实数;另一方面,实数与向量的数乘运算不能用符号“?”, 故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误; ④当a,b不同向时不成立,故错误. 答案:①

考向 2

平面向量的线性运算

【典例2】(1)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中

点,则(

)

??? ? ??? ? ??? ? A ? AD+BE+CF=0 ??? ? ??? ??? ? ? B ? BD-CF+DF=0 ??? ? ??? ? ??? ? C ? AD+CE-CF=0 ??? ? ??? ? ??? ? D ? BD-BE-FC=0

(2)(2013?泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且
??? ? ??? ??? ? ??? ? 那么一定有( PA +PB +PC =AC ,
??? ??? ? ??? ? ??? ? A ? PB=2CP?????????????????? B? CP=2PB ??? ? ??? ??? ??? ? ? C ? AP=2PB?????????????????? D ? PB=2AP

)

(3)已知:任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,

求证: EF= 1 ? AB +DC ? .
2

???

??? ? ??? ?

【思路点拨】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解. (2)将向量 AC 分解为以点P为起点的两向量的差,然后化简即可. (3)结合图形,利用向量加法的法则可证得结论 .
??? ? ??? ? ??? ? 【规范解答】(1)选A. ? AB +BC +CA =0, ??? ? ??? ? ??? ? 2AD +2BE +2CF =0, ??? ? ??? ? ??? 即AD +BE +CF =0.
??? ?

(2)选D.由题意得 PA +PB +PC =PC -PA ,
??? ??? ? ??? ? 即PB =-2PA =2AP.

??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ?

(3)如图所示,∵E,F分别是AD与BC的中点,
??? ? ??? ? ??? ??? ? EA+ED=0, BF +CF =0. ??? ? ??? ??? ??? ? 又 ? AB +BF +FE+EA=0, ??? ??? ? ??? ??? ? ? EF =AB +BF +EA.??????????????① ??? ??? ? ??? ? ??? 同理EF =ED +DC +CF.??????????② ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ? 由①+②得, 2EF =AB +DC + EA+ED + BF +CF =AB +DC ,

?

? ?

?

??? 1 ??? ? ??? ? ? EF = AB +DC . 2

?

?

【拓展提升】 1.向量线性运算的一个关系

(1)当向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
满足|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|.

(2)当a,b共线同向时,则a+b的方向与a,b的方向都相同,且
|a+b|=|a|+|b|.

(3)当a,b共线反向时,若|a|>|b|,则a+b与a同向,且
|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b同向,且|a+b|=|b|-

|a|;若|a|=|b|,则a+b与a(b)同向,且|a+b|=0.

2.两个结论 (1)向量的中线公式:若P为线段AB中点,则 OP ? 1 (OA ? OB) .
2 ??? ? ???? ??? ?

(2)向量加法的多边形法则:
????? ? ?????? ?????? ??????? ? ?????? A1A 2 ? A 2 A 3 ? A 3A 4 ? … ? A n ?1A n ? A1A n .

【提醒】当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向
量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的,但

当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了.

【变式训练】(1)在△ABC中, AB 若点D满足 =c, AC =b,
??? ? ??? ? ??? ? BD =2DC ,则AD = ( ? )
2 1 5 2 b ? c??????? B ? c ? b 3 3 3 3 2 1 1 2 C b ? c ??????? D b ? c ? ? ? ? 3 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 ?选A.? BD=2DC, ? AD-AB = ( 2 AC-AD), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? 2 1 ? 3AD=2AC +AB,? AD= AC + AB = b+ c. 3 3 3 3

??? ?

??? ?

?A?

(2)若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子:
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ①AB ? CD ? BC ? AD ;②AC ? BD ? BC ? AD; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③AC ? BD ? DC ? AB.

其中正确式子的序号为____________.

【解析】①由AB ? CD ? BC ? AD得, AB ? AD ? BC ? CD ? ?CB ? CD
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?2CB ? CB ? CD ,从而DB ? ?2CB ? DB ,即CB ? 0, 故不正确; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ②由AC ? BD ? BC ? AD得, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? AD ? BC ? BD,即DC ? DC ,故正确; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③由AC ? BD ? DC ? AB得AC ? AB ? DC ? BD, ??? ? ??? ? 即BC ? BC ,故正确.综上可得②③正确.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

答案:②③

考向 3

共线向量定理及其应用

【典例3】(1)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与

c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于(
(A)a (B)b (C)c (D)0

)

(2)设两个非零向量a与b不共线.
??? ? ??? ? ??? ? ①若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b).

