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圆锥曲线三大难点解读



圆锥曲线三大难点解读
高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识,还对最值与定 值(定点) 、求参数范围(或值) 、存在与对称等问题加大了考查力度.本文对各地考题归类 整理,并探讨这三大难点的求解策略. 难点一、最值与定值(定点)问题 圆锥曲线的最值与定值(定点)问题一直是高考的一大难点. 最值问题求解策略是:几何法与代数法,前者用于条件与结论有明显几何意义,利用图 形性质来解决的类型;后者则将结论转化为目标函数,结合配方法、判别式法、基本不等式 及函数的单调性等知识求解. 定值(定点)问题求解策略是:从特殊入手,求出定点或定值,再证明这个点(值)与 变量无关.也可以在推理、计算过程中消去变量,直接得到定点(或定值) . 例 1 (江西卷理 21) 如图 1, 椭圆 Q :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

0) ,过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭 的右焦点 F (c,
圆于 A, B 两点, P 是线段 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 H 的方程; (2)在 Q 的方程中,令 a ? 1 ? cos ? ? sin ? ,
2

?? ? b2 ? sin ? ? 0 ? ? ≤ ? ,确定 ? 的值,使原点距椭圆 Q 的右准线 l 最远,此时,设 l 与 ?? ?

x 轴交点为 D .当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时, △ ABD 的面积最大?
分析:求轨迹方程可用“设而不求”法,考虑 AB 的斜率是否存在,注意到 AB 与 PF

b 不难得到满足要求的 c ? 1 , 共线, 得方程为 b x ? a y ? b cx ? 0 ; 在第 (2) 问中, 由a 、
2 2 2 2 2
2 2

为避免讨论直线 m 的斜率是否存在,可设 m 的方程为 x ? ky ? 1 ,再利用三角函数求出 ? ,

△ ABD 的面积用 A, B 纵坐标可表示为 S ?

1 y1 ? y2 , 当直线 m 垂直于 x 轴时,△ ABD 2

的面积最大. 点评:本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身,运用了点差法、分类讨论思想、 二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等,对各种能力 的综合要求非常高. 例 2 (全国卷Ⅱ理 21 文 22)已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F , A, B 是抛物线上的
2

两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0) .过 A, B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M . (1)证明 FM · AB 为定值; (2)设 △ ABM 的面积为 S ,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值.

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

简解 : ( 1 ) F (0, 1) ,设点 A, B 的横坐标为 x1,x2 ,则 过点 A, B 的切线分别 为

y?

???? ? ??? ? ??? ? ??? ? x12 x1 x2 x ? ( x ? x1 ) , y ? 2 ? 2 ( x ? x2 ) ,结合 AF ? ? FB ,求得 FM ?AB ? 0 为定值; 4 2 4 2
3 ???? ? ??? ? FM AB 1 ? 1 ? ? (2)FM ?AB ? 0 , 则 △ ABM 的面积 S ? ? ? ?? ≥ ? 23 ? 4 . ? 2 2? 2 ??

难点二、求参数范围(或值)问题 求参数范围问题的求解策略是: 根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式 (组) , 利用线性规划得出参数的取值范围. 有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确 定参数的变化范围.

1) 、B(0, 1) ;三动点 D,E,M 例 3 (陕西卷理 21) 如图 2, 三定点 A(2, ? 1) 、C (?2,

1] . 满足 AD ? t AB , BE ? t BC , DM ? tDE , t ?[0,
(1)求动直线 DE 斜率的变化范围; (2)求动点 M 的轨迹方程. 解: (1)设 D( xD,yD ) , E ( xE,yE ) , M ( x,y ) . 由 AD ? t AB ,知 ( xD ? 2,yD ?1) ? t (?2, ? 2) , 即?

????

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

????

??? ?

? xD ? ?2t ? 2, ? xE ? ?2t, 同理 ? ? y D ? ?2t ? 1. ? y E ? 2t ? 1.

