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高考极坐标参数方程含答案(经典39题)


1.在极坐标系中,以点 C (2,

?
2

) 为圆心,半径为 3 的圆 C 与直线 l : ? ?

?
3

(? ? R ) 交于 A, B 两点.

4.已知直线 l 的参数方程是 ? ?

?

x?

(1)求圆 C 及直线 l 的普通方程.(2)求弦长 AB .

? 2 ? ?y ? 2 t ? 4 2 ?

2 t 2

(t是参数)

,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

).

(1)求圆心 C 的直角坐标;(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

2.在极坐标系中,曲线 L : ? sin ? ? 2cos ? ,过点 A(5,α )(α 为锐角且 tan ? ?
2

??

?
4

3 )作平行于 4

5.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 3t ?y ? t

, ?t为参数? .在极坐标系(与直角坐标系

( ? ? R) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点.

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲 线 L 和直线 l 的普通方程;(Ⅱ)求|BC|的长.

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 4 cos? . (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值.

) ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ;以极点为坐标原点,极 2 4 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是 ? 1 的直线 l 经过点 M . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,并求 | MA | ? | MB | 的值.
3.在极坐标系中,点 M 坐标是 (3,

?

?

6.在极坐标系中,O 为极点,已知圆 C 的圆心为

(2,

?

) 3 ,半径 r=1,P 在圆 C 上运动。

(I)求圆 C 的极坐标方程;(II)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点 O 为原 点,以极轴为 x 轴正半轴)中,若 Q 为线段 OP 的中点,求点 Q 轨迹的直角坐标方程。

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? C( 2 , ) 4 ,半径为 2 ,直线 l 的极坐 7.在极坐标系中,极点为坐标原点 O,已知圆 C 的圆心坐标为
? 2 ? sin( ? ?) ? 4 2 .(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)若圆 C 和直线 l 相交于 A,B 两点,求 标方程为
线段 AB 的长.

9.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方

? 3 t, ? x ? ?3 ? ? 2 程是 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数)。求极点在直线 l 上的射影点 P 1 ? y ? t. ? 2 ?
的极坐标;若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点,求 MN 的最小值。

8.平面直角坐标系中,将曲线

? x ? 4 cos? ? ? y ? sin ?

( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变为原来的

10.已知极坐标系下曲线 C 的方程为 ? ? 2 cos? ? 4 sin ? ,直线 l 经过点 P( 2 , (Ⅰ)求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程; (Ⅱ)设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.

?
4

) ,倾斜角 ? ?

?
3

.

一半,然后整个图象向右平移 1 个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 .以坐 标原点为极点, x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线 C 2 的方程为 ? ? 4 sin ? ,求 C1 和 C 2 公 共弦的长度.

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11.在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? (?为参数) .以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 3sin ?

14.已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1,F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

半轴为极轴的极坐标系中.曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?5 2 .

(1)分别把曲线 C1与C2 化成普通方程和直角坐标方程;并说明它们分别表示什么曲线. (2)在曲线 C1 上求一点 Q ,使点 Q 到曲线 C2 的距离最小,并求出最小距离.

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 方程为 ? (t为参数,t ? R ) .(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; ?y ? 2 t ? 2 ?
(2)求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和.

15.已知曲线 C : ?

? x ? 3cos ? ,直线 l : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 12 . ? y ? 2sin ?

⑴将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程;⑵设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 距离的最小值. 12.设点 M , N 分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? sin(? ? 离.

?
4

)?

2 上的动点,求动点 M , N 间的最小距 2

13.已知 A 是曲线 ρ=3cosθ 上任意一点,求点 A 到直线 ρcosθ =1 距离的最大值和最小值。

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16.已知 ? O1 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? .点 A 的极坐标是 (2, ? ) . (Ⅰ)把 ? O1 的极坐标方程化为直角坐标参数方程,把点 A 的极坐标化为直角坐标.(Ⅱ)点 M ( x0 ,y0 )在 ? O1 上运动,点 P( x, y ) 是线段 AM 的中点,求点 P 运动轨迹的直角坐标方程.

求曲线 C

2

上的点到直线 l 距离的最小值.

19 . 在 直 接 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x-y+4=0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? y ? sin? ?
4 ? ?x ? 1? 5 t ? 17.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为: ? (t 为参数),若以 O 为极点,x 轴正半 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为?= 2 cos(θ + 长. (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,点 P 的极坐标为 ? 4,

? ?

??

? ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2?

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? ),求直线 l 被曲线 C 所截的弦 4

20.经过 M 10,0 作直线 l 交曲线 C : ? 比数列,求直线 l 的方程. 18.已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? ,曲线 C
2

?

?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)于 A 、 B 两点,若 MA , AB , MB 成等 ? y ? 2 sin ?

的方程是 4 x ? y ? 4 , 直线 l 的参数方程
2 2

? ? x ? ? 5 ? 13 t ? 是: ? ? y ? 5 ? 13 t ? ?

(t为 数 .(1)求曲线 C 1 的直角坐标方程,直线 l 的普通方程;(2) 参 )

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21 . 已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 是 ? ?

2 , 曲 线 C2 的 参 数 方 程 是

(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,求 a 的值.

? x ? 1, ? ? ? ? 1 (t ? 0, ? ? [ , ], ? 是参数).(1)写出曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C 2 的普通 6 2 ? y ? 2t sin ? ? 2 ?
方程;(2)求 t 的取值范围,使得 C1 , C 2 没有公共点.

