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7.简单线性规划(8.16)


5. 4 .(08 惠州调研三理)已知点 P(x,y)满足条件 ? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最 ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?

大值为 8,则 k ?

-6

.

? y ≥1 , ? 2.(2008 陕西理)已知实数 x,y 满

足 ? y ≤ 2 x ? 1, ?x ? y ≤ m . ? 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 ,则实数 m 等于( ) A.7 B.5 C.4 D.3

B

y ? y0 斜率型目标函数 : z ? x ? x0
?x ? y ?1 ? 0 2.(08 福建理) 若实数 x、y 满足 ? , 例 2 ?x ? 0 y 则 的取值范围是( C ) x A.(0,1) B. ? 0,1? C.(1,+ ? ) D. ?1, ?? ?

距离型目标函数 : z ?

? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ?
2

2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例3. ? x ? y ? 4 ? 0 , 求: ?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 2y ?1 (1)z ? 的范围; x ?1 2 2 (2)z ? x ? y ? 10 y ? 25的最大值.

方法规律小结
1、线性规划问题是数形结合思想的重要体现, 通过画简便直观图求最值。 2、常见目标函数有截距型 z ? ax ? by ,距离 2 2 y ? y0 ? ? ? ? z ? x ? x ? y ? y 0 0 ,斜率型 z ? 型 几 种,截距型要注意y的系数的正负号。x ? x 0

3、最优解一般在可行域的顶点或边界处取得, 要注意边界的虚实。 4、解选择、填空题常常可先求可行域的顶点, 再代人目标函数验算即可。

?2 x ? y ? 40, ? x ? 2 y ? 50, ? 1.(2008 广东理)若变量 x,y 满足 ? , ? x ? 0, ? ? y ? 0, 则 z=3x+2y 的最大值是 ( C ) A.90 B. 80 C. 70 D. 40
巩固练习

?x ? 2 ? 2、(2008 中山一模理)若 ? y ? 2 ,则目标 ?x ? y ? 6 ? 函数 z ? x ? 3 y 的取值范围是

?8,14?

? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, ? 例 则使得 3. 1 设 x 、 y 满足约束条件 ? ?0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4.

目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的最大的点 ( x, y ) 是 ________ .

?2,3?

? y ≥1 , ? 4. 2.(2008 陕西理)已知实数 x,y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1, ?x ? y ≤ m . ? 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 ,则实数 m 等于( B ) A.7 B.5 C.4 D.3

5. 4 .(08 惠州调研三理)已知点 P(x,y)满足条件 ? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最 ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?

大值为 8,则 k ?

-6

.

?x ? 0 ?y ? 0 ? 6、 (06广东)在约束条件 ? 下, ?y? x ? s ? ? y ? 2x ? 4 当3 ? s ? 5时,目标函数z ? 3 x ? 2 y的最大值 的变化范围是( A.[7,8] B.[7,15] ). A C.[6,8] D.[6,15]

二.线性规划的实际应用
1.线性规划研究的两类重要实际问题:
一是给定一定数量的人力、物力资源,问 怎样安排运用这些资源,能使完成的任务 量最大,收到的效益最大。 二是给定一项任务,问怎样统筹安排,能 使完成这项任务的人力、物力资源最小。

2.解线性规划应用问题的一般步骤:

线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y) ; (4) 画出可行域 (即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数) ;根据图形求最优解及目标函数的最值; (6)根据结果,还原成实际问题的解。

3.实际应用问题中最优解的调整 若实际问题要求的最优解是整数解,而 利用图解法得到的解是非整数解,应作 适当的调整,其方法应以与线性目标函数 的直线的距离为依据,在直线的附近寻求 与此直线距离最近的整点.如果可行域中 的整点数目很少,采用逐个试验法也可.

[例 例 31] 、 (2007 山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做 总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元, 甲、
乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司 事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在 甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大 收益是多少万元?
解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟

? x ? y ≤ 300, ? 和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

y
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .
500 400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. 300 ?
l 200 作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 即可行域.如图: 100 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , M

即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时, 目标函数取得最大值.

0

100

200 300

x

? x ? y ? 300, 联立 ? 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.
? 点 M 的坐标为 (100, 200) .

? zmax ? 3000 x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分 钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元?

[点评]画出可行域后,再把目标函数平行平移,要 比较斜率的大小,注意目标函数的意义.

练习1. 制定投资计划时,不仅要考虑可能获得 的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资 人打算投资甲、乙两个项目,甲、乙项目可能 的最大盈利率分别为100 % 和50 %,可能的最大 亏损分别为30 % 和10 %. 投资人计划投资金额不 超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多 少万元,才能使可能的盈利最大?

Z max ? 7万元

例2 .要将两种大小不同的钢板截成A、B、C 三种规格 , 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :

规格类型
A规格 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 B规格 1 2 C规格 1 3

今需要A、B、C 三种规格的成品分别为15、 18、 27块 , 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品, 且使用钢板张数量最小 .

? ?解 ? ? 设需截第一种钢板x张 , 第二种钢板y张, 依题意有 ?2x +y ? 15 ? x+2y ? 18 ? ? ? x+3y ? 27 ? ? x、y ? N

目标函数Z ? x ? y , 如图作出可行域 作直线l0 : x ? y ? 0 , 将l0平移到经过直线 2x +y =15与x +3y =27的交点A时 , Z ? x ? y ?2x +y =15 ? 18 39 ? 取得最小值 ,由方程组 ? 得A ? , ? ? 5 5 ? ? x +3y =27 57 18 39 此时 , x ? y ? , 但 与 都不是整数 , 5 5 5 ? 18 39 ? 所以点A ? , ? 不是最优解 . ? 5 5 ?

57 经过可行域内的整点且与直线x ? y ? 距离 5 最近的直线x ? y ? 12 ,当它经过可行域内的点 (3,9)和(4,8)时,Z min ? 12. 答:截取钢板有两种截法 : 第一种截法是截第一种 钢板3张,第二种钢板9张;第二种截法是截第一种 钢板4张,第二种钢板8张.两种方法最少要截两种 钢板共12张.

练习2.某实验室需购某种化工原料106千克.现

在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千
克,价格为 140元;另一种是每袋 24千克,价

格为120元.在满足需要的条件下,最少需花费
多少元?

[例3]某运输队在一段时间内,每天至少要把180件 货物运到某地.该运输队使用甲、乙两种型号的货车, 甲型车能装运20件货物,乙型车能装运30件货物.现 运输队有甲型车5辆,乙型车5辆,但是只有9个司机 工作,货车每天只能开一次,每辆都满载,试问: (1)有几种调度方法可以完成运输任务?? (2)每天最少需要多少个司机?? (3)每天最多可运多少件货物??

[点评]注意x、y、z∈N*的限制条件,求出区域内的可能整点, 目标函数司机数z1=x+y与z2=20x+30y在整点中求解,利用整点 直接代入求出.

练习3.某工厂用A、B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件,耗时1h;每生产 一件乙产品使用4个B配件耗时2h。该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h
y

计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
问:若生产一件甲 产品获利2万元, 生产一件乙产品获 利3万元,采用哪种 日生产安排获得的 利润最大?
4

3

M

o

4

8

x

在可行域内找出最优解、线性规划整数解 问题的一般方法是:

1.若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解;
(在包括边界的情况下) 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先求出 该点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域内适当 放缩目标函数值,使它为整数,且与Z最接近,在这条 对应的直线中,取可行域内整点,如果没有整点,继续 放缩,直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解,一般采用平移找解法,即打网 格、找整点、平移直线、找出整数最优解。


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