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基本不等式


高三数学第六章第四节

基本不等式
新密二高高三数学组 申 伟 洲

[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

怎 么 考

1.利用基本不等式求最值是命题热点.
2.客观题

突出变形的灵活性,主观题在考查基本运算 能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的 应用. 3.各种题型都有,难度中、低档.

a+b 一、基本不等式 ab≤ 2 1.基本不等式成立的条件: a>0,b>0 .

2.等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
二、几个重要的不等式 b a 2ab (a,b∈R); + ≥ 2 (a,b同号). a +b ≥ a b
2 2

a+b 2 a+b 2 a2+b2 ab≤( 2 ) (a,b∈R);( 2 ) ≤ 2 (a,b∈R).

三、算术平均数与几何平均数

a+b ,几何平均数 2 为 ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为

小于它们的几何平均数 .

四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 1.如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有 最 小 值是 2 p .(简记:积定和最小)

2.如果和x+y是定值p,那么当且仅当 x=y 时,xy有 p2 最 大 值是 .(简记:和定积最大) 4

1.(教材习题改编)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值 为 1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3 ( )

1 1 9 3 解析:由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3x=3-3x, 3 3 4 4 1 即 x= 时“=”成立. 2

答案: B

2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为( A.18 C.81
等号成立.

)

B.36 D.243

解析:∵m>0,n>0,∴m+n≥2 mn=18.当且仅当m=n=9时,

答案:A

3.(教材习题改编)在下列函数中,当 x>0 时,最小值为 2 的 是 4 A.y=-x-x C.y= x2+1+ 1 x2+1 B.y=lg x+ 1 lg x ( )

D.y=x2-2x+3

解析: A中y≤-4,B中lgx不一定为正.C中y>2. 答案: D

x2-4x+1 4.已知x>0,则y= 的最小值为________. x
1 解析:∵x>0,∴y=x+x-4≥2-4=-2.当且仅当x=1时, 等号成立.

答案: -2

5.若x>1,则x+
解析:∵x+

4 的最小值为________. x-1

4 4 =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 ,即x=3时等号成立. x-1

当且仅当x-1=

答案: 5

1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的

三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积
或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了 某个条件,就会出现错误.

2.对于公式 a+b≥2

?a+b? ?2 ab,ab≤? ? 2 ? ,要弄清它们的作用和使用条 ? ?

件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系. 3.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用, a2+b2 a+b 例如 a2+b2≥2ab 逆用就是 ab≤ ; ≥ ab(a,b>0)逆用 2 2 ?a+b? ? ?2 就是 ab≤? (a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式 2 ? ? ? 等号成立的条件等.

[精析考题] 1 [例 1](1) (2011· 重庆高考)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小 x-2 值,则 a= A.1+ 2 C.3 B.1+ 3 D.4 ( )

[自主解答]

f(x)=x+

1 1 =x-2+ +2. x-2 x-2

∵x>2,∴x-2>0. 1 ∴f(x)=x-2+ +2≥2 x-2 当且仅当x-2= 1 ?x-2?· +2=4, x-2

1 ,即x=3时,“=”成立. x-2

又f(x)在x=a处取最小值,∴a=3.

[答案]

C

1 4 (2) (2011· 重庆高考)已知 a>0, b>0, a+b=2, y=a+b的最小值是( 则 7 A. 2 9 C. 2 B.4 D.5

)

解:∵a>0,b>0,a+b=2, ?a+b?2 ∴ab≤ =1. 4 1 4 又 y=a+b≥2 又 ab≤1,∴y≥4 4 ab=4 1 =4. 1 1 ab,

1 4 错因:上面的解法显然是错误的.主要原因是对 a+b 与a+b两次使 用基本不等式.但它们成立的条件不同,一个是 a=b,另一个是 b= 4a.这显然是不能同时成立的,故不正确.

[正确解答] a+b ∵a+b=2,∴ 2 =1. 1 4 ?1 4??a+b? ? ∴a+b=?a+b?? ? ?? 2 ? ? ? 5 ?2a b ? 5 =2+? b +2a?≥2+2 ? ? 2a b b· 2a

9 2a b =2(当且仅当 b =2a,即b=2a时,“=”成立). 1 4 9 故y=a+b的最小值为2.

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
4 1.(2012· 济南模拟)若x>0,则x+x的最小值为 A.2 C.2 2 B.3 D.4 ( )

4 解析:据基本不等式可得x+x≥2 4 x,即x=2时取得最小值为4.

4 x×x=4,当且仅当x=

答案: D

x2+2 2.函数y= (x>1)的最小值是 x-1 A.2 3+2 C.2 3 B.2 3-2 D.2

(

)

解析:∵x>1,∴x-1>0. x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 ∴y= = = x-1 x-1 x-1 ?x-1?2+2?x-1?+3 3 = =x-1+ +2 x-1 x-1 ≥2 3 ?x-1? +2=2 3+2. x-1

3 当且仅当x-1= ,即x=1+ 3时,取等号. x-1

答案: A

[冲关锦囊] 利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二 定三相等”这一条件.常见的变形的方法有:变符号、凑 系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.

[精析考题] [例2] (2011· 浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+xy=1,

则x+y的最大值是________.

[自主解答]

由x2+y2+xy=1,得1=(x+y)2-xy,

?x+y?2 ∴(x+y)2=1+xy≤1+ 4 . 2 3 2 3 解得- 3 ≤x+y≤ 3 . 3 2 3 当且仅当x=y= 3 时x+y取最大值为 3 .

[答案]

2 3 3

若本例条件变为:若正实数x,y满足2x+y+6=xy, 则xy的最小值是________.

解析:xy=2x+y+6≥2 2xy+6,令xy=t2,可得t2-2 2t-6≥0, 注意到t>0,解得t≥3 2. 即x=3,y=6时等号成立,故xy的

?2x=y, ? 当且仅当? ?2x+y+6=xy, ?

最小值为18.

答案:18

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 郑州模拟)设a,b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值 是 A.6 C.2 6 B.4 2 D.8 ( )

[冲关锦囊]

利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何
用,主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解. (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值.

课堂小结
1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个
条件,就是“一正:各项均为正;二定:积或和为定值;三

相等:等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现误.
?a+b? ? ?2 ab,ab≤? ? ,要弄清它们的作用和使用条 ? 2 ?

2.对于公式 a+b≥2

件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系.

谢谢!


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