? ?x ? ? 24.已知直线 l 的参数方程是 ? ? ?y ? ?
2

2 t 2 2 t?4 2 2

(t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

).

(I)求圆心 C 的直角坐标;(Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 22.设椭圆 E 的普通方程为
x ? y2 ? 1 3

(1)设 y ? sin ? ,? 为参数,求椭圆 E 的参数方程;(2)点 P ? x, y ? 是椭圆 E 上的动点,求 x ? 3 y 的取值范围.

25.在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方 程为 ? cos(? ? 弦长. 23 . 在 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 , 已 知 曲 线
? ? x ? ?2 ? ? a2 c?o a ? ,已知过点 P ? ?2, ?4? 的直线 l 的参数方程为: ? ? 0 ? s ? ? y ? ?4 ? ? 2 t 2 , 直线 l 与曲线 C 2 t 2

?

? x ? 2 cos ? ) ? 2 ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为对数),求曲线 C 截直线 l 所得的 4 ? y ? sin ?

C : ? s i2 n??

分别交于 M , N
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26.已知曲线 C1: ?

? x ? 3t ? 1, ? ? x ? 2 cos ?, ( ? 为参数),曲线 C2: ? (t 为参数). ? y ? 2sin ? ? y ? 3t ?

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍,分别得到曲线 C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数 方程. C1? 与 C2? 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.

29 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 圆 C 的 参 数 方 程 为 ?

? ?x ? 4 c o s ( ? 为参数),直线 l 经过点 ? ?y ? 4 sin

P( 2, 2) ,倾斜角 ? ?

?
3

.(I)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程;

(Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值.

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? (t为参数) 27.求直线 ? 被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长。 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
30. 已知 P 为半圆 C: ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0),

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标;(II)求直线 AM 的参数方 程。

28.已知圆的方程为 y ? 6 y sin ? ? x ? 8x cos ? ? 7 cos
2 2

2

? ?8 ? 0

求圆心轨迹 C 的参数方程;点 P( x, y ) 是(1)中曲线 C 上的动点,求 2x ? y 的取值范围。

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? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 31.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).在极坐标系(与直角坐标 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
系 xOy 取 相 同 的 长 度 单 位 , 且 以 原 点 O 为 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ) 中 , 圆 C 的 方 程 为 ρ =2 5 sinθ . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 PA ? PB 与 PA ? PB .

数为 t ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : 2 x ? y ? 7 ? 0 (t 为参数)距离的最大值。

34.在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? (?为 参 数 ,M 是曲线 C1 上 ) ? y ? 2 ? 2 sin?

的动点,点 P 满足 O P? 2O M (1)求点 P 的轨迹方程 C2;(2)以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交于不同于极点的 A、B 两点,求|AB|.

?
3

与曲线 C1、C2

32.已知 A,B 两点是椭圆

x2 y2 ? ? 1 与坐标轴正半轴的两个交点. 9 4

(1)设 y ? 2sin ? ,? 为参数,求椭圆的参数方程;(2)在第一象限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大,并求此最大值. 35.设直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A,B.求点 P 到 A、B 两点的距离的和与积.
2 2

?
6



33.已知曲线 C 1 : ?

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 2 cos ? , (t 为参数), C 2 : ? ( ? 为参数)。 ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 4sin ? ,

(Ⅰ)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(II)若 C 1 上的点 P 对应的参
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36.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 M 的极

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? . ) ,曲线 C 的参数方程为 ? (?为参数) 4 ? y ? 2 sin ? ? (Ⅰ)求直线 OM 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.
坐标为 ( 2 , 4

?

? x ?3? 2 t ? 2 38.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? 2 ? y? 5? 2 t ?
? ? 2 5 sin 。 ?
(1)求圆 C 的直角坐标方程;

(t 为参数)。在极坐标系(与直角坐标系

xoy 取 相 同 的 长 度 单 位 , 且 以 原 点 O 为 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ) 中 , 圆 C 的 方 程 为

(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|。

? x ? a cos ? 39.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数),在以 O 为 ? y ? b sin ?

37.在直角坐标系 xOy 中, 过点 两点 M , N .

P(

3 3 , ) 2 2 2 2 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x ? y ? 1 相交于不同的

极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线 C1 上

的点 M (1,

3 ? ? ? ) 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 D (1, ) . 2 3 3 3

(Ⅰ) 写出直线 l 的参数方程;

(Ⅱ) 求

1 1 ? PM PN

(I)求曲线 C1 , C 2 的方程;(II)若点 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 ,? ? 的取值范围.

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

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参考答案 1. (1) 圆方程x ? ( y ? 2) ? 9
2 2

3.解:(1)∵点 M 的直角坐标是 (0,3) ,直线 l 倾斜角是 135? , …………(1 分)

∴直线 l方程:3x ? y ? 0

(2) AB ? 2 3 ? 1 ? 4 2
2 2

【 解 析 】 (1) 圆 C 在 直 角 坐 标 系 中 的 圆 心 坐 标 为 (0,2), 半 径 为 3, 所 以 其 普 通 方 程 为

x2 ? ( y ? 2)2 ? 9 .直 线 l 由 于 过 原 点 , 并 且 倾 斜 角 为

? ,所以其方程为 y ? 3x即 3x ? y ? 0 . 3
2 2

? 2 t ?x ? ? ? x ? t cos 135 ? 2 ∴直线 l 参数方程是 ? ,即 ? , ………(3 分) ? 2 ? y ? 3 ? t sin 135 ? ?y ? 3 ? 2 t ?
?

