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2013届高三11月月考试题数学(理科)


张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(11 月)

高 三 数 学

(理科)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 M={x|(x+3)(x-1)<0},N={x |x≤-3},则 A.{x|x≤1} B. {x|x≥1}

C (M∪N)=(
R

) D. {x|x<1}

C. {x|x>1} )

n ?1 2.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 ? 2 , a3 ? ( 则

A. ? 1

B. ?2

C. ?4

D. ?8 )

3.椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 16 12

B.

x2 y 2 ? ?1 12 8

C.

x2 y 2 ? ?1 8 4

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

4.已知直线 a 和平面 ? , ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? ,且 a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b 和 c ,则

b 和 c 的位置关系是(
A.相交或平行

) B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交﹑平行或异面

5.已知 tan ? ? 2, 则

sin(

? ?
2 2

? ? ) ? cos(? ? ? )
等于( )

sin(

? ? ) ? sin(? ? ? )
2 3
( )

A.2

B.-2

C.0

D.

6.已知 ?an ? 为等比数列,若 a 4 ? a 6 ? 10 ,则 a1 a 7 ? 2a3 a 7 ? a3 a9 的值为 A.10 B.20 C.60

D.100 )

7.在△ABC 中, 角 A、B、C 对边 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3 ac,则角 B=( A.
?
6

B.

?
3

C.

?
6



5? 6

D.

?
3



2? 3

高三数学(理科)

第 1 页

共 4 页

? ? ? ? 8.已知向量 a ? ( x ?1,2), b ? (4, y) ,若 a ? b ,则 9x ? 3y 的最小值为(
A. 2 3 9.已知函数 f ( x) ? ? B.12 C.6 ,若关于 x 的方程 f ) C. (1,2)
2

) D. 3 2

?
2

x ? 1, x ? 0

? x ? 2 x ? 1, x ? 0


(x ) ? af (x ) ? 0 恰有 5 个不同的

实数解,则 a 的取值范围是 A. (0,1)

B. (0,2)

D. (0,3)

10.设函数 f ( x) ? sin(2? x ?

?

3? ,则正数 ? 的值为( 4 1 2 A. B. 3 3

1 1 1 ) ? , x ? R, 又 f (? ) ? ? , f (? ) ? , 且 | ? ? ? | 最小值为 6 2 2 2
) C.

4 3

D.

3 2

11.若函数 y ? f ( x) 在 R 上可导,且满足不等式 xf ?( x) ? ? f ( x) 恒成立,且常数 a,b 满足条 件 a>b,则下列不等式一定成立的是 ( A.af(b)>bf(a) C.af(a)<bf(b) ) B.af(a)>bf(b) D.af(b)<bf(a)

12.已知 f (x ) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? ln(x 2 ? x ? 1) , 则函数 f (x ) 在区间 ?0,6? 上的零点个数是( A.3 B.5 C.7

? ?

3? 2?

) D.9

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 在区间 [? 14.已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 2x ?1,若

? ?
6 , 3

] 上的值域是______________.

?

1

?1

f ( x)dx ? 2 f (a ) ,则 a 的值是______________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.若变量 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 2x ? y 的最大值为 ? 1 ,则 a ? ?y ? a ?
16.设定在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (tan x) ?
1 ,则 cos 2 x
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高三数学(理科)

1 1 1 f (2) ? f (3) ? ...... ? f (2013 ? f ( ) ? f ( ) ? ....... ? f ( ) )? 2 3 2013
三、解答题: 17. (本题 10 分)在 ?ABC中,已知 AB? AC ? 3BA? BC 。 (1)求证: tanB ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?

.

5 ,求角 A 的值。 5

18. (本题 12 分) 已知数列 ?an ?中,a1 ? 1 ,a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ....... ? nan ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值。
*

n ?1 an?1 . n ? N * 。 2

?

?

19. (本小题满分 12 分)已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的动点。 (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (Ⅱ)当点 E 在何位置时,BD⊥AE?证明你的结论; (Ⅲ)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.
P

E

2
D C

2 1

1
A B

1 侧视图

1 俯视图

正视图

y 2 x2 20. (本小题共 12 分)直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,已 a b
知 m ? (ax1 , by1 ) , n ? (ax 2 , by 2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离心率 e ?

