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三角函数图像及其变换


高一数学第十四讲

三角函数图像及其变换
π
2

一、知识要点: 1.正弦、余弦、正切函数图象和性质
函数 正弦函数 y = sin x, x ∈ R 余弦函数 y = cos x, x ∈ R

正切函数 y = tan x, x ≠ kπ +

图象

定义 域

(?∞,+∞)

(?∞,+∞)

π ? ? ? x | x ≠ kπ + , k ∈ Z ? 2 ? ?
(?∞,+∞)

[?1,1]
值域 当x=

[?1,1]
当 x = 2kπ (k ∈ Z ) 时, y max = 1 当 x = π + 2kπ (k ∈ Z ) 时,y min = ?1 是周期函数,最小正周期 T = 2π 偶函数,图象关于 y 轴对称 在 [π + 2kπ ,2π + 2kπ ], (k ∈ Z ) 上 是单调增函数 在 [2kπ , π + 2kπ ], (k ∈ Z ) 上 是 单 调减函数

π
2

+ 2kπ ( k ∈ Z ) 时, y max = 1
+ 2kπ (k ∈ Z ) 时, y min = ?1

x=?
周期 性 奇偶 性 在 [? 单调 性

π
2

是周期函数,最小正周期 T = 2π 奇函数,图象关于原点对称

T =π
奇函数,图象关于原点对称

π
2

+ 2kπ ,

π
2

+ 2kπ ], (k ∈ Z )

在 (?

π
2

+ kπ ,

π
2

+ kπ ), (k ∈ Z )

上是单调增函数 在 [

上是单调增函数

π
2

+ 2kπ ,

3π + 2kπ ], (k ∈ Z ) 上 2

是单调减函数 对称 轴 对称 中心

x = kπ +

π
2

, (k ∈ Z )

x = kπ , ( k ∈ Z ) ( kπ +

2 2.利用“五点法”作函数 y = A sin(ωx + ? ), x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0 )的简图,是将 ωx + ? 看着一个整体,先令

(kπ ,0) (k ∈ Z )

π

,0 ) ( k ∈ Z )

(

kπ , 0) (k ∈ Z ) 2

ωx + ? = 0,

π
2

,π ,

3π ,2π 列表求出对应的 x 的值与 y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内 2

的图象。 3.研究函数 y = A sin(ωx + ? ), x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0 )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将 ωx + ? 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期 T =
4.图象变换 (1)振幅变换
y = sin x, x ∈ R

2π |ω |

?所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0< A<1)??? → ??????????到原来的A倍 ?
1

y = A sin x, x ∈ R

(2)周期变换
(3)相位变换 (4)复合变换

y = sin x, x ∈ R y = sin x, x ∈ R y = sin x, x ∈ R

ω ?????????????? → ?

1 所有点的横坐标缩短ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的 倍 (

y = sin ωx, x ∈ R y = sin ( x + ? ), x ∈ R y = sin ( x + ? ), x ∈ R

?所有点向左(? >0)? ?? <0)? ? ? ? → ? ? ? ? 或向右( ? 平移|?|个单位长度 ?
?所有点向左 (? > 0)? ?(? < 0)? ? ? ? → ? ? ? ? 或向右 ? 平移|? |个单位长度 ?
所有点的横坐标缩短 ( ω >1) 或伸长 (0 < ω <1) 到原来的 1 倍

ω ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → y = sin(ωx + ? ), x ∈ R ?

?所有点的纵坐标伸长 (A >1)或缩短 (0< A <1)? ? ? → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 到原来的A倍 ?

y = A sin(ωx + ? ), x ∈ R

5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图 象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二.基础练习

1 π 1. 函数 y = 2sin( x + ) 的最小正周期 T= 2 3
2.函数 y = sin

. 若函数 y = tan(2ax ?

x 的最小正周期是 2

π
3

) 的最小正周期是

π
2

,则 a=____.

3.函数 y = 2 sin(

π
6

? 2 x )( x ∈ [0, π ]) 为增函数的区间是

4.函数 y = 2 cos( x ?

π π

2 )( ≤ x ≤ π ) 的最小值是 3 6 3

5.将函数 y = cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y = 2 cos(2 x ?

π
4

) 的图像?

6.已知简谐运动 f ( x ) = 2 sin ?

π? ?π ?? 1) x + ? ? ? ? < ? 的图象经过点 (0, ,则该简谐运动的最小正周期 T 和 2? ?3 ??

初相 ? 分别为
7.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a,b,c 的大小关系为______. 8.给出下列命题: ①存在实数 x ,使 sin x cos x = 1 成立;

? 5π ? ? 2 x ? 是偶函数; ? 2 ? π 5π ? ? ③直线 x = 是函数 y = sin ? 2 x + ? 的图象的一条对称轴; 8 4 ? ? ④若 α 和 β 都是第一象限角,且 α > β ,则 tan α > tan β .
②函数 y = sin ? ⑤ f ( x) = 3 sin(2 x +

π

3 其中结论是正确的序号是 三、例题分析: 题型 1:三角函数图像变换

), x ∈ R 的图象关于点 (?