? ? ? 2 2 sin(? ? ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,曲线 C 的直角坐标方程 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ;………………(5 分)

(2)因为圆心 C 到直线的距离为 1,然后利用弦长公式 | AB |? 2 r ? d 可求出|AB|的值 (1)∵ 圆心C (0, 2),半径为3 ∴圆方程x ? ( y ? 2) ? 9
2 2

…….4 分 ……….8 分

∵ l过原点,倾斜角为 , ∴直线 l方程:y ? 3x即 3x ? y ? 0

?

3

(2) 因为 圆心C (0, 2)到直线l的距离d ? 2. (Ⅰ) y ? x ? 1 【解析】

?2 2

?1

所以 AB ? 2 3 ? 1 ? 4 2
2 2

(Ⅱ) BC ? 1 ? k

2

x1 ? x 2 ? 2 6

? 2 t ?x ? ? ? 2 (2) ? 代入 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 2 ? ?y ? 3 ? 2 t ?
∵ ? ? 6 ? 0 ,∴直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,………(7 分) 设 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 的两个根是 t1、t 2 , t1t 2 ? 3 , ∴ | MA | ? | MB | ?| t1t 2 |? 3 . ………………(10 分)

(I)先 把 曲 线 方 程 化 成 普 通 方 程 , 转 化 公 式 为 ? ? x ? y , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? .
2 2 2

(II)直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 消 y 之 后 , 借 助 韦 达 定 理 和 弦 定 公 式 求 出 弦 长 即 可 (Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? 曲线 L 的普通方程为: y ? 2 x
2

(1 分) (3 分) (5 分)

【解析】略 4.(I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ,

直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 )C( x 2 , y 2 )

? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? , ?圆C的直角坐标方程为x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

…………(2 分) …………(3 分)

? y 2 ? 2x ? ?y ? x ?1

联立得 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2 (II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
(7 分)

由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1 由弦长公式得 BC ? 1 ? k
2

(

x1 ? x 2 ? 2 6

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
…………(8 分)

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∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:? 直线l的普通方程为x ? y ? 4 2 ? 0 ,

…………(10 分) …………(8 分)

【解析】略 10.

【解析】略

2 2 | ? ?4 2| 2 圆心 C 到 直线l 距离是 2 ? 5, 2
∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 【解析】略 7.(Ⅰ)由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4 ? cos ? ,…………2分
2

? x ? 4 cos α ? y ? sin α 11.解:曲线 ? ( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,

? x ? 2 cos α ? y ? sin α 横坐标变为原来的一半得到 ? ,

结合极坐标与直角坐标的互化公式 ? 即 ( x ? 2) ? y ? 4.
2 2

? x ? ? cos ? 2 2 得 x ? y ? 4x , ? y ? ? sin ?

? x ? 2 cos α ? 1 ? y ? sin α 然后整个图象向右平移 1 个单位得到 ? ,
? x ? 2 cos α ? 1 ? y ? 2 sin α 最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ? ,
所以 C1 为 ( x ? 1) ? y ? 4 , 又 C 2 为 ? ? 4 sin ? ,即 x ? y ? 4 y ,
2 2 2 2

…………5分

(Ⅱ)由直线 l 的参数方程 ? 得, x ? 3 y ? a ? 0 . 结合圆 C 与直线 l 相切,得 解得 a ? ?2或6 . 【解析】略

? x ? a ? 3t ? (t为参数) 化为普通方程, ?y ? t ?
…………7分

5 所以 C1 和 C 2 公共弦所在直线为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 , 所以 (1,0) 到 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 距离为 2 , 所以公

2?a 1? 3

2 4?

? 2,

共弦长为 【解析】略

5 ? 11 4 .

12 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? cos( ? ) ? ( ? ,? ) ,由余弦定理得 3 8.解:(Ⅰ)设圆上任一点坐标为

?

12.(1)极坐标为 P( , ? ) (2) MN

min

3 2 2 3 1 ? d ?r ? 2

? ? 2 ? 4 ? cos( ? ) ? 3 ? 0 ?
所以圆的极坐标方程为

【解析】解:(1)由直线的参数方程消去参数 t 得 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 , ………………… (5 分) 则 l 的一个方向向量为 a ? (3, 3 ) ,

3

(Ⅱ)设 Q( x, y ) 则 P(2 x,2 y) , P 在圆上,则 Q 的直角坐标方程为

1 3 2 1 (x ? )2 ? ( y ? ) ? 2 2 4 ………………… (10 分)

设 P ( ?3 ?

3 1 3 1 t , t ) ,则 OP ? (?3 ? t, t ) , 2 2 2 2

答案第 2 页,总 11 页

又 OP ? a ,则 3( ?3 ? 将t ?

3 3 3 t) ? t ? 0 ,得: t ? 3, 2 2 2

22. 2 ? 1 【解析】略 23.最大值为 2,最小值为 0 【解析】将极坐标方程转化成直角坐标方程: ρ=3cosθ 即:x2+y2=3x,(x-

3 3 3 3 2 3 代入直线 l 的参数方程得 P(? , 3 ) ,化为极坐标为 P( , ? ) 。 2 4 4 2 3
2

(2) ? ? 4 cos? ? ? ? 4 ? cos? , 由 ? ? x ? y 及 x ? ? cos? 得 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2 2 2 2

3 2 2 9 ) +y = 2 4

3′ 6′ 8′ 10′

设 E (2,0) ,则 E 到直线 l 的距离 d ? 则 MN

5 , 2

ρcosθ =1 即 x=1 直线与圆相交。 所求最大值为 2, 最小值为 0。

min

? d ?r ?

