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等比数列教案


2012 年“课内比 教学”市级比武

等比数列(二)教案
文昌高级中学 马庆

【教学目标】 :
⒈知识与技能:了解等比数列的性质;能将学过的知识和思想方法运用于对 等比数列性质的思考。 2.过程与方法:采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行 教学。 3.情感态度与价值观:通过对等比数列性质的探究,培养学

生的良好的思维 品质和思维习惯,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生 的类比、归纳的能力。

【教学重点、难点】 :
重点:探究等比数列的性质。 难点:渗透重要的数学思想。

【学法与教学用具】 :
学法:首先对等差数列性质进行回顾,类比、猜想等比数列的基本性质,然 后类比验证猜想、得出等比数列的性质。 教学用具:多媒体课件、投影仪等。

【教学过程】 :
Ⅰ.复习回顾 等差、等比数列的定义及通项公式,等差数列的性质 Ⅱ.讲授新课 一、类比等差数列,猜想等比数列具有哪些性质? 由等差数列的性质,猜想等比数列的性质 {a n}是公差为 d 的等差数列 性质1: {a n}是公比为 q 的等比数列 猜想 1:

a

n

?

a
n

m

? ?n ? m ?d

a

n

?

a

m

?q

n?m

性质2: 若 m ? n ? p ? q ,
则a m ?

猜想 2: m ? n ? p ? q 若
则am ?

a

?

a

p

?

a

q

a

n

?

a

p

?

a

q

性质3:若{ c n }是公差为 d′ 猜想 3: 若{c n }是公比为 q′ 的等差数列,则数列{ a n ? c n } 的等比数列,则数列{a n ? c n}是公 是公差为 d+d′的等差数列。 比为 q· q′的等比数列.

二、对猜想出的等比数列性质进行证明 n?m 1、推导性质一: an ? am ? q 证明: m ?1

? a m ? a1 ? q
? am ? a
n?m

, a n ? a1 ? q
m ?1
n ?1

n ?1



? a1 ? q
?
1

?q

n?m

a ?q

?

a

n

则am ? an ? 2、推导性质二: 若 m ? n ? p ? q 证明: a ? a ? a ? q n ?1 ? a ? q m ?1 ? n m 1 1 1 1

a

p

?

a

q

? a1 ? q1
2

n?m?2

且 a p ? a q ? a1 ? q1
2

p ?1

? a1 ? q1

q ?1

? a1 ? q1 , ? am ? an ? a p ? aq ? n ? m ? p ? q,

p?q?2

3、推导性质三:

若{c n}是公比为 q′的等比数列,则数列{a n ? c n}是公比为

q· q′的等比数列. 证明:设数列 ?a n ?公比为 q , ?c n? 的公比为 q ? 那么数列 ?a n ? c n?的第 n 项为 a 1 ? q
n ?1

? c1 q ?

n ?1

第 n+1 项为 a 1 ? q ? c 1 ? q ?
n

n

即 a 1 c 1 ?q q ? ?

n ?1


1 1

a c ?q q ? ?
1 1
n n ?1

n

a ?c 因为 a ?c
n ?1 n

n ?1 n

?

a c ?q q ? ? a c ?q q ? ?
1 1

? pq

它是一个与 n 无关的常数,所以 ?a n ? c n?是一个公比为 pq 的等比数列

三、例题解析

例1:在等比数列 ?a n ? 中,a 5 ? 10 , a 8 ? 80 , 求 a 11 和 a n 例2、在等比数列

?a ?
n
4

中,
6

a

n

?0

,且

a a
2

4

? 2 a3 a5 ?

a a

? 36

求 a3 ? a5

例 3、已知 ?a n ??b n ?是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表 格。从中你能得出什么结论?证明你的结论。

.

a


n

b
n

n

a ?b
n
n ?1

n

判断数列 ?a n ? b n ? 是否 等比数列

?2? 3? ? ? ?3?

? 5? 2

?4? ? 10 ? ? ? ?3?

n ?1



自选 1 自选 2 探究 对于例 4 中的等比数列 四、课堂小结 数列 ?a n ? 和 ?b n ? ,
? an ? ? ? 也一定是等比数列吗? ? bn ?

?a ?是公差为 d 的等差数列 ?a ?是公比为 q 的等比数列
n n

性质 1: a n ? a m ? ?n ? m ?d 性质 2: m ? n ? p ? q , 若
则a m ? ? ?

性质 1:

a
q

n

?

a

m

?q

n?m

性质 2: m ? n ? p ? q 若
则am ?

a

n

a

p

a

a

n

?

a

p

?

a

q

性质 3: 若{ c }是公差为 d′ 性质 3: c n }是公比为 q′ 若{ n 的 等 差 数 列 , 则 数 列 的等比数列,则数列{a n ? c n} { a n ? c n }是公差为 d+d′的 是公比为 q· q′的等比数列. 等差数列。

五、作业布置

P
六、课后思考

A 组 1,3
53

B组1

对于性质二:在等比数列 ?a n ?中, 若 m ? n ? p ? q
则am ? an ?

a

p

? aq

反之成立吗?
七、板书设计

等比数列(二) 一、回顾 二、类比等差数列性质猜想等比数列性质 (1) 猜想 1 (2) 猜想 2 (3) 猜想 3 三、验证猜想 (1) 证明 1 (2) 证明 2 (3) 猜想 3


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