∵ kDE ?

yE ? yD 1] ,∴ kDE ?[?11] ? 1 ? 2t ,且 t ?[0, ,; xE ? xD

(2)∵ DM ? tDE ,即 ( x ? 2t ? 2,y ? 2t ?1) ? (?2t, 4t 2 ? 2t ) . ∴?

???? ?

??? ?

? x ? 2(1 ? 2t ),
2 ? y ? (1 ? 2t ) ,

消去参数 t ,得 x2 ? 4 y .

1] ,∴ x ? 2(1 ? 2t ) ?[?2, 2] . ∵ t ?[0, 2] . 故 x ? 4 y , x ? [?2,
2

点评:本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识,以及依靠不变量(定点坐 标和不变的向量共线)与变量的关系相互转化,综合运用各种知识解决问题的能力. 难点三、存在与对称性问题 存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果. 存在性问题的求解策略是:一般先假设某数学对象存在,按照合情推理或计算,得到存 在的依据或导出矛盾,从而肯定或否定假设,有时也可由特殊情况探索可能的对象,作出猜

想,然后加以论证. 对称性问题的求解策略是: 结合轴对称或中心对称. 考虑斜率与中点或向量的数量积 (可 避开斜率存在性的讨论) ,常用“设而不求” 、待定系数法等方法解决问题. 例 4 (湖南卷理 21) 如图 3, 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

抛物线 C2 : ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0),且 C1 、 C2 的公共 弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点. (1)当 AB ⊥ x 轴时,求 m, p 的值,并判断抛物 线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)是否存在 m, p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条 件的 m, p 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)当 AB ⊥x 轴时,m ? 0 ,直线 AB 的方程是 x ? 1 ,点 A 为 ?1 , ? 或 ?1 , ? 代入抛物线方程,得 p ? 此时 C2 的焦点为 ?

? 3? ? 2?

? ?

3? ?. 2?

9 . 8

?9 ? , 0 ? ,且焦点不在直线 AB 上; ? 16 ? ?p ? ,m ? ,弦 AB 的两端点在抛物线上, ?2 ?

(2)设 A( x1,y1 ) 、 B( x2,y2 ) ,C2 的焦点 F ? ?

也在椭圆上,所以 AB ? x1 ? x2 ? p ? ? 2 ?

? ?

2 1 ? ? 1 ? x1 ? ? ? 2 ? x2 ? ,即 x1 ? x2 ? (4 ? p ) . 3 2 ? ? 2 ?

由(1)知 x1 ? x2 , p ? 2 ,故 k AB ?

2m . p?2

直线 AB 的方程是 y ?

2m 4m(1 ? p) ( x ? 1) ,则 y1 ? y2 ? . 3( p ? 2) p?2

因 A, B 在 C1 上,即 ?

2 2 ? ?3x1 ? 4 y1 ? 12, 2 2 ? ?3x2 ? 4 y2 ? 12,

两式相减,得

y2 ? y1 3( x1 ? x2 ) ?? , x2 ? x1 4( y1 ? y2 )

即 m2 ?

3( p ? 4)( p ? 2)2 .① 16(1 ? p)

2 ? x ? x1 ?( y1 ? m) ? 2 px1, 又 A, B 在 C2 上,即 ? 两式相减,得 y1 ? y2 ? 2m ? 2 p 2 ,即 2 y2 ? y1 ? ?( y2 ? m) ? 2 px2,

3 p( p ? 2) 2 .② m ? 16 ?10 p
2

由①、②,得 3 p2 ? 20 p ? 32 ? 0 , 解得 p ? 由p?

4 或 p ? ?8 (舍) . 3

4 6 6 ,得 m ? 或m ? ? . 3 3 3 4 6 6 或m ? ? ,p? . 3 3 3

故满足条件的 m, p 存在,且 m ?

点评:此题中抛物线的顶点不在原点,公共弦 AB 既要与抛物线联系,也要用到椭圆的 焦点弦,特别是把存在与对称性结合在一起,使难度和运算量都大大增加,解决问题需要有 很强的逻辑推理能力和运算能力.


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