1 。 2

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) 17.(Ⅰ) ? ?y ? 1? 3 t ? 2 ?
( (Ⅱ) C:x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 , ? t ? 3t ? 4 ? 0 , t1t 2 ? 4
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (2) 2 2 4 3 【解析】(Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ;
24.(1) 曲线 C 的普通方程为

………………………………3 分 ……………6 分 …………………7 分

x y ? ?1 . 4 3

2

2

(Ⅱ) ∵ F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) , ∴点 F1 到直线 l 的距离 d1 ?

?1 ? 0 ? 2 2 ?

?

3 2 , 2

…………………8 分

【解析】 18.

点 F2 到直线 l 的距离 d 2 ? ∴ d1 ? d 2 ? 2 2.

1? 0 ? 2 2

2 , 2

………………9 分



……………10 分

25.⑴ x ? 2 y ? 12 ? 0 (2) 【解析】

7 5 5

【解析】:⑴ x ? 2 y ? 12 ? 0 ⑵设 P (3cos ? , 2sin ? ) , ∴d ?

3cos ? ? 4sin ? ? 12 5

?

5 3 4 5cos(? ? ? ) ? 12 (其中, cos ? ? ,sin ? ? ) 5 5 5

当 cos(? ? ? ) ? 1时, d min ?
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7 5 , 5

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∴ P 点到直线 l 的距离的最小值为

7 5 。 5
2 2

将方程?= 2 cos(θ +

? 2 2 )化为普通方程得,x +y -x+y=0, ……………6 分 4

32.(Ⅰ) ? O1 的直角坐标方程是 ( x ? 2) ? y ? 4 , A 的直角坐标为(-2,0) (Ⅱ) P 运动轨迹的直角坐标方程是 x ? y ? 1.
2 2

它表示圆心为(

1 1 2 ,- ),半径为 的圆, …………………………9 分 2 2 2
1 , ……………………………10 分 10
1 1 7 ? ? . ……………………12 分 2 100 5

【解析】以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ)由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4 ? cos ? ,将 ? cos ? ? x , ? ? x ? y 代入可得
2 2 2 2

则圆心到直线的距离 d=

x 2 ? y 2 ? 4 x . ? O1 的直角坐标方程是 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,
? x ? 2 ? 2 cos ? , ? O1 的直角坐标参数方程可写为 ? 点 A 的极坐标是 (2, ? ) , ? y ? 2sin ? .
由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 知点 A 的直角坐标为(-2,0). (Ⅱ)点 M( x0 ,y0 )在 ? O1 上运动,所 ? 点 P( x, y ) 是线段 AM 的中点,所以 x ?

弦长为 2 r ? d ? 2
2 2

考点:直线参数方程,圆的极坐标方程及直线与圆的位置关系 点评:先将参数方程极坐标方程转化为普通方程 38.解: (1) x ? y ? 2 5 ? 0 ;(2)到直线 l 距离的最小值为

10 。 2

? x0 ? 2 ? 2 cos ? , ? y0 ? 2sin ? .

y?

0 ? y0 0 ? 2sin ? ? ? sin ? , 2 2

?2 ? x0 ?2 ? 2 ? 2cos ? ? ? cos ? , 2 2

【解析】 2 2 2 试题分析:(Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,ρ =x +y ,进行代换即得 C 的直角坐标方程,将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程. 2 2 (Ⅱ)曲线 C1 的方程为 4x +y =4,设曲线 C1 上的任意点(cosθ ,2sinθ ),利用点到直线距离公式, 建立关于 θ 的三角函数式求解. 解: (1) 曲线 C 1 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,直线 l 的方程是: x ? y ? 2 5 ? 0
2 2

所以,点 P 运动轨迹的直角坐标参数方程是 ?
2 2

? x ? cos ? , ? y ? sin ? .

(2)设曲线 C

2

上的任意点 (cos? ,2 sin ? ) ,

即点 P 运动轨迹的直角坐标方程是 x ? y ? 1.

该点到直线 l 距离 d ?

| cos? ? 2 sin ? ? 2 5 | 2
10 。 2

?

| 2 5 ? 5 sin(? ? ? ) | 2

.

35.

7 5

到直线 l 距离的最小值为

【解析】

4 ? ?x ? 1? 5 t ? 试题分析:将方程 ? (t 为参数)化为普通方程得,3x+4y+1=0,………3 分 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

考点:本题主要考查了曲线参数方程求解、应用.考查函数思想,三角函数的性质.属于中档题. 点评:解决该试题的关键是对于椭圆上点到直线距离的最值问题,一般用参数方程来求解得到。

? 40.(1)点 P 在直线 l 上;(2)当 cos(
【解析】
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?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2 。

试题分析:(1)由曲线 C 的参数方程为 ? (4,

? x ? 3 cos ? ? ,知曲线 C 的普通方程,再由点 P 的极坐标为 ? y ? sin ? ?

曲线 C : ?

? x ? 2 cos? 2 2 化为普通方程为 x ? y ? 4 ,…………② y ? 2 sin ? ?

? ? ? ),知点 P 的普通坐标为(4cos ,4sin ),即(0,4),由此能判断点 P 与直线 l 的位 2 2 2
? x ? 3 cos ? ? 上,(0°≤α <360°),知 Q( ? y ? sin ? ?

