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圆锥曲线与立体几何简记(含答案)


一 、圆锥曲线: 弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2
[来源:

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

x2 2 例 1、已知椭圆 C1 的方程为 ? y ? 1 , 双曲线 C2 的左、 右焦点分别是 C1 4

的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、

右焦点。 (1)求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且
OA ?OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求 k 的范围。
2、已知抛物线 D:y2=4x 的焦点与椭圆 Q:
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F1 重 a2 b2

合,且点 P( 2 ,

6 (Ⅰ)求椭圆 Q 的方程及其离心率; (Ⅱ)若 ) 在椭圆 Q 上。 2

倾斜角为 45°的直线 l 过椭圆 Q 的左焦点 F2,且与椭圆相交于 A,B 两点,求 △ABF1 的面积。

x2 y2 3、已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,它的一个顶点为 M ( 0 , 1 ) ,离 a b

心率 e ?

6 . 3
3 , 2

(1)求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△AOB 面积的最大值.
解: (1)设 c ?

a 2 ? b 2 ,依题意得
… ………2 分

?b ? 1 ? ? c ?e ? ? a ?

a 2 ? b2 6 ? a 3

? ?a ? 3 解得 ? ? ? b ?1

…….3 分

? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. … ……….4 分 3 (2)①当 AB ? x轴时, | AB |? 3. …… …5 分
②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的 方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由已知

|m|
2

1? k 把y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3m 2 ? 3 ? 0,

?

3 3 , 得 m 2 ? (k 2 ? 1), 4 2

… …..6 分

[来源:Zxxk.Com]

? 6km 3(m 2 ? 1) , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? | AB |2 ? (1 ? k 2 )(x2 ? x1 ) 2 ? x1 ? x2 ?
2

……… 7 分

36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? (1 ? k )[ 2 ? ] (3k ? 1) 2 3k 2 ? 1 12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2
? 3? 12k 2 ? 3? 9k 2 ? 6k 2 ? 1 12 (k ? 0) 1 2 9k ? 2 ? 6 k
? 3? 12 ? 4. 2?3? 6

当且仅当 9k 2 ?

此时 | AB |? 2. … 10 分

1 3 时等号成立, ,即k ? ? 2 3 k
… ……..11 分
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

③当 k ? 0时, | AB |? 3. 综上所述: | AB | max ? 2 , 此时 ?AOB 面积取最大值

S?

1 3 3 | AB | max ? ? . …… 12 分 2 2 2

4、在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知双曲线 C1 : 2 x 2 ? y 2 ? 1 . (1) 过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐 近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,
源:学,科,网] [来

求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2 : 4 x2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥

ON,
求证:O 到直线 MN 的距离是定值.
解: (1)双曲线 C1 :
x2
1 2

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x . 1 分

过点 A 与渐近线 y ? 2 x 平行的直线方程为

y ? 2 (x ?
解方程组 ?

2 2

) ,即 y ? 2 x ? 1. 2 分
,得 ?

?y ? ? 2 x ?y ? 2 x ?1

? ?x ? ? ?y ? 1 2 ?

2 4

3分

所求三角形的面积为 S

?1 | OA || y |? 2

2 8

4分

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b . 因直线与已知圆相切, 故 2 由?
| b|

? 1 ,即 b2 ? 2

5分

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 6 分 2 2 ?2 x ? y ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

又 y1 y2 ? ( x1 ? b)(x2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2

? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 , 故 OP⊥OQ 8 分
(3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2

3 3

. 9分

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?

),则直线 OM 的方程为

y ??1 x. k
2 ? ?x ? ? y ? kx 由? 2 ,得 ? 2 2 ? ?4 x ? y ? 1 ?y ?
2 所以 | ON | ? 1? k 2 4? k 2

1 4? k 2 k2 4? k 2

,

2 . 同理 | OM | ?

1? k 2 2 k 2 ?1

10 分

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为

(| OM |2 ? | ON |2 )d 2 ?| OM |2 | ON |2 , 11 分

所以 d 2

1

1 1 ? |OM ? |ON ? |2 |2

3k 2 ? 3 k 2 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值。 12 分

二 、空间立体几何:
公式:1 斜率公式 k ? tan? ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

2 直线方程:点斜式 y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

例 1、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、 F 分别是 AB、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥CD; (Ⅱ)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论; (Ⅲ)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小.

5、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,CB=1,CA= 3 , AA1= 6 ,M 为侧棱 CC1 上一点, AM ? BA1 . (1)求证: AM?平面 A1 BC ; (2)求二面角 B-AM-C 的大小; (3)求点 C 到平面 ABM 的距离.
A
1

C
1

B
1

M

C A B

x2 y 2 20.解: (1)设双曲线 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1, … a b
则a
2

1分

? 4 ? 1 ? 3 ,再由 a 2 ? b2 ? c2 得 b2 ? 1 …
…… 3分

2分

x2 2 ? y ?1 故 C2 的方程为 3

x2 2 ? y ?1 (2)将 y ? kx ? 2 代入 3
得 (1 ? 3k
2

) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0

……

4分

由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点得:
2 ? ?1 ? 3k ? 0 ? 2 2 2 ? ? ? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0

6 分

?k2 ?

1 2 且k ?1 3





7分

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

6 2k ?9 , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?

3k 2 ? 7 3k 2 ? 1

3k 2 ? 7 ?2 又 OA ? OB ? 2 ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 2 ? 2 3k ? 1

1 2 ?3k 2 ? 9 ? 0 ,解得: ? k ? 3, 即 2 3 3k ? 1
由①、②得:

② …10 分

1 2 ? k ?1 3

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ( ,1) ……12 分 3 3


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