求证:A,B,D三点共线;
②试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【思路点拨】(1)根据向量共线的充要条件得到向量的关系
式,比较系数可得结论. (2)①先证明 AB , BD 共线,再说明它们有一个公共点 ,从而 得证;②利用共线向量定理列出方程组求 k.
??? ? ??? ?

【规范解答】(1)选D.∵a+b与c共线, ∴a+b=λ1c. ①

又∵b+c与a共线,
∴b+c=λ2a. ②

由①得:b=λ1c-a.
∴b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
1 0, ??1=- 1, ??1+= ?? 即? 1 ?? 2=-, 1 ?? 2=-,

∴a+b+c=-c+c=0.

??? ? ??? ? ??? ? BC =2a ? 8b, CD=3 ? a ? b ? , ? 2 ? ① ? AB=a ? b, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BD =BC +CD=2a ? 8b ? 3 ? a ? b ?=5 ? a+b ?=5AB, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB , BD共线.又 AB与BD有公共点B, ? A,B,D三点共线.

②∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
? k ? ?, ?? ?k? ? 1,

∴k=〒1.

【互动探究】本例(2)②条件不变,结论若改为“若向量ka+b
和向量a+kb反向,求k的值”,则结果如何?

【解析】∵ka+b与a+kb反向共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),
? k ? ?, ?? ? k= ? 1. , ?k? ? 1

又λ<0,∴k=-1.故当k=-1时两向量反向共线.

【拓展提升】三点共线的表示
??? ? ??? ? A, P, B三点共线 ? AP ? tAB ??? ? ???? ??? ? ? OP ? ?1 ? t ? OA ? tOB(O为平面内任一点,t ? R) ??? ? ???? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB ? O为平面内任一点,x ? R, y ? R, x ? y ? 1?.

【变式备选】已知点G是△ABO的重心(三边中线的交点),M是 AB边的中点. (1)求 GA+GB +GO.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若PQ过△ABO的重心G, 且OA =a, OB =b, OP =ma, OQ =nb,
??? ? ??? ? ??? ?

求证:1 + 1 =3.
m n

???? ??? ? ???? ? 【解析】 ?1? ? GA+GB =2GM, ???? ? ??? ? 又 2GM=-GO, ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? GA+GB +GO=-GO +GO=0. ???? ? 1 ? 2 ? 显然OM= ? a+b ?. 2 ???? 2 ???? ? 1 因为G是?ABO的重心,所以OG= OM= ? a+b ? . 3 3

??? ? ??? ? 由P,G,Q三点共线,得PG ? GQ,所以,有且只有一个实数?, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 1 1 使 PG=?GQ.而 PG=OG-OP= ? a+b ?-ma=( -m)a+ b, 3 3 3 ??? ? ??? ? ???? 1 1 1 GQ=OQ-OG=nb- ? a+b ?=- a+(n- )b, 3 3 3 1 1 1 1 所以( -m)a+ b=?[- a+(n- )b] . 3 3 3 3 又因为a,b不共线,

1 ?1 - m =- ?, ? ?3 3 所以 ? 消去?,整理得3mn=m+n, ? 1=? (n-1 ), ? 3 ?3 1 1 故 + =3. m n

【易错误区】概念理解不清致误 【典例】(2013?郑州模拟)已知向量a,b不共线,且c=λ a+b,

d=a+(2λ -1)b,若c与d同向,则实数λ 的值为______.
【误区警示】解答本题时,由于对两个向量共线、同向、反向

的概念理解不清,混淆它们之间的关系,导致错解.

【规范解答】由于c与d同向,所以c=kd(k>0),

于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.

由于a,b不共线,
所以有 ?
?? ? k, ? 2?k ? k ? 1,

整理得2λ2-λ-1=0,
所以λ=1或λ= ? 1 .
2

又因为k>0,所以λ>0,故λ=1. 答案:1

【思考点评】准确理解向量共线、同向、反向的概念及其关系
两个向量共线,是指两个向量的方向相同或相反,也称它们为 平行向量,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.在 求解相关问题时要注意区分三者.一般地,若a=λb,那么a与b 共线;当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.

??? ? ??? ? 1.(2013?德州模拟)在平面上有A,B,C三点,设 m=AB +BC , ??? ? ??? ? 若m与n的长度恰好相等,则有( ) n=AB -BC ,

(A)A,B,C三点必在一条直线上 (B)△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 (C)△ABC必为直角三角形且∠B为直角 (D)△ABC必为等腰直角三角形

【解析】选C.如图,以 BA, BC 为
邻边作平行四边形ABCD,则
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? m=AB +BC =AC ,n=AB -BC = ??? ? ??? ? ??? ? 由m,n的长度相等 AB -AD =DB ,

??? ? ??? ?