将①代入②整理得: t 2 ? (2 10cos? )t ? 6 ? 0 ,设 A 、 B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,

置关系. (2)由 Q 在曲线 C: ?

3 cosα ,sinα )到直线 l:

?t1 ? t 2 ? -2 10 cos? 2 ,由 MA , AB , MB 成等比数列得: (t 1 - t 2 ) ? t1t 2 , ? ?t1t 2 ? 6

x-y+4=0 的距离 d= |2sin(α +θ )+4|,(0°≤α <360°),由此能求出 Q 到直线 l 的距离的最小值 解:(1)把极坐标系下的点 P? 4,

? 40 cos2 ? - 24 ? 6 , cos? ? ?
直线 l 的方程为: x ? ? 3 y ? 10

? ?

??

3 3 ,k ? ? , 2 3

? 化为直角坐标,得 P(0,4)。 2?

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

3 cos? , sin ? ,

?

考点:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置 关系,属于基础题. 2 点评:解决该试题的关键是把曲线的参数方程化为普通方程,由|AB| =|MA|?|MB|,可得|AB|等于圆的 切线长,利用切割线定理得到,并结合勾股定理得到结论。 42.(1)曲线 C1 的直角坐标方程是 x ? y ? 2 ,曲线 C 2 的普通方程是 x ? 1(t ?
2 2

1 1 ? y ? 2t ? ) ; 2 2

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2

2cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2

?

(2) 0 ? t ?

1 1 或t ? 。 4 2

? 由此得,当 cos(

?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2

【解析】本试题主要是考查了极坐标方程和曲线普通方程的互化,以及曲线的交点的求解的综合运 用。 因为根据极坐标方程与直角坐标方程的互化得到普通方程,然后,联立方程组可知满足没有公共点时 的 t 的范围。 解:(1)曲线 C1 的直角坐标方程是 x ? y ? 2 ,
2 2

考点:本试题主要考查了椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用,解题时要认真审题,注意参数 方程与普通方程的互化,注意三角函数的合理运用. 点评:解决该试题的关键是参数方程与普通方程的互化以及对于点到直线距离公式的灵活运用求解最 值。 41. x ? ? 3 y ? 10 【解析】 2 试题分析:把曲线的参数方程化为普通方程,由|AB| =|MA|?|MB|,可得|AB|等于圆的切线长,设出直 线 l 的方程,求出弦心距 d,再利用弦长公式求得|AB|,由此求得直线的斜率 k 的值,即可求得直线 l 的方程. 解:直线 l 的参数方程: ?

曲线 C 2 的普通方程是 x ? 1(t ?

1 1 ? y ? 2t ? ) …………5 分 2 2

?t ? 0 ?t ? 0 ? ? (2)当且仅当 ? 时, C1 , C 2 没有公共点, 1 或? 1 ?t ? 2 ? 1 ?2t ? 2 ? 1 ? ?
解得 0 ? t ?

1 1 或t ? ……10 分 4 2

? x ? 10 ? t cos? ? y ? t sin ?

( t 为参数),…………①

? x ? 3 cos ? ? 47. (1) ? ( ? 为参数) ? y ? sin ? ?

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(2) ? ?2 3, 2 3 ? ? ? 【 解 析 】 (1)由
x2 x2 ? y 2 ? 1 ,令 ? cos2 ? , y 2 ? sin 2 ? 可求出椭圆 E 的参数方程。 3 3

?圆C的直角坐标方程为x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

…………(3 分)

π? ? ( 2 ) 根 据 椭 圆 的 参 数 方 程 可 得 x ? 3 y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2 3 cos ? ? ? ? , 然 后 易 得 3? ?
x ? 3 y ? ? ?2 3, 2 3 ? . ? ?

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2 (II):直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
( 2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
…………(8 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 …………(10 分) …………(10 分)

? x ? 3 cos ? ? 解:(1) ? ( ? 为参数) ? y ? sin ? ?

π? ? (2) x ? 3 y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2 3 cos ? ? ? ? 3? ?
? x ? 3 y ? ? ?2 3, 2 3 ? ? ?

50.

48. (1) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 (2) a ? 1 【 解 析 】 (1)对 于 直 线 l 两 式 相 减 , 直 接 可 消 去 参 数 t 得 到 其 普 通 方 程 , 对 于 曲 线 C, 两 边 同 乘 以 ( 2 ) 将 直 线 l

4 2 5

【 解 析 】 (1)先 把 直 线 l 和 曲 线 C 的 方 程 化 成 普 通 方 程 可 得 x ? y ? 2 ? 0 和 然后联立解方程组借助韦达定理和弦长公式可求出弦长. 解:由 ? cos(? ?

x2 ? y 2 ? 1, 4

, ? 可求得其普通方程. ? ,再 利 用 ? 2 ? x 2 ? y 2 x ? ? c o s? , y ? ? s i n
的 参 数 方 程 代 入 曲 线 C 的 普 通 方 程 可 知 ,

?
4

) ? 2 可化为直角坐标方程 x ? y ? 2 ? 0

| P M | | P N | 2 | t t |? , M ?? 1 | t | 2 ? t ? 1 |2 N 2
49. (I) (

1,借助韦达定理可建立关于 1 2

|? , t |

t

| t |t

|a 的方程,求出 a 的值.

2 2 ,? ) ;(Ⅱ) 2 6 2 2

参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? x2 ? y2 ? 1 ( ? 为对数)可化为直角坐标方程 4 ? y ? sin ?

【 解 析 】 (I)把 圆 C 的 极 坐 标 方 程 利 用 再求其圆心坐标.