,0) 对称; 6 (把你认为是真命题的序号都填上) .

π

例1、 变为了得到函数 y = sin( x ? ) 的图象,可以将函数 y = 2

π

6

1 cos x 的图象怎样变换? 2

2

式 1:将函数 y = sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向 左平移

π
3

个单位,所得图象的解析式是

.

题型 2:三角函数图像性质 例 2、已知函数 y=log 1 ( 2 sin( x ?
2

π
4

))

⑴求它的定义域和值域;

⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ;⑷判断它的周期性.

变式 1:求函数 y =

3 4π sin(2π x + ) 的最大、最小值以及达到最大(小)值时 x 的值的集合. ; 2 3

变式 2:函数 y=2sinx 的单调增区间是

题型 3:图像性质的简单应用 例 3、已知函数 f ( x ) = A sin (ω x + θ ) ? A > 0, ω > 0,| θ |<

(1)求函数 y = f ( x ) 的解析式;

? 3? ? 的图象与 y 轴交于点 ? 0, ? ,它在 y 轴右 2? ? 2? 侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 ,3) , ( x0 + 2π , ?3) ,

? ?

π?

(2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数 y = sin x 的图象依次经过哪些变换 而得到的。

3

变式 1:如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+ ? )+b. (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式. 变式 2:已知函数 f ( x) = sin(ωx + ? ), ω > 0,0 ≤ ? ≤ π 是 R 上的偶函数,其图象关于点
M( 3π ,0) 对称,求 ? 和 ω 的值。 4

题型 4:三角函数综合应用 例 4、求下列函数的定义域
(1) y = 1 ? tan x + ? 1 ? 2 sin x (2) y = sin(cos x)
(3) y =

lg(tan x + 1) 2 cos x ? 1

.

例 5、求下列函数的值域
(1) y = 3 ? 2 cos 2 x, x ∈ R (2) y = cos 2 x + 2 sin x ? 2, x ∈ R

(3) y =

2 + cos x 2 ? cos x

例 6 若 f ( x ) = 1 ? 2a ? 2a cos x ? sin x 的最小值为 g ( a ) ,
2

(1)求 g ( a ) 的表达式;

(2)求使 g ( a ) = 1 的 a 的值,并求当 a 取此值时 f ( x ) 的最大值。

4

能力检测题
1. (2007 年福建) .已知函数 f ( x ) = sin ? ω x +

? ?

π? ? (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数的图象( ) 3?
π π ?π ? 对称 C.关于点 ? ,? 对称 D.关于直线 x = 对称 0 4 3 ?4 ?
的是( )

A.关于点 ? ,? 对称 B.关于直线 x = 0 2. (2007 年江苏卷 1) .下列函数中,周期为 A. y = sin

?π ?3

? ?

π
2

x 2

B. y = sin 2 x

C. y = cos

x 4

D. y = cos 4 x

3. (07 年山东卷文 4) .要得到函数 y = sin x 的图象,只需将函数 y = cos ? x ?

? ?

π? ? 的图象( 3?



A.向右平移

π π π 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 6 3 3
m+4 4 m

D.向左平移

π 个单位 6

4.如果 cos x =

有意义,则 m 的取值范围是

5. 2007 年江西卷文 2) ( .函数 y = 5 tan(2 x + 1) 的最小正周期为 6.要得到 y = sin

x ?x π? 的图象,只需将函数 y = cos ? ? ? 的图象 2 ?2 4?

7.对于函数 y = A sin(ωx + ? ), ω , ?均为不等于0的常数) ,有下列说法: (A,

①最大值为 A ; ②最小正周期为 | ④由 2 k π ?



ω

| ; ③在 [0, π ] 至少有一个 x ,使得 y = 0 ;

π
2

≤ ωx + ? ≤ 2kπ +

π
2

(k ∈ Z ) 解得 x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是 .

8.函数 y = tan( 2 x ?

π
4

) 的单调增区间为
2

9.已知 x ∈ [ ?2π ,0] ,且 2 sin x ? cos x ? 1 = 0, 求角 x 的集合. 10.函数 y = sin x ?1 π 的单调递增区间是 2
2

.
. .

函数 f ( x ) , x ∈ R 是奇函数, 且当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x + sin x , 则当 x < 0 时, f ( x ) 等于 11.

12.如果 α 、β 、γ 均为锐角,sin α = 13. 函数 y =

1 3 ,tan β = 2 ,cos γ = , α , β , γ 从小到大的顺序为 则 3 4

log 2 (1 + tan x) 25 ? x 2

的定义域是

14. 07 年浙江卷理 2)若函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) , x ∈ R (其中 ω > 0 , ? < (
且 f (0) =

π )的最小正周期是 π , 2

3 ,则
5


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