可知,两对角线相等,因此平行四边形ABCD一定是矩形.故选C.

2.(2013?黄山模拟)已知:如图,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? 1 , OA与OB 的夹角为

120°, OC与OA 的夹角为30°, 若 OC ? ?OA ? ?OB (λ ,μ ∈R),则 ? 等于(
??? ? ??? ? ??? ?
?

??? ? ??? ?

)

? A?

3 2 3 1 ????????????? B? ????????????? C ? ????????????? D ? 2 2 3 2

【解析】选D.如图,以OC为对角 线作□OMCN,则在△OCN中, ∠NOC=90°,∠OCN=30°.
??? ? ???? ? ???? ON ? ?OB ? ?, NC ? OM ? ?OA ? ?, ? ? 1 ? ? 2. ? sin 30?

3.(2013?阜阳模拟)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-

b,如果c∥d,那么(
(A)k=1且c与d同向 (B)k=1且c与d反向 (C)k=-1且c与d同向 (D)k=-1且c与d反向

)

【解析】选D.由c∥d得c=λd,
即ka+b=λ(a-b),
? k ? ?, ?? ?1 ? ??,

∴k=λ=-1, ∴向量c与d共线反向.

4.(2013?大连模拟)设a,b都是非零向量,则下列四个条件:
a b ? ①a=-b;②a∥b;③a=2b;④|a|=|b|.其中可作为使 |a| |b|

成立的充分条件的有( (A)0个 (B)1个

) (C)2个 (D)3个

a b 与 【解析】选B.对于①,当a=-b时, a | b | 方向显然不同,故

不成立;对于②,当a∥b时,a,b不一定同向,故等式不一定
a 2b b ? , 成立;对于③,当a=2b时, ? 等式成立;对于④, a 2b b a b 与 的方向不一定相同,故等式不一定成立.综上只有③可 a |b|

作为充分条件.

5.(2013?宁德模拟)关于平面向量a,b,c.有下列三个命题:
①若a?b=a?c,则b=c; ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3; ③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°. 其中真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)

【解析】∵a?b=a?c,∴a?(b-c)=0, ∴a⊥(b-c),不一定有b=c,则①错误;a=(1,k),b=(-2,6), 当a∥b时,6+2k=0,∴k=-3,则②正确;非零向量a和b满足 |a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|,|a-b|为三条边可构成等边 三角形,∴a与a+b的夹角为30°,因此③错误,故真命题序号 为②. 答案:②

??? ? ??? ? 1.设a,b为不共线的非零向量, AB=2a+3b, BC =-8a-2b, ??? ? ) CD =-6a-4b,那么( ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? A ? AD与BC同向,且 AD ?| BC | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? B ? AD与BC同向,且 AD ?| BC | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? C ? AD与BC反向,且 AD ?| BC | ??? ? ??? ? ? D ? AD ? BD

【解析】选A.AD=AB +BC +CD =2a+3b+?-8a-2b ?+- ( 6a-4b)
??? ? =- 12a-3b,又 BC =-8a-2b, ??? ? 3 ??? ? ? AD= BC. 2 3 ? ? 0, 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 ??? ? ? AD与BC 同向,且 AD = BC . 2 ??? ? ??? ? ? AD ? BC .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

2.已知O是三角形ABC的重心(三条中线的交点),动点P满足
??? ? 1 1 ???? 1 ??? ? ??? ? OP ? ( OA ? OB ? 2OC), 则点P一定为三角形ABC的( 3 2 2

)

(A)AB边中线的中点 (B)AB边中线的三等分点(非重心) (C)重心 (D)AB边的中点

【解析】选B.取AB的中点D, 则OD ? ? 1 OC,
2

??? ?

??? ?

??? ? 1 1 ???? 1 ??? ? ??? ? 故 OP ? ( OA ? OB ? 2OC) 3 2 2 ? ??? ? 1 1 ???? ??? ? [ OA ? OB ? 2OC] 3 2 ? ??? ? 1 1 ??? ? ( ? 2OD ? 2OC) 3 2 ? ??? ? 1 ??? ? (OD ? 2OC) 3 ? ??? ? 1 ??? ? 1 1 ??? ? ( ? OC ? 2OC) ? OC, 3 2 2

?

?

故点P为中线CD的三等分点(非重心).


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