? ? x ? y , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 化 成 普 通 方 程 ,
2 2 2

联立(1)(2)得两曲线的交点为 (2, 0), ( , )

6 4 5 5

2 2 ( II) 设 直 线 上 的 点 的 坐 标 为 ( t, t ? 4 2) ,然后根据切线长公式转化为关于 t 的函数来研 2 2
究其最值即可. 解:(I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ,

所求的弦长 ?

6 4 4 2 (2 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? 5 5 5

…………13 分

51.(1)C1 是圆,C2 是直线。C2 与 C1 有两个公共点(2)C1′:

x2 y2 ? ? 1 ,C2′: 2 x ? y ? 2 。 4 16

? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? ,

………(2 分)

有两个公共点,C1 与 C2 公共点个数相同 【解析】本试题主要是考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的转化,以及直线与椭圆的 位置关系 的运用。 (1)结合已知的极坐标方程和参数方程,消去参数后得到普通方程,然后利用直线与圆的位置关系判
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定。

? x ? 2 cos ?, (2)拉伸后的参数方程分别为 C1′: ? θ 为参数); ? y ? 4sin ?

参数方程为 ?

x ? 4 cos ? , y ? 3sin ? ,

(? 为参数)

? x ? 3t ? 1, ? 2 C2′: ? (t 为参数)联立消元得 2 x ? 2 x ? 3 ? 0 其判别式 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? (-3) ? 28 ? 0 , ? y ? 2 3t ?
可知有公共点。 解:(1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

(2)因为点 P 是曲线 C 上的动点,因此设点 P 4cos ? ,3sin ? ) ,那么 (

8 ? 2 x ? y ? 8cos ? ? 3sin ? ? 73 sin(? ? ?)(其中 tan ? ? ) ,结合三角函数的性质得到最值。 3
1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 58. (Ⅰ) ? ( t 为参数);(Ⅱ) PA ? PB =8 。 3 ?y ? 2? t ? ? 2
【 解 析 】 (1) 方程消 去 参 数 ? 得 圆的标准方程为 x ? y ? 16 , 由 直 线 方 程 的 意 义 可 直 接 写 出
2 2

圆心 C1(0,0),半径 r=2.C2 的普通方程为 x-y-1=0. 因为圆心 C1 到直线 x-y+ 1=0 的距离为 所以 C2 与 C1 有两个公共点. (2)拉伸后的参数方程分别为 C1′: ?

2 ? 2, 2

? x ? 3t ? 1, ? x ? 2 cos ?, ? θ 为参数);C2′: ? (t 为参数) ? y ? 4sin ? y ? 2 3t ? ?

直线 l 的参数;(2)把直线 l 的参数方程代入 x ? y ? 16 ,由直线 l 的参数方程中 t
2 2

的几何意义得 | PA | ? | PB | 的值. 解:(Ⅰ)圆的标准方程为 x ? y ? 16
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,C2′: 2 x ? y ? 2 化为普通方程为:C1′: 4 16
联立消元得 2 x ? 2 x ? 3 ? 0 其判别式 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? (-3) ? 28 ? 0 ,
2

…… 2 分

所以压缩后的直线 C2′与椭圆 C1′仍然有两个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同 54.弦长为 2 r ? d ? 2
2 2

1 ? ? ? ?x ? 2 ? 2 t ? x ? 2 ? t cos 3 ? ? 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数) ?y ? 2? 3 t ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 3 ? ? 2 1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 2 2 (Ⅱ)把直线的方程 ? 代入 x ? y ? 16 , ?y ? 2? 3 t ? ? 2
得 (2 ?

…… 5 分

1 1 7 ? ? 。 2 100 5

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的 相交弦的长度问题的运用。将参数方程化为普通方程,然后 利用圆心到直线的距离公式和圆的半径,结合勾股定理得到结论 57.(1)圆心轨迹的参数方程为 ?

x ? 4 cos ? , y ? 3sin ? ,
?

(? 为参数)

(2) 2 x ? y的取值范围是 ? - 73,73 ?

1 2 3 2 t ) ? (2 ? t ) ? 16 , t 2 ? 2( 3 ? 1)t ? 8 ? 0 2 2
…… 10 分.

……8 分

?

【解析】本试题主要是考查了圆的参数方程与一般式方程的互换,以及运用参数方程求解最值的问 题。 (1)因为圆的方程整理得 ( x ? 4cos ? ) ? ( y ? 3sin ? ) ? 1 ,设圆心坐标为 ( x, y ) ,则可得圆心轨迹的
2 2

所以 t1t2 ? ?8 ,即 PA ? PB =8

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? ? ? x ? 1 ? ( 6 ? 1)t ? ? ? 60.(Ⅰ)( , ). (Ⅱ) ? (t 为参数) 3 3 ? y ? 3? t ? 6 ?
【解析】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极 坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 2 2 2 (1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,ρ =x +y ,进行代换即得. (2)先在直角坐标系中算出点 M、A 的坐标,再利用直角坐标的直线 AM 的参数方程求得参数方程即可 解:(Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|= 2 ? 2 2 ? 3 2 . 同理,可得 PA ? PB ?

2.

64.(1) ?

? x ? 3cos ? ( ? 为参数); ? y ? 2sin ?

(2)当 ? ?

?
4

? ? , ). 3 3
?
6 ,

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3

,即 P ? ?

?3 2 ? , 2 ? 时, ? SOAPB ?max ? 3 2 。 ? ? 2 ?