??

?

??

?

3 ,又椭圆经过点 2

(

3 ,1) , O 为坐标原点. 2

(1)求椭圆的方程; (2)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数. (1)当 a ? ?1 时,求 f (x) 的最大值; (2)若 f (x) 在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (3)当 a ? ?1 时,试推断方程 f ( x) =

ln x 1 ? 是否有实数解. x 2

选考题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做 答时请写清题号,满分 10 分.) 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图, Rt △ ABC 中, C ? 90? , BE 平分 ?ABC 交 AC 于 在 ? 点 E ,点 D 在线段 AB 上, DE ? EB . (Ⅰ)求证: AC 是△ BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD ? 2 3, AE ? 6 ,求 EC 的长.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 ,已 知 曲 线

? ? x ? ?2 ? C : ? sin ? ? 2a cos ? ( a ? 0) ,已知过点 P (?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ? ? ? y ? ?4 ? ? ?
2

2 t 2 ,直 2 t 2

线 l 与曲线 C 分别交于 M , N . (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列, 求 a 的值.

24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数

f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | .

(Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.
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张掖二中 2012—2013 学年度高三月考试卷(11 月) 高三数学(理科)答案
1-5:BDCDB; 6-10:DDCAA 11-12:BD

1 13、 ?1, 2 ? 14、 ? 1 或 ; 15、-1; 16、0 3 17、 (1) AB? AC ? 3BA? BC ? bccos A ? 3accosB ? sinB cos A ? 3sin AcosB (5 分)
(2) cos C ? 5 ? tan C ? 2 ? ? tan( A ? B) ? tan A ? tan B ? ?2 ? tan A ? 1 ? A ? ? (10 分) 5 1 ? tan A tan B 4 1, n ? 1 ? 18、解析: (1) a ? ? 2 ; 分) (6 ? n ? 3n?2 , n ? 2 ?n ? a 2 ? 3n ? 2 1 (2) an ? ?n ? 1?? ? ? ? n ? ? ? ? f (n), (n ? 2) ? ? ? f (2) ? ,而 a1 ? 1 , n ?1 n(n ? 1) 3 2 2 所以所求实数 ? 的最小值是 1 。 (12 分) 3 19

z

2 2? ? 2 在△DGB 中,由余弦定理得 DB 2 ? BG 2 ? BD 2 1 3 cos ?DGB ? ? ?? 2 2 DB ? BG 2 2? 3

P

∴ ?DGB =

2? -----12 分 3

E x D

[解法二:以点 C 为坐标原点,CD 所在的直线为x轴建立 空间直角坐标系如图示:
高三数学(理科) 第 5 页 共 4 页

C

A

y

B

则 D (1, 0, 0), A(1,1, 0), B (0,1, 0), E (0, 0,1) ,从

?? ? 2? m?n 设二面角 D-AE-B 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ??? ? ? ? 1 ∴ ? ? ------12 分 3 2 | m |?| n | 20. (本小题共 12 分)
解: (1)∵ ?e ? a ? ?
? c ? ? 1 ? 3 ?1 ? a 2 4b 2 ? a 2 ? b2 3 ? ∴a a 2

???? ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1, 0,1), DA ? (0,1, 0), BA ? (1, 0, 0), BE ? (0, ?1,1) ?? ? 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 m ? (a, b, c), n ? (a ', b ', c ') ???? ?? ??? ?? ? 由 DE ? m ? 0, DA ? m ? 0 可得: ? a ? c ? 0, b ? 0 , 同理得: a ' ? 0, ?b '? c ' ? 0 。令 c ? 1, c ' ? ?1 ,则 a ? 1, b ' ? ?1 , ?? ? ∴ m ? (1, 0,1), n ? (0, ?1, ?1) ------10 分