【解析】本试题主要是考查了运用参数方程来求解最值的数学思想的运用。 (1)把 y ? 2sin ? 代入椭圆方程,得

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

3? ),A(0,1),故直线 AM 的参数方程为 6

x 2 4sin 2 ? ? ?1, 9 4

于是

x 2 ? 9 ?1 ? sin 2 ? ? ? 9cos 2 ? , 即

x ? ?3cos? ,那么可知参数方程的表示。
? ?

? ? ? x ? 1 ? ( 6 ? 1)t ? (t 为参数) ? 3? ?y ? t ? 6 ?
63. (Ⅰ) x ? ( y ? 2 5 y ? 5) ? 5 ? x ? ( y ? 5 ) ? 5 .
2 2 2 2

(2)由椭圆的参数方程,设 P ? 3cos ? , 2sin ? ? ? 0 ? ? ? 易知 A(3,0),B(0,2),连接 OP,

??
? 2?

1 1 ?? ? SOAPB ? S?OAP ? S?OBP ? ? 3 ? 2sin ? ? ? 2 ? 3cos ? ? 3 2 sin ? ? ? ? 2 2 4? ?
2.
结合三角函数的值域求解最值。 解:(1)把 y ? 2sin ? 代入椭圆方程,得 于是

(Ⅱ) |PA|+|PB|=|AB|+2|PA|= 2 ? 2 2 ? 3 2 . PA ? PB ?

【解析】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程,掌握直线参数 方程中参数的几何意义,是一道中档题 (I)圆 C 的极坐标方程两边同乘ρ ,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程,最后再利用三 角函数公式化成参数方程; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 A,B 坐标,进而得到结论。 解:(Ⅰ)由 ρ =2 5 sinθ ,得 ρ =2 5 ρ sinθ ,∴x +y =2 5 y, 所以 x ? ( y ? 2 5 y ? 5) ? 5 ? x ? ( y ? 5 ) ? 5 .
2 2 2 2
2 2 2

x 2 4sin 2 ? ? ?1, 9 4

x 2 ? 9 ?1 ? sin 2 ? ? ? 9cos 2 ? , 即

x ? ?3cos? ………………(3 分)

由参数 ? 的任意性,可取 x ? 3cos ? , 因此,椭圆

? x ? 3cos ? x2 y2 ? ? 1 的参数方程是 ? ( ? 为参数)………(5 分) 9 4 ? y ? 2sin ?
? ?

( Ⅱ ) 直 线 的 一 般 方 程 为 x ?3 ? y ? 5 ? x ? y ? 5 ?3 ? 0 , 容 易 知 道 P 在 直 线 上 , 又

(2)由椭圆的参数方程,设 P ? 3cos ? , 2sin ? ? ? 0 ? ? ? 易知 A(3,0),B(0,2),连接 OP,

??
? 2?

32 ? ( 5 ? 5 ) 2 ? 5 ,所以 P 在圆外,联立圆与直线方程可以得到: A(2, 5 ? 1), B(1, 5 ? 2) ,所以

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1 1 ?? ? SOAPB ? S?OAP ? S?OBP ? ? 3 ? 2sin ? ? ? 2 ? 3cos ? ? 3 2 sin ? ? ? ? ……(9 分) 2 2 4? ?
?3 2 ? , 2 ? 时,……………………………(11 分) 当? ? ,即 P ? ? 2 ? 4 ? ?

M 到 C3 的距离 d ?

2 5 2 5 ? | sin ? ? cos ? +1| = | 2 sin(? ? ) ? 1| ……10 分 5 5 4

?

从而当

??

?
4

?

?
2

,即? ?

3? 时 时, 4

? SOAPB ?max ? 3

2
2 2

………………………………(12 分)

d 取得最大值
2

2 10+2 5 …………………………………………………12 分 5
2

67.(I) C1 : ( x-4) ? ( y +3) ? 1, C2 :

x2 y 2 ? ? 1, 4 16

69. (1) x ? ( y ? 4) ? 16

(2) AB ? 2 3
2 2

C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是 1 的圆。
C2 为中心是坐标原点,焦点在 y 轴上,长半轴长是 2,短半轴长是 4 的椭圆。
(Ⅱ)

【 解 析 】 (1)先 求 出 曲 线 C 1 的 普 通 方 程 为 x ? ( y ? 2) ? 4 , 再 根 据 O P? 2O M ,结合代点法可 求出点 P 的轨迹方程. (2)因为两圆内切,切点为极点,然后再根据圆心到射线 y ? 3 x 的距离,求出弦长,两个圆的弦长

2 10+2 5 。 5

相减可得|AB|的值.

【解析】本试题主要是考查了参数方程与普通方程的转化以及点到直线的距离公式的求解的综合运 用。 (1)消去参数得到普通方程。 (2)因为当 t ?

?
2

时, P(4, ?2).Q(2cos ? , 4sin ? ) ,故 M (2 ? cos ? , ?1 ? 2sin ? )

? 3 t ?x ? 1 ? ? 2 ; 76. (Ⅰ) ? ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
(Ⅱ) PA ? PB ? ?? ? ? ? ; PA ? PB ? ?

C3 为直线 2 x ? y ? 7 ? 0 ,
那么利用点到直线的距离公式得到。

x2 y 2 ? ? 1 ………………4 分 解:(I) C1 : ( x-4) ? ( y +3) ? 1, C2 : 4 16
2 2

? 3 t ?x ? 1 ? ? 2 . 【 解 析 】 (I)引 进 参 数 t,可 以 直 接 写 出 其 参 数 方 程 为 ? ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
(II)将直线的参数方程代入圆的方程,可得到关于 t 的一元二次方程,根据(I)中方程参数的几何意 义可知,|PA|+|PB| | t1 ? t2 |?

C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是 1 的圆。
C2 为中心是坐标原点,焦点在 y 轴上,长半轴长是 2,短半轴长是 4 的椭圆。
……………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)当 t ?

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ,|PA||PB|= | t1t2 | .然后借助韦达定理解决即可.

解:(Ⅰ)依题意得,

?
2

时, P(4, ?2).Q(2cos ? , 4sin ? ) ,故 M (2 ? cos ? , ?1 ? 2sin ? )

……………………………………………………………8 分

C3 为直线 2 x ? y ? 7 ? 0 ,

? 3 t ?x ? 1 ? ? 2 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
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4分

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(Ⅱ)由①代入圆的方程 x ? y ? 4 得
2 2

【解析】本试题主要考查了直线的参数方程与直线与圆的位置关系的综合运用。 (1)利用直线过点和直线的斜率得到参数方程。 (2)直线与圆连理方程组,得到 t ? ( 3 cos? ? 3 sin ? )t ? 2 ? 0 ,结合判别式得到结论。
2

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 ….………………6 分
由 t 的 几 何 意 义 PA ? t1 , PB ? t 2 , 因 为 点 P 在 圆 内 , 这 个 方 程 必 有 两 个 实 根 , 所 以

t1 ? t 2 ? ?( 3 ? 1), t1t 2 ? ?2
2

……………………8 分

PA ? PB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1 t 2
= ( 3 ? 1) ? 8
2

? 3 ? ? x ? 2 ? t cos? ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 解:(Ⅰ) ? ? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 (Ⅱ) ?

(t 为参数)…………… 4 分

= 12 ? 2 3

………10 分

(t 为参数)代入 x 2 ? y 2 ? 1 ,得
? ? 0 ? sin(? ?

PA ? PB ? t1 ? t 2 ? 2 ………12 分
77. (Ⅰ) y ? x ;(Ⅱ) ? ? ? 【 解 析 】 (I)由 极 坐 标 根 据 公 式 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,可 得 M 的 直 角 坐 标 为 (4,4). (II)由 于 M 在 圆 C 外 , 所 以 最 小 距 离 应 等 于 |MC|-r.

t 2 ? ( 3 cos? ? 3 sin ? )t ? 2 ? 0 ,

?
6

)?

6 3

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1 t 2 2 6
2 2 81. x ? ( y ? 5) ? 5. ;(2) 3 2

?

2, 3

?
10 分

4 解:(Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ( 2 ,

?
4

) 得点 M 的直角坐标为 ( , 4) ,……2 分 4

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .………………………………5 分

【 解 析 】 本试题主要是考查了极坐标系和直角坐标系,以及直线与圆的位置关系和不等式的综合运 用。先利用极坐标系与直角坐标系 互化得到普通方程,让直线与圆联立方程组得到相交弦的长度。 解:(1)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x ? y ? 2 5 y ? 0, 即 x ? ( y ? 5) ? 5. -----3 分
2 2 2 2

(Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ?
2 2

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ? ?

(?为参数)
(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

化为普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 2 ,……………………………8 分 圆心为 A(1, 0) , ,半径为 r ? 2 .10 分 由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为 MA ? r ? 5 ? 2 12 分

2 2 2 2 t) ? ( t ) ? 5 即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 2 2

? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,
所以 ? 1

?t ? t2 ? 3 2 ? , 又直线l过点P (3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: ?t1t2 ? 4 ?

? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 78.(Ⅰ) ?

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 -----------7 分

(t 为参数)(Ⅱ)

?

2, 3 ? ?

? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1, 84.(I) C1 的方程为 ? ( ? 为参数),或 4 ? y ? sin ?
答案第 10 页,总 11 页

C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ;
? (II) ? ? ? ? ?? ?? ?
【解析】( I) 由 于 曲 线 C 1 过 点 M, 及 对 应 参 数 ? ? 的值.设圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2R cos? ,根据过点 D (1, 坐标方程. (II) 因为点 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 ,? ?

所以

?12 cos2 ?
4
1 1

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

2 ? 2 sin 2 ?

?

?

4

2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ,

?
?
3

? x ? a cos ? ,代入 ? ,可求出 a,b. 3 ? y ? b sin ?

cos2 ? sin 2 ? 5 2 ? sin ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? . 所以 2 ? 2 ? ( 4 4 4 ?1 ? 2

) ,代入 ? ? 2R cos? ,可求出 R,所以其极

?
2

) 在在曲线 C1 上, 代入曲线 C1 的方程,直接求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

即可.

? 3 ? x ? a cos ? ? ? (I)将 M (1, ,得 ? ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 2 3 ? y ? b sin ? ? 3
?a ? 2 , ?b ? 1

?

3 , ? ? b sin ? 2 3 ?

1 ? a cos

?

即?

? x ? 2 cos? x2 ? y 2 ? 1. 所以曲线 C1 的方程为 ? ( ? 为参数),或 4 ? y ? sin ?
设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) ? y ? R ).
2 2 2

将点 D (1,

?
3

) 代入 ? ? 2R cos? ,

得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1.

(或由 D (1,

?

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1), 2 2 3
2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) ? y ? 1 . (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 ,? ?

?
2

) 在在曲线 C1 上,
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