? 2, b ? 1 ∴椭圆的方程为

y2 ? x 2 ? 1 ……4 分 4

(2)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y 2 ,
2 2 2 2 由已知 m ? n ? 0 ,得 4 x1 ? y1 ? 0 ? y1 ? 4 x1

4 x12 2 又 A( x1, y1 ) 在椭圆上,所以 x ? ? 1 ?| x1 |? ,| y1 |? 2 4 2 1 1 S ? | x1 || y1 ? y2 |? | x1 | 2 | y1 |? 1 ,三角形的面积为定值.………7 分 2 2 ②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y ? kx ? t
2 1

? y ? kx ? t 2 2 2 2 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2ktx ? t 2 ? 4 ? 0 必须 ? ? 0 即 4k t ? 4(k ? 4)(t ? 4) ? 0 ?y 2 ? ? x ?1 ?4

t2 ? 4 ?2kt 得到 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?4 k ?4 2 2 ∵ m ? n , 4x1x2 ? y1 y2 ? 0 ? 4x1x2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? 0 , ∴ 代入整理得:2t ? k ? 4

S?

1 |t | 1 | t | 4k 2 ? 4t 2 ? 16 4t 2 | AB |? | t | ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x1 ? ? ?1 k2 ? 4 2|t | 2 1? k 2 2
f′(x)=-1+

所以三角形的面积为定值. ……12 分 22. 解:(1) 当 a=-1 时,f(x)=-x+lnx,

1 1? x ? x x

当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, f ( x) max =f(1)=-1……4 分 (2) ∵f′(x)=a+

1 1 ?1 ? ,x∈(0,e] , ∈ ? , ?? ? x x ?e ?

1 e 1 1 1 ② 若 a< ? ,则由 f′(x)>0 ? a ? >0,即 0<x< ? e x a
高三数学(理科) 第 6 页

① 若 a≥ ? ,则 f′(x)≥0, f(x)在(0,e]上增函数 ∴ f ( x) max =f(e)=ae+1≥0.不合题意

共 4 页

1 1 1? ? ? 1 ? <0,即 ? <x≤e. 从而 f(x)在 ? 0, ? ? 上增函数,在 ? ? , e ? 为减函数 x a a? ? ? a ? 1 ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴ f ( x) max =f ? ? ? =-1+ln ? ? ? 令-1+ln ? ? ? =-3,则 ln ? ? ? =-2∴ ? = e ?2 , a ? a? ? a? ? a? ? a? 1 即 a= ?e ?2 . ∵ ?e ?2 < ? , ∴a= ?e 2 为所求……………8 分 e
由 f(x)<0 ? a ?

…………14 分 22.解: (Ⅰ)设线段 DB 的中点为 O ,连接 EO , ? DE ? EB ? 点 O 是圆心,

? OB ? OE , ??OEB ? ?OBE

? AE 2 ? AD ? AB,

? AB ?

AE 2 62 ? ? 6 3, AD 2 3
……10 分 ……..5 分

? BD ? AB ? AD ? 6 3 ? 2 3 ? 4 3 ? OB ? OD ? 2 3 .
又由(Ⅰ)知 OE // BC , ? AE ? AO . ? EC ? AE ? OB ? 6 ? 2 3 ? 3 . EC OB AO 4 3 2 23.解: (Ⅰ) y ? 2ax, y ? x ? 2 .
? ? x ? ?2 ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 2 ( t 为参数),代入 y ? 2ax , 2 t 2

得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 ,则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 .解得 a ? 1 . …10 分 24、解: (Ⅰ)原不等式等价于 3 3 ? ? 1 1 ? ?x ? , ?? ? x ? , 或 ?x ? ? 2 , 或? 2 2 2 ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6, ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6. ? ? ? 3 1 3 1 .即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} .……5 分 解之得 ? x ? 2, 或 ? ? x ? ,或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2 (Ⅱ)? f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? ?2 x ? 1? ? ?2 x ? 3? ? 4 .
高三数学(理科) 第 7 页 共 4 页

? a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .
(本题利用图像法或几何意义法仍然可解,请酌情给分.)

………………10 分

高三数